運(yùn)用分類思想解高考數(shù)學(xué)試題例析
——以2020 年高考題為例

揚(yáng)州大學(xué)(225002) 楊 開 濮安山 黃強(qiáng)聯(lián)

分類思想是數(shù)學(xué)思想中的重要組成部分,是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想. 分類以比較為基礎(chǔ),比較是分類的前提,分類是比較的結(jié)果. 簡單來說,就是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,如果無法采取某種單一的方法去解決問題,就可以把該問題進(jìn)行劃分分割,形成若干個(gè)小問題,再針對(duì)小問題運(yùn)用已有的方法去解決,最終實(shí)現(xiàn)解決問題的目的. 并且在運(yùn)用分類思想過程中我們要遵循互不相容原則、不遺漏原則以及統(tǒng)一的原則本文結(jié)合20 年高考試題實(shí)例,探討分類思想在有關(guān)函數(shù)、數(shù)列以及不等式高考題目中的應(yīng)用.

1 函數(shù)題目中運(yùn)用分類思想

1.1 分類思想在正比例函數(shù)中的應(yīng)用

我們拿2020 年全國2 卷(理科)第23 題為例.

我們結(jié)合材料的種類或者主要功能把全園的室外活動(dòng)場(chǎng)地劃分為若干小區(qū)，如：球區(qū)、繩區(qū)、攀爬區(qū)、投擲區(qū)、跳躍區(qū)、平衡區(qū)等，同時(shí)在每個(gè)活動(dòng)區(qū)固定投放各種現(xiàn)成的或自制的運(yùn)動(dòng)器材，如：在平衡區(qū)投放平衡凳、易拉罐做的梅花樁、竹制高蹺、木制多人大腳板；在鉆爬區(qū)投放泡沫墊、大紙箱鉆洞、繩網(wǎng)、鉆圈；在跳躍區(qū)投放環(huán)保布跳袋、紙盒積木、紙板荷葉、障礙瓶跨欄等等，幼兒可以自由選擇同伴、自由選擇活動(dòng)區(qū)域、自由選擇運(yùn)動(dòng)器材自行練習(xí)走、跑、跳、鉆爬、投擲、平衡等動(dòng)作，教師則可以每天有重點(diǎn)的觀察孩子的動(dòng)作發(fā)展情況并給予個(gè)別指導(dǎo)和幫助。

例1 已知函數(shù)f(x)=||x-a2||+|x-2a+1|,當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≥4 的解集.

分析要求f(x) ≥ 4, 當(dāng)a= 2 時(shí), 結(jié)果會(huì)出現(xiàn)f(x) =|x-4|+|x-3|, 該題涉及到了絕對(duì)值問題, 而我們一般求解集問題的時(shí)候一般是要去掉絕對(duì)值的, 而去掉絕對(duì)值需要分為多種情況分別求解, 所以這里就用到了分類思想,由于式子是兩個(gè)絕對(duì)值相加,所以將x分成x≤3,3＜x ＜4,x≥4 三段來分別求解x在三段區(qū)間內(nèi)的取值范圍,最后將它們整合得到最終的解集.

解當(dāng)a=2 時(shí),

影像學(xué)檢查手段的豐富及相關(guān)解剖結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的深入，MRI檢查中HIZ改變和Modic改變被認(rèn)為是診斷腰部疼痛的重要改變。本研究擬通過探討MRI中的影像學(xué)改變對(duì)于診斷腰椎管狹窄癥腰痛的臨床價(jià)值。

這里我們來看例4 的解法,

1.2 分類思想在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用

又例如涉及到指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的問題并運(yùn)用分類思想解決該類問題,在高考題也時(shí)有出現(xiàn). 例如2020 年山東卷21 題.

2.4.1 單因素分析 對(duì)影響妊娠期UI發(fā)生的相關(guān)因素進(jìn)行單因素分析，結(jié)果顯示孕前BMI、分娩方式、分娩次數(shù)、孕周、盆底肌鍛煉、盆底治療、糖尿病（包括妊娠期糖尿?。?、便秘情況差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05），見表2～4。

分析若想求得a的取值范圍,該題需要對(duì)a進(jìn)行分類討論,對(duì)于a ＞1,0＜a ＜1,以及a=1 進(jìn)行分類討論.

綜上所述,a的取值范圍是[1,+∞).該題主要是針對(duì)a的范圍進(jìn)行分類討論,運(yùn)用較為巧妙,需要注意的是,對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論.

例2 已知f(x) =aex-lnx+lna. 若f(x) ≥1,求a的取值范圍.

血藥濃度監(jiān)測(cè)對(duì)于指導(dǎo)臨床合理用藥有著重要意義，“指南”和專家共識(shí)都推薦多種藥物進(jìn)行血藥濃度監(jiān)測(cè)，如萬古霉素、環(huán)孢素、卡馬西平、茶堿、地高辛等。本課題組之前開展了許多關(guān)于抗結(jié)核藥血藥濃度相關(guān)的研究[4]。由于抗結(jié)核藥的檢測(cè)沒有商品化的試劑盒可供選擇，所以不能選擇自動(dòng)化程度高的FPIA技術(shù)，使用的是HPLC檢測(cè)法。該技術(shù)相對(duì)于FPIA技術(shù)操作比較繁瑣，耗時(shí)多，難以大批量檢測(cè)；但可以穩(wěn)定地檢測(cè)出較低的藥物含量，回收率、穩(wěn)定性和精確度都符合生物樣品分析的要求，可以用于臨床藥物檢測(cè)及藥物動(dòng)力學(xué)研究。

為貫徹落實(shí)財(cái)政部《行政事業(yè)單位內(nèi)部控制規(guī)范（試行）》精神，高校對(duì)內(nèi)部控制建設(shè)日益重視。大多數(shù)高校從整體上對(duì)內(nèi)部控制制度及流程重新進(jìn)行了梳理和規(guī)范，根據(jù)各自特點(diǎn)與發(fā)展方向，改進(jìn)內(nèi)控體系建設(shè)，提高精細(xì)化管理水平。

1.3 分類思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的教學(xué)過程中,分類思想也應(yīng)用廣泛. 數(shù)列問題是最近一些年來高考大綱中所要求的必考的題型, 分類討論思想在數(shù)列問題的實(shí)際解題過程中較為常見,并針對(duì)性的對(duì)于數(shù)列實(shí)際周期和等比數(shù)列求和問題等具有良好的解題效果. 結(jié)合分類和討論兩種思想內(nèi)容,能夠有效提升學(xué)生解決問題的能力,加強(qiáng)解題效率,從而能夠在保障解題準(zhǔn)確性的同時(shí),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題能力. 分類討論思想在實(shí)際解題的過程中能夠更好地體現(xiàn)出自身的解題優(yōu)勢(shì)性,并在針對(duì)性的進(jìn)行數(shù)列相關(guān)問題的解題幫助和實(shí)質(zhì)性的理解時(shí), 讓學(xué)生能夠就此過程來掌握更加全面的內(nèi)容,提升學(xué)生的實(shí)際性解題速度,保障最終的解題效果. 這樣的解題思維模式應(yīng)用能夠推進(jìn)當(dāng)前教育教學(xué)的成效,并從促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展和掌握的同時(shí), 讓學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的知識(shí)內(nèi)涵,增進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在理解和掌握,我們拿2020 年上海卷第21 題為例:

例3 已知函數(shù)f(x) = sin2xsin 2x,討論f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)的單調(diào)性;

仔豬白痢屬于一種腸道傳染病。在疾病早期，仔豬攝食量正常，體溫及精神均無明顯變化，只有糞便顏色存在異常，以灰白色帶為主，混有綠色，糞便中存在粘液。隨著病情不斷加重，明顯的變化是精神沉郁、食欲不振以及背毛粗亂、沒有光澤、四肢則軟弱無力、反應(yīng)淡漠。如果病豬伴有肺炎、呼吸急促、咳嗽以及脫水等臨床癥狀，且沒有對(duì)其進(jìn)行有效治療，通常在病發(fā)后7 d出現(xiàn)死亡。部分病豬會(huì)逐漸變成慢性腹瀉，即使康復(fù)也會(huì)因不良生長而成為“僵豬”。仔豬白痢是影響仔豬成活率的主要疾病[1]。

解x ∈(0,π),則

2 數(shù)列題目中運(yùn)用分類思想

此外還有一些三角函數(shù)的問題也是以函數(shù)為基礎(chǔ),在其中作的一些改變，例如2020 年全國2 卷理科第21 題.

例4 有限數(shù)列{an}, 若滿足|a1-a2| ≤|a1-a3| ≤...≤|a1-am|,m是項(xiàng)數(shù),則稱{an}滿足性質(zhì)p.

分析討論單調(diào)性,即對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)尋求極值點(diǎn),之后對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行分類討論即可.

若a1=1,公比為q的等比數(shù)列,項(xiàng)數(shù)為10,具有性質(zhì)p,求q的取值范圍.

分析該題若要求q的取值范圍,只能對(duì)其進(jìn)行分類討論.

如果學(xué)生能夠在函數(shù)問題的解題過程中將題目中所給的條件進(jìn)行分類,在分類以后有條理的分步進(jìn)行解題,將能夠大幅度提高學(xué)生的解題效率與解題能力.

解由題意可得|qn-1| ≥ ||qn-1-1||,n ∈{2,3,...,9},兩邊平方得:qn-2qn+1 ≥q2n+2-2qn-1+1,整理得: (q-1)qn-1[qn-1(q+1)-2]≥0,當(dāng)q≥1 時(shí),得qn-1(q+1)-2 ≥0,此時(shí)關(guān)于n恒成立. 所以等價(jià)于n=2時(shí)q(q+1)-2 ≥0,所以(q+2)(q-1) ≥0,所以q≤-2或者q≥1. 當(dāng)0＜q ＜1 時(shí),得qn-1(q+1)-2 ≤0,此時(shí)關(guān)于n恒成立,所以等價(jià)于n=2 時(shí)q(q+1)-2 ≤0,所以(q+2)(q-1) ≤0,所以-2 ≤q≤1,所以取0＜q≤1. 當(dāng)-1 ≤q ＜0 時(shí),得qn-1[qn-1(q+1)-2]≤0.

當(dāng)n為奇數(shù)的時(shí)候, 得qn-1(q+1)- 2 ≤0, 明顯成立, 當(dāng)n為偶數(shù)的時(shí)候, 得qn-1(q+1)- 2 ≥0, 明顯不成立. 故當(dāng)-1 ≤q ＜0 時(shí), 矛盾, 舍去. 當(dāng)q ＜-1時(shí), 得qn-1[qn-1(q+1)-2]≤ 0, 當(dāng)n為奇數(shù)的時(shí)候,得qn-1(q+1)- 2 ≤0, 明顯成立, 當(dāng)n為偶數(shù)的時(shí)候,得qn-1(q+1)- 2 ≥0, 恒成立. 所以等價(jià)于n= 2 時(shí)q(q+1)-2 ≥0,所以(q+2)(q-1) ≥0,所以q≤-2 或者q≥1,所以取q≤-2.

某工程位于蘇南某城市的城區(qū)，場(chǎng)地?cái)M建8幢高層建筑，周圍是多層商業(yè)用房，地下車庫貫通整個(gè)工程。工程總建筑面積約21萬m2，地下車庫面積為32 500 m2。地下室平面如圖1所示。擬建場(chǎng)區(qū)下伏的各巖土層以粉質(zhì)黏土和粉土為主，淺層部位普遍伏有較大厚度的淤泥質(zhì)黏土等軟弱土層，故該場(chǎng)區(qū)的地基穩(wěn)定性較差。

綜上所述,q ∈(-∞,-2]∪(0,+∞).

該題不僅對(duì)進(jìn)行了分類討論,并且對(duì)q的奇偶性也做了一系列討論,討論n的奇偶性是高考大題中高頻題目,其解題方法通常運(yùn)用了分類的思想,將項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)偶數(shù)進(jìn)行討論,在所有討論結(jié)束以后,再將結(jié)果統(tǒng)合得到最終答案. 這樣有利于鍛煉學(xué)生分類思想的形成,以及大幅度提到了學(xué)生的解題效率,能使學(xué)生有一個(gè)更為清晰的思路,理清n與通項(xiàng)以及通項(xiàng)和之間的關(guān)系.

3 不等式題目中運(yùn)用分類思想

不等式問題是當(dāng)前高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容之一,對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力的考察較為常見,而題目一般多為線性規(guī)劃類的問題, 而在這類問題中學(xué)生首先要求出所給的區(qū)域面積,然后再對(duì)區(qū)域進(jìn)行平移來求取最大最小值. 這樣既能有效的解決問題,又能保證問題答案的準(zhǔn)確性. 例如全國1 卷理科第13 題.

分析該題已知三個(gè)不等式,讓求z的最大值,這里只需要通過數(shù)形結(jié)合的方法畫出這三個(gè)不等式所包含的區(qū)域,之后畫出x+7y=0 的圖像,并且向右平移到該區(qū)域的邊緣即可得出最大值.

解如圖1 所示,當(dāng)直線x+7y=0 平移到A點(diǎn)時(shí),z值最大,將A點(diǎn)代入z中可以求得最大值為1.

圖1

該題就是分類討論三個(gè)不等式所包含的區(qū)域,通過數(shù)形結(jié)合求出所圍出的區(qū)域, 使思路更加的清晰, 提升學(xué)生的解題效率同時(shí)也方便了后續(xù)問題的解答. 可見不等式題目中還會(huì)涉及其他種類的問題,但是萬變不離其宗,運(yùn)用分類討論思想掌握了解題的關(guān)鍵核心點(diǎn),可以有效看清問題的本質(zhì),這也提醒了當(dāng)今的教師,著重培養(yǎng)學(xué)生分類思想是非常重要的.

對(duì)，你說得對(duì)，我應(yīng)該采取一些其他的辦法。扔石子兒，或者把手高高地舉起來晃動(dòng)，這些辦法都行。這樣才有可能引起他們的注意。

4 結(jié)語

分類思想是高中數(shù)學(xué)解題中的重要數(shù)學(xué)思想,教師在進(jìn)行解題教學(xué)中,應(yīng)該從分類的標(biāo)準(zhǔn)、原則出發(fā),從不同題型的解答出發(fā),從合作討論出發(fā),展開分類思想的應(yīng)用,而促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)解題效率的提升,也促進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效率的提升. 高中生在解決數(shù)學(xué)習(xí)題中,特別是數(shù)列問題、不等式問題以及函數(shù)問題時(shí),分類討論這一思想能夠使我們解題思路變得更加清晰,對(duì)問題的考慮更加全面,使高中生解題的正確率大大提高. 同時(shí),涉及到分類思想的問題難度偏大,這也說明教師要在課堂中把握難點(diǎn)的講解,一定要讓學(xué)生意識(shí)到分類討論思想的重要性,并充分理解消化這種思想,可以將其靈活地運(yùn)用到解題過程中. 作為高中數(shù)學(xué)思想中最為重要的一種,能夠幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)邏輯思維,有效的提升他們的數(shù)學(xué)成績.