立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題*

廣東省中山市第一中學(xué)(528403) 孫要強(qiáng)

1 概述

立體幾何是高考的重要考點(diǎn)之一,歷年考題題型、難度、結(jié)構(gòu)及分值相對(duì)穩(wěn)定,選填題主要考查概念辨析、位置關(guān)系探究、空間幾何量的簡(jiǎn)單計(jì)算等,解答題多以簡(jiǎn)單幾何體為載體,考查線線、線面、面面的位置關(guān)系. 其中作為壓軸成分出現(xiàn)的選填題多涉及到動(dòng)態(tài)問(wèn)題.

立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題注入了某些變化的點(diǎn)、線、面等元素,常常集知識(shí)的交匯性與綜合性、方法的靈活性與多向性、思維的變通性與深刻性于一體,使立體幾何問(wèn)題更富思辨性、開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性. 試題通過(guò)考查點(diǎn)、線、面元素位置關(guān)系的變化,如翻折、平移、旋轉(zhuǎn)、射影等,引導(dǎo)以動(dòng)態(tài)的眼光去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力、創(chuàng)新能力和發(fā)散性思維.

立體幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”往往成為學(xué)生思考與求解問(wèn)題的思維障礙,具有策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性等特點(diǎn). 本文從點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)三個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行探究,以期交流研討.

2 動(dòng)態(tài)問(wèn)題探究

2.1 點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題

思路分析 如圖2 所示: 沿著側(cè)棱V A把正三棱錐V-ABC三個(gè)側(cè)面展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi), 則AA′即為截面ΔAEF周長(zhǎng)的最小值,在ΔV AA′中,∠AV A′= 3×40°=120°,由余弦定理可得

圖2

圖3

圖4

本題組主要研究目標(biāo)隨著空間某些點(diǎn)的變化而變化的問(wèn)題,簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題. 運(yùn)動(dòng)根源是多個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng),采用了控制變量法. 研究立體幾何中的線段和最短問(wèn)題,往往需要將幾個(gè)線段轉(zhuǎn)到一個(gè)面中,一般需要進(jìn)行翻轉(zhuǎn),再利用點(diǎn)共線,或者點(diǎn)到直線距離進(jìn)行求解. 這是轉(zhuǎn)化與化歸的思想,包含空間問(wèn)題平面化,折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線段問(wèn)題,控制某些變量,尋找運(yùn)動(dòng)根源等方法.

2.2 線動(dòng)問(wèn)題

例2 在等腰梯形ABCD中,已知AB=AD=CD=1,BC= 2,將ΔABD沿直線BD翻折成ΔA′BD,如圖5,則直線BA′與CD所成角的取值范圍是.

圖5

圖6

圖7

圖8

本組題主要研究目標(biāo)隨著空間某條線的變化而變化的問(wèn)題,簡(jiǎn)稱(chēng)線動(dòng)問(wèn)題. 題組考查是兩條動(dòng)態(tài)的異面直線所成角(垂直即夾角為90°),由于直線是不固定的,所成角不易確定,但在研究異面直線所成角時(shí),平移直線不影響直線之間的夾角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究圓錐中母線與直線所成角的問(wèn)題.

2.3 面動(dòng)問(wèn)題

例3 如圖9,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD//BC,AD=2BC,PA⊥PD,AB=PB=1.

圖9

(1)證明:PA⊥平面PCD;

(2)若BC=CD= 1,當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí),求直線PB與平面PAD所成角的正弦值.

圖11

思路分析 (1)如圖10,取AD,AP中點(diǎn)E,F,連接BE,BF,EF. 由AB=PB,PA⊥PD得PA⊥BF,PA⊥EF,又BF ∩EF=F,所以PA⊥平面BEF. 易知平面BEF//平面PCD,所以PA⊥平面PCD.

圖1

圖10

本題主要研究目標(biāo)隨著空間某個(gè)面的變化而變化的問(wèn)題, 簡(jiǎn)稱(chēng)面動(dòng)問(wèn)題. 題目使用靜態(tài)語(yǔ)言敘述一個(gè)動(dòng)態(tài)的翻折過(guò)程, 需要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看問(wèn)題, 在平面PAC中,PA⊥PC, 點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng), ΔABE沿著B(niǎo)E翻折,用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)看待,靜態(tài)與動(dòng)態(tài)相互轉(zhuǎn)化.

3 結(jié)束語(yǔ)

動(dòng)態(tài)立體幾何在變化過(guò)程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素,問(wèn)題的解決需要把其變化過(guò)程充分地展現(xiàn)出來(lái),觀察它的變化規(guī)律,尋找不變的靜態(tài)因素,找到解決問(wèn)題的突破口,也可以利用極限思想找到極端位置,用特殊法求解. 對(duì)于探究存在問(wèn)題或動(dòng)態(tài)范圍(最值)問(wèn)題,用定性分析難以解決時(shí),可以引進(jìn)參數(shù),通過(guò)構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算,以算促證.

“動(dòng)”與“靜”是事物的兩個(gè)方面,從點(diǎn),線,面等不同角度研究立體幾何中的“動(dòng)”,尋求其“靜”,以“靜”制“動(dòng)”,以不變應(yīng)萬(wàn)變,凸出幾何本質(zhì),提升思維能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),彰顯育人功能.