一道拋物線中定點定值試題的探究

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學(xué)(015000) 楊松松 王東偉

題目 (臺州市2022 年4 月高三年級質(zhì)檢第21 題)已知拋物線Γ:y2=2px(p ＞0)的焦點為F,且過F的弦長的最小值為4.

(I)求p的值;

(II)經(jīng)過點P且不過原點的直線l與拋物線Γ 相交于S,T兩點,且直線FS,FT的斜率分別為k1,k2. 問: 是否存在定點P,使得k1·k2為定值? 若存在,請求出點P的坐標(biāo).

題目第(I) 問p= 2; 第(II) 問, 存在定點P(-1,2) 或(-1,-2),使得k1·k2=1 為定值.

筆者思考,題目第(II)問中,對于任意拋物線是否也有類似的結(jié)論. 經(jīng)探究得到: