基于拓?fù)鋬?yōu)化理論的懸索橋雙吊桿索夾優(yōu)化設(shè)計(jì)

劉臥，唐冕，宋旭明，胡省陽(yáng)

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300142)

自錨式懸索橋的橋面荷載通過(guò)吊索和索夾傳遞給主纜，因此主纜和吊索的連接是關(guān)鍵部位[1-2]。索夾[3]是工程實(shí)踐中主纜和吊索普遍采用的連接構(gòu)件，考慮自錨式懸索橋施工周期較長(zhǎng)、施工工藝復(fù)雜等因素，進(jìn)一步增大了主纜與索夾錨固系統(tǒng)相互作用的復(fù)雜性，該部位的安全可靠性直接影響全橋結(jié)構(gòu)的可靠度，是橋梁設(shè)計(jì)的關(guān)鍵部位之一?！豆窇宜鳂蛟O(shè)計(jì)規(guī)范(JTG/T D65-05—2015)》[4]中提出索夾的設(shè)計(jì)應(yīng)根據(jù)吊索力和吊索處主纜的傾角進(jìn)行分類(lèi)設(shè)計(jì)，對(duì)主要受力部位制定了相關(guān)的構(gòu)造要求及力學(xué)性能要求，而關(guān)于索夾空間具體形式的設(shè)計(jì)，如弧形板的尺寸和耳板的形式等，規(guī)范中并未給出明確規(guī)定及參考意見(jiàn)。目前，索夾設(shè)計(jì)仍主要取決于相應(yīng)的力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)及設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，該方法存在明顯的局限性，無(wú)法得到最優(yōu)的索夾結(jié)構(gòu)。基于以上原因，進(jìn)行自錨式懸索橋索夾的優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分有必要的。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是指使工程結(jié)構(gòu)在滿足支撐和荷載條件下按預(yù)定目標(biāo)設(shè)計(jì)得到的優(yōu)化方案，其目標(biāo)是以最少的材料或最低的造價(jià)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性能[5]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化分為尺寸、形狀和拓?fù)鋬?yōu)化3 個(gè)層次[6]，其中，拓?fù)鋬?yōu)化比尺寸和形狀優(yōu)化節(jié)省材料更顯著，被認(rèn)為是一個(gè)更具有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域，可以廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械、航空、航天器及船舶制造等領(lǐng)域[7-9]。目前，比較成熟的拓?fù)鋬?yōu)化方法有均勻化方法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法和變密度方法等[10-11]。本文以長(zhǎng)沙市三汊磯湘江大橋?yàn)楣こ瘫尘埃噪p吊桿索夾為研究對(duì)象，基于變密度法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論，綜合考慮索夾的空間狀態(tài)對(duì)索夾結(jié)構(gòu)受力的影響，對(duì)自錨式懸索橋的雙吊桿索夾開(kāi)展優(yōu)化設(shè)計(jì)，為同類(lèi)索夾設(shè)計(jì)提供一種可行方案。

1 工程背景及拓?fù)鋬?yōu)化理論

1.1 工程背景

長(zhǎng)沙市三汊磯湘江大橋是一座大跨度自錨式懸索橋，跨徑布置為(70+132+328+132+70)m。

索夾采用左右對(duì)合、銷(xiāo)接帶耳板的形式，2 片索夾用高強(qiáng)螺栓夾緊。圖1 是傾角為0°的索夾結(jié)構(gòu)，其余索夾結(jié)構(gòu)根據(jù)傾角進(jìn)行相應(yīng)的局部調(diào)整，與傾角為0°時(shí)的形狀大致相同。索夾采用ZG270-500鑄鋼鑄造，索夾相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 工程背景中索夾參數(shù)Table 1 Cable clamp parameters in the engineering background

圖1 工程背景中索夾結(jié)構(gòu)(θ=0°)Fig.1 Cable clamp structure in engineering background

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化理論

本文采用變密度法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化理論，其基本思想是引入單元相對(duì)密度作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，在離散型優(yōu)化問(wèn)題中，單元優(yōu)化設(shè)計(jì)變量取值為0或1[12-13]，由于單元相對(duì)密度的引入，單元優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的取值在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，從而將離散型優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成連續(xù)型優(yōu)化問(wèn)題。

1.2.1 SⅠMP材料插值模型

在變密度法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，目前較普遍采用SⅠMP 插值模型法[14-16]來(lái)壓縮中間密度材料。

以結(jié)構(gòu)的最小柔度問(wèn)題為例，在SⅠMP 材料插值模型方法的基礎(chǔ)上，連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型如式(1)所示：

式(1)中各字母的具體含義見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。

1.2.2 優(yōu)化準(zhǔn)則

在變密度法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，目前較普遍采用優(yōu)化準(zhǔn)則法[17]來(lái)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值模型進(jìn)行求解分析，例如OC算法和COC算法等。

基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的變密度法連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示如下：

將優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)造成拉格朗日函數(shù)：

式(2)～(3)中各字母的具體含義見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。

2 索夾基本結(jié)構(gòu)及其性能評(píng)估

2.1 索夾基本結(jié)構(gòu)

以Atair Optistruct 軟件作為有限元分析平臺(tái)，取索夾耳板及過(guò)渡部位作為主要研究對(duì)象，分析雙吊桿索夾優(yōu)化前基本結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

分別建立不同傾角下索夾有限元模型，傾角分別為0°，10°，20°及30°。索夾材料設(shè)置為鑄鋼，其彈性模量為E=2.05×105MPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7.85×103kg/m3，采用六面體網(wǎng)格劃分，索夾基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。索夾在空間上受到主纜的約束作用，其空間狀態(tài)較穩(wěn)定，本文將索夾基本結(jié)構(gòu)弧形板整體視為固定約束，荷載條件取平均總吊索力1 050 kN，根據(jù)索夾傾角不同，荷載條件進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，以豎向與橫向的合力方式施加，見(jiàn)表2。

圖2 索夾基本結(jié)構(gòu)(θ=0°)Fig.2 Basic structure of cable clamp(θ=0°)

表2 吊索力施加方式Table 2 Application mode of sling force

2.2 變形分析

圖3是吊索力為1 050 kN，索夾傾角為0°時(shí)雙吊桿索夾基本結(jié)構(gòu)的耳板變形云圖；表3為不同傾角索夾基本結(jié)構(gòu)的最大變形量和等值線(相對(duì)0°時(shí))傾斜的情況。

由圖3 和表3 可知，當(dāng)索夾傾角為0°時(shí)，耳板變形呈現(xiàn)沿耳板中心線對(duì)稱(chēng)式分布，最大變形量為0.027 mm，出現(xiàn)在耳板開(kāi)孔的下部。隨著傾角的變化，索夾耳板內(nèi)部傳力途徑發(fā)生改變，耳板的變形會(huì)發(fā)生適應(yīng)于傾角變化的調(diào)整。例如，當(dāng)索夾傾角為10°時(shí)，其變形等值線相對(duì)傾角為0°時(shí)變形等值線發(fā)生了角度約11.3°的傾斜；其最大變形量為0.028 mm，出現(xiàn)在耳板開(kāi)孔的下部，相對(duì)于傾角為0°時(shí)最大變形量0.027 mm 變化不大，對(duì)結(jié)構(gòu)安全性能無(wú)太大影響。對(duì)于其他傾角的索夾結(jié)構(gòu)亦可得出類(lèi)似結(jié)論。

表3 索夾基本結(jié)構(gòu)變形情況Table 3 Deformation of the basic structure of the cable clamp

圖3 基本結(jié)構(gòu)變形云圖(θ=0°)Fig.3 Deformation cloud diagram of basic structure

2.3 應(yīng)力分析

圖4是吊索力為1 050 kN，索夾傾角為0°時(shí)雙吊桿索夾基本結(jié)構(gòu)的耳板Von Mises 應(yīng)力云圖；表4 為不同傾角索夾基本結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力值和應(yīng)力等值線(相對(duì)0°時(shí))傾斜的情況。

圖4 基本結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖(θ=0°)Fig.4 Basic structural stress nephogram

表4 索夾基本結(jié)構(gòu)應(yīng)力情況Table 4 Basic structural stress of cable clip

由圖4 和表4 可知，當(dāng)索夾傾角為0°時(shí)，耳板Von Mises 應(yīng)力呈現(xiàn)沿耳板中心線對(duì)稱(chēng)式分布，最大Von Mises 應(yīng)力為31.67 MPa，分布在吊孔周?chē)?。隨著傾角的變化，索夾耳板內(nèi)部傳力途徑發(fā)生改變，耳板的應(yīng)力會(huì)發(fā)生適應(yīng)于傾角變化的調(diào)整。例如，當(dāng)索夾傾角為10°時(shí)，其應(yīng)力等值線相對(duì)索夾傾角為0°時(shí)應(yīng)力等值線發(fā)生了角度約12.48°的傾斜；其最大應(yīng)力為33.44 MPa，分布在吊孔周?chē)?，相?duì)于傾角0°時(shí)最大應(yīng)力31.67 MPa 變化不大，滿足結(jié)構(gòu)安全要求；其他傾角的索夾結(jié)構(gòu)亦可得出類(lèi)似結(jié)論。

3 拓?fù)鋬?yōu)化模型及結(jié)果

3.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

雙吊桿索夾拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在滿足其基本受力條件下得到輕質(zhì)、高強(qiáng)、低柔順性結(jié)構(gòu)，即要求利用最少的原材料最優(yōu)地分布于索夾耳板的設(shè)計(jì)區(qū)域。當(dāng)采用變密度法拓?fù)鋬?yōu)化理論時(shí)，考慮到對(duì)于金屬這類(lèi)材料，可利用體積間接反映優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)質(zhì)量。因此，在優(yōu)化過(guò)程中將索夾耳板設(shè)計(jì)區(qū)域的體積作為目標(biāo)函數(shù)，將其在拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中的更新迭代結(jié)果作為判斷結(jié)構(gòu)優(yōu)化好壞的依據(jù)。具體設(shè)計(jì)參數(shù)如下所示。

響應(yīng)：體積響應(yīng)、位移響應(yīng)；

設(shè)計(jì)變量：?jiǎn)卧鄬?duì)密度；

約束條件：最小柔順性約束；

設(shè)計(jì)目標(biāo)：體積最小(即質(zhì)量最小)。

選用SolidWorks 創(chuàng)建索夾三維實(shí)體模型，并導(dǎo)入有限元分析平臺(tái)Atair Optistruct，將索夾耳板及過(guò)渡部位設(shè)置為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)區(qū)域，索夾弧形板設(shè)置為非設(shè)計(jì)區(qū)域，索夾材料、彈性模量、泊松比、密度、約束條件及荷載水平等相關(guān)參數(shù)與索夾基本結(jié)構(gòu)靜力分析模型保持一致，采用六面體網(wǎng)格劃分，分別建立傾角為0°，10°，20°及30°的索夾拓?fù)鋬?yōu)化有限元模型。

3.2 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

在HyperView中，拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量即單元相對(duì)密度顯示在0～1 范圍內(nèi)，通過(guò)調(diào)節(jié)密度當(dāng)前值current-value，使密度接近0 的淺色單元都不顯示，盡量讓密度接近1的深色單元顯示。結(jié)果表明，雙吊桿索夾優(yōu)化良好，目標(biāo)函數(shù)收斂較快，對(duì)于索夾耳板的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，在HyperView中選取密度current-value為0.5。

圖5是吊索力為1 050 kN，傾角為0°時(shí)的索夾耳板拓?fù)鋬?yōu)化模型；圖6 是索夾設(shè)計(jì)控制參數(shù)圖；表5為不同傾角的索夾結(jié)構(gòu)經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化后耳板兩側(cè)邊傾角α和β的變化情況。

表5 拓?fù)鋬?yōu)化后索夾耳板兩側(cè)邊傾角Table 5 Ⅰnclination angles of both sides of the cable clamp ear plate after topology optimization

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化后模型圖(θ=0°)Fig.5 Model diagram after topology optimization

圖6 索夾設(shè)計(jì)控制參數(shù)Fig.6 Cable clamp design control parameters

當(dāng)索夾傾角為0°時(shí)，索夾耳板呈對(duì)稱(chēng)式分布，弧形板與索夾耳板之間產(chǎn)生過(guò)渡部位，即圖5中淺色部分，該過(guò)渡段的單元密度在0.5～0.67 之間。將拓?fù)鋬?yōu)化后索夾結(jié)構(gòu)與索夾基本結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖進(jìn)行對(duì)比，顯示二者具有一定相似性。因此，在進(jìn)行索夾概念設(shè)計(jì)時(shí)，可依據(jù)吊索力計(jì)算索夾結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)，參考其應(yīng)力等值線削減多余材料。

從圖5 和表5 可知，索夾傾角10°時(shí)耳板兩側(cè)邊傾角α和β分別為7°和26°，相對(duì)于索夾傾角0°時(shí)兩側(cè)邊傾角變化的絕對(duì)值分別為10°和9°，與索夾傾角增幅10°大致相等，即傾角10°時(shí)索夾結(jié)構(gòu)耳板側(cè)邊傾角變化的幅度與索夾傾角θ增加的幅度近似相等；其他傾角的索夾結(jié)構(gòu)亦可得出類(lèi)似結(jié)論。因此，考慮傾角影響的雙吊桿索夾進(jìn)行初步設(shè)計(jì)時(shí)，可依據(jù)無(wú)傾角雙吊桿索夾的結(jié)構(gòu)形式，對(duì)索夾耳板側(cè)邊線做出相應(yīng)的角度調(diào)整。

文獻(xiàn)[18]研究表明索夾脫空角范圍隨吊索力增大而增加且受吊索力合力點(diǎn)的影響；文獻(xiàn)[4]建議吊索合力通過(guò)索夾中心，這是索夾設(shè)計(jì)的基本要求。在索夾抗滑能力滿足規(guī)范要求時(shí)，如果不偏移吊孔位置，通過(guò)加長(zhǎng)索夾一端長(zhǎng)度使索夾中心偏移至吊索合力方向上，該設(shè)計(jì)方法易造成索夾材料浪費(fèi)，且由于索夾尺寸較大，增大了吊裝施工難度。因此，在雙吊桿索夾優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)適當(dāng)調(diào)整耳板吊孔位置，使整體結(jié)構(gòu)受力均勻。

根據(jù)幾何關(guān)系可直接計(jì)算得到吊桿合力的偏移距離d，當(dāng)?shù)蹩拙嗨鲓A中心距離h一定時(shí)，偏移距離d隨主纜傾角增大而增大。由于自錨式懸索橋主纜垂跨比較大，主纜傾角較大，若直接以吊桿合力的偏移距離d作為吊孔偏移依據(jù)，索夾長(zhǎng)度、吊孔位置及結(jié)構(gòu)受力三者很難耦合。

根據(jù)索夾拓?fù)鋬?yōu)化模型，隨著索夾傾角的變化，索夾耳板結(jié)構(gòu)不再關(guān)于2個(gè)吊孔中心線對(duì)稱(chēng)式分布，此時(shí)索夾耳板及過(guò)渡部位相對(duì)于索夾中心發(fā)生了偏移。經(jīng)測(cè)量：索夾傾角為10°時(shí)，偏移距離d′約為80 mm；索夾傾角為20°時(shí)，偏移距離d′約為140 mm；索夾傾角為30°時(shí)，偏移距離d′約為200 mm。

由此可知，以索夾耳板及過(guò)渡部位為設(shè)計(jì)區(qū)域的雙吊桿索夾進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，在控制2個(gè)吊孔中心距離不變時(shí)索夾設(shè)計(jì)區(qū)域產(chǎn)生相對(duì)于索夾中心的整體偏移，偏移的主要原因是調(diào)整索夾吊孔位置使吊索合力盡可能地通過(guò)索夾中心。分析表明，拓?fù)鋬?yōu)化模型的偏移距離d′與吊索合力的偏移距離d雖存在一定的差距，但總體相差不大，且二者存在明顯的線性函數(shù)關(guān)系，如圖7所示。

圖7 吊孔偏移距離與吊索合力偏移距離關(guān)系Fig.7 Relationship between offset distance of lifting hole and resultant offset distance of sling

經(jīng)線性回歸分析，得到優(yōu)化后索夾形狀的簡(jiǎn)化擬合公式，即d′與h的函數(shù)表達(dá)式：

式中：d′為吊孔偏移距離優(yōu)化值，mm；h為雙吊孔連線中心距索夾中心線距離，mm；θ為索夾傾角，(°)。注意，當(dāng)索夾傾角為0°時(shí)，偏移距離為0 mm。

4 新型索夾設(shè)計(jì)及性能評(píng)估

4.1 新型索夾結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

通過(guò)Ossmooth 工具導(dǎo)出拓?fù)鋬?yōu)化粗糙結(jié)構(gòu)，并利用Solidworks對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修復(fù)和刪減，捕捉粗糙結(jié)構(gòu)的主要特征，去除多余線條，對(duì)可能出現(xiàn)應(yīng)力集中部位進(jìn)行平滑過(guò)渡，遵循索夾材料分布規(guī)律，通過(guò)偏移耳板吊孔位置對(duì)雙吊桿索夾進(jìn)行二次設(shè)計(jì)。圖8 是傾角為0°時(shí)新型索夾結(jié)構(gòu)外側(cè)圖，表6 為不同傾角的新型索夾結(jié)構(gòu)的具體參數(shù)情況。

表6 新型索夾結(jié)構(gòu)的參數(shù)Table 6 Parameter table of the new type of cable clip structure

圖8 新型索夾結(jié)構(gòu)(θ=0°)Fig.8 New type of cable clip structure(θ=0°)

4.2 新型索夾性能評(píng)估

對(duì)最終確定的新型索夾結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，其中，最大變形量和最大應(yīng)力值都出現(xiàn)在索夾傾角為30°時(shí)，如圖9～10 所示。由結(jié)果可知，不同傾角的新型索夾最大變形量約為0.046 mm，發(fā)生在吊孔下方，最大Von Mises應(yīng)力約為50 MPa，小于ZG270-500鑄鋼索夾材料的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，滿足結(jié)構(gòu)安全要求。

圖9 新型索夾變形云圖(θ=30°)Fig.9 Deformation nephogram of new cable clip

圖10 新型索夾應(yīng)力云圖(θ=30°)Fig.10 Stress nephogram of new type cable clip

由表7可知，相較于雙吊桿索夾優(yōu)化前基本結(jié)構(gòu)，不同傾角的新型索夾結(jié)構(gòu)耳板減重約57%；相較于工程背景索夾結(jié)構(gòu)，不同傾角的新型索夾結(jié)構(gòu)耳板減重約20%。由表8 可知，新型索夾結(jié)構(gòu)耳板安全系數(shù)約為1.8，原工程背景中索夾結(jié)構(gòu)耳板安全系數(shù)約為2.0，新型索夾結(jié)構(gòu)仍具有較大的安全儲(chǔ)備。

表7 索夾耳板質(zhì)量對(duì)比Table 7 Weight comparison of cable clamp ear plates

表8 索夾耳板力學(xué)性能Table 8 Mechanical properties of cable clamp ear plate

5 結(jié)論

1) 當(dāng)索夾傾角為0°時(shí)，索夾耳板呈對(duì)稱(chēng)式分布，將拓?fù)鋬?yōu)化后索夾結(jié)構(gòu)與索夾基本結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果顯示二者具有一定相似性，可依據(jù)索夾基本結(jié)構(gòu)應(yīng)力等值線進(jìn)行索夾概念設(shè)計(jì)。

2) 以傾角為0°時(shí)的優(yōu)化結(jié)果為參照，對(duì)比不同傾角索夾的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中側(cè)邊線角度變化幅度，結(jié)果顯示索夾側(cè)邊線角度變化的幅度與傾角θ增加的幅度近似相等，故考慮傾角影響的雙吊桿索夾進(jìn)行初步設(shè)計(jì)時(shí)，可依據(jù)無(wú)傾角雙吊桿索夾的結(jié)構(gòu)形式對(duì)索夾耳板側(cè)邊線做出相應(yīng)的角度調(diào)整。

3)當(dāng)傾角為10°，20°及30°時(shí)，雙吊桿索夾耳板及過(guò)渡部位在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中發(fā)生相對(duì)于索夾中心的偏移，偏移量分別為80，140 及200 mm，其主要原因是調(diào)整索夾吊孔位置使吊索合力盡可能地通過(guò)索夾中心；優(yōu)化后得到索夾形狀的簡(jiǎn)化擬合公式，在滿足索夾抗滑及結(jié)構(gòu)受力均勻的前提條件下使材料達(dá)到最省。

4) 新型索夾結(jié)構(gòu)耳板相較于基本結(jié)構(gòu)減重約50%～60%，相較于工程背景索夾結(jié)構(gòu)減重約20%，且仍具有較大的應(yīng)力安全儲(chǔ)備。根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)的雙吊桿索夾在考慮索夾傾角影響的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕質(zhì)、高強(qiáng)和經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)目標(biāo)。