初探解題教學(xué)中聚焦式的變式策略*
——對《ex 放在分母上是一種解題思維》的再思考

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳俊陽 黃麗純

本刊2021 年第10 期(上)的文章《ex放在分母上是一種解題思維》[1](下稱文[1])以題目1 為例子介紹了一種代數(shù)變形處理手段——把ex放分母,并將此作為解題經(jīng)驗(yàn)推廣到一道高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題中[1]. 該文引發(fā)了筆者的一些思考:(1)“…設(shè)φ(x) =x2-4ex-2,兩次求導(dǎo)后也不能判斷φ′(x)正負(fù)的區(qū)間,這種方法再往下走已經(jīng)沒有意義了并且也走不下去了”這一論斷正確嗎? (2)該題“把ex放分母”的思路自然嗎? (3)“在練習(xí)題中獲得經(jīng)驗(yàn)→將經(jīng)驗(yàn)推廣到另一道練習(xí)題”這一思路在論文寫作中是常見的,倘若在解題教學(xué)中,這樣的推廣方式合適嗎? 更具體地,在解題教學(xué)中,如何有效地開展變式教學(xué)?

1 原文探討

題目1 已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax+1.

1.1 論斷正確嗎?

因此,在日常教學(xué)和日常寫作時,對問題應(yīng)當(dāng)避免妄下論斷. 特別是在教學(xué)中,不宜為了引出一種更簡潔更快捷的方法,去否定一個較為復(fù)雜甚至看似不可行的方法,而應(yīng)比較不同方法的優(yōu)缺點(diǎn),揭示不同方法的聯(lián)系與異同之處.

1.2 思路自然嗎?

因此,在思考問題以及課堂教學(xué)中需要注意思維的自然形成,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性.

1.3 推廣合適嗎?

文[1]總結(jié)出“把ex放分母”這一解題經(jīng)驗(yàn)后,將經(jīng)驗(yàn)推廣到一道高考題中去. 作者對不等式先作“把ex放分母”的代數(shù)變形,再通過對參數(shù)的分類,討論函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而研究恒成立問題. 高考題是廣大師生最關(guān)注的試題之一,因此將新方法遷移到高考問題解決中去是合情合理的,特別是在文章寫作中,體現(xiàn)了所闡述方法在高考中的應(yīng)用價(jià)值. 然而,在解題教學(xué)中,將經(jīng)驗(yàn)推廣和方法遷移到高考題中合適嗎?又做一道高考題能否起到高效鞏固的作用? 反之,會不會增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)?

事實(shí)上,在變式教學(xué)中,容易變相地被動灌輸,最終演變?yōu)楦铀腊迮c煩瑣地用變式去填鴨[2]. 不合適的變式訓(xùn)練可能會導(dǎo)致學(xué)生停留在細(xì)節(jié)和技巧方面的體驗(yàn),難以形成有效的知識建構(gòu),更難以提升更高級的思維和探索能力,導(dǎo)致“熟能生笨”,甚至“熟能生厭”[3][4]. 另一方面,在日常解題教學(xué)中,教師常常急于為學(xué)生提供升學(xué)要求的問題甚至更難的競賽問題給學(xué)生去做,這時學(xué)生對新知識、新方法的同化過程還沒完成,新知識、新方法的意義還沒真正獲得,無法實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí),最終淪為機(jī)械學(xué)習(xí)[5].

2 聚焦式的變式策略——以“放分母”問題為例

在解題教學(xué)的變式訓(xùn)練中,顧泠沅先生基于青浦實(shí)驗(yàn)的諸多課例提出了適用于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的過程性變式[6],這是一種有層次推進(jìn)的教學(xué)方式,強(qiáng)調(diào)分類排列并聯(lián)結(jié)所有相關(guān)的變式,形成多層次的系統(tǒng)經(jīng)驗(yàn),關(guān)注數(shù)學(xué)思維方式以及問題與問題間的邏輯關(guān)系,而這種有層次推進(jìn)的教學(xué)方式,絕不是一種“機(jī)械訓(xùn)練”.

針對上文提出的疑惑和思考,下文將再次以“ex放分母”為例,基于變式教學(xué)的相關(guān)理論,結(jié)合筆者教學(xué)實(shí)踐經(jīng)歷,探索聚焦式的變式策略如何在解題教學(xué)中實(shí)施,以促進(jìn)學(xué)生的知識內(nèi)化與思維提升.

2.1 聚焦矛盾——認(rèn)知沖突,方法探究

一個解題方法的“巧”與“妙”是在對比中產(chǎn)生的,是相對其他方法而言的. 因此,在引出一種較為巧妙的解題方法時,可以聚焦原有方法的局限,制造認(rèn)知沖突,探索解決方法.

回到題目1, 關(guān)鍵的認(rèn)知沖突在于函數(shù)φ(x) =x2-4ex-2≤0 的導(dǎo)函數(shù)φ′(x) = 2x-4ex-2對應(yīng)的方程是超越方程,無法求出具體解,從而難以求出φ(x)具體的極值點(diǎn)以及單調(diào)區(qū)間,只能虛設(shè)φ′(x)的零點(diǎn)作進(jìn)一步的討論. 這樣的處理是可行的,但對于認(rèn)知水平不高的學(xué)生理解起來較為抽象. 因此,為了解決這一認(rèn)知沖突,抓住產(chǎn)生超越方程的原因是: [ex±f(x)]′= ex ±f′(x) (＊),結(jié)合過程性變式的層次性原則設(shè)計(jì)問題:

問題1 對以下兩個函數(shù)求導(dǎo),并說說它們導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)與(＊)有何不同?

2.2 聚焦價(jià)值——原理提煉,方法強(qiáng)化

問題2 為什么“把ex放分母”會讓導(dǎo)函數(shù)如此簡潔? 能結(jié)合數(shù)學(xué)語言談?wù)勀愕目捶▎?

如果學(xué)生能自主解釋問題2,那么說明學(xué)生已經(jīng)初步理解這一方法的原理. 進(jìn)一步為了強(qiáng)化學(xué)生對方法的掌握,設(shè)置了看似難度非常大的問題3:

通過這一個看似困難而形式又簡潔漂亮的不等式問題,不摻雜其它處理技巧,學(xué)生無論從知識能力上還是從情感上都會強(qiáng)化對這一方法的理解,提升解題教學(xué)課堂的有效性.

2.3 聚焦思想——思想類比,方法遷移

在了解新方法的來源以及應(yīng)用價(jià)值后,需要自覺對問題的本質(zhì)進(jìn)行重新剖析,從中概括一般規(guī)律,并進(jìn)行推廣、深化,經(jīng)歷解題的元認(rèn)知監(jiān)控的評價(jià)過程[7]. 提煉“把ex放分母”的原理后,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回顧方法的生成過程,體會背后的思想,并將方法類比遷移到新的問題情境中去.

問題4 回顧“把ex放分母”的代數(shù)變形,它解決了怎么樣的矛盾?

問題5 還有怎么樣的代數(shù)形式求導(dǎo)后會出現(xiàn)超越方程? 如何解決這一困擾?

通過問題5 的提出和啟發(fā),學(xué)生立馬想到了關(guān)于指對數(shù)的其他問題情境及解決方法:

生1: 因?yàn)閇exf(x)]′= ex[f(x)+f′(x)], 所以除了“把ex放分母”,還可以“把ex提出來”.

師追問: 很好! 除了指數(shù)函數(shù),還有什么函數(shù)會出現(xiàn)超越方程,怎么解決?

師總結(jié): 因此,我們不僅學(xué)了“把ex放分母”這一種代數(shù)變形方法,我們還需體會方法背后的數(shù)學(xué)思想,從本質(zhì)上來說,我們希望通過等價(jià)的代數(shù)變形,使得求解導(dǎo)函數(shù)時不出現(xiàn)超越方程等復(fù)雜的形式. 有興趣的同學(xué)還可以思考并探究: 由三角函數(shù)與其他基本初等函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)有何特殊的代數(shù)變形手段?

2.4 聚焦方法——問題解決,方法應(yīng)用

在體會方法的價(jià)值與思想后,還需通過具體的變式練習(xí)促進(jìn)方法的應(yīng)用與強(qiáng)化. 這一變式練習(xí)不宜發(fā)散,摻雜過多其它的方法技巧,應(yīng)當(dāng)聚焦本節(jié)課所學(xué)的思想方法,進(jìn)行有針對性的強(qiáng)化. 因此,筆者選取了問題6.

因此,該不等式證明問題解決的過程中以“求導(dǎo)——研究導(dǎo)函數(shù)——討論單調(diào)性——求最值”這一通性通法為主線,反復(fù)運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的思想方法,起到了方法聚焦,方法強(qiáng)化的作用.