2021 年冬季美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(AMC12A)的試題與解答

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 李湖南

圖1

(A) 160 (B) 164 (C) 166 (D) 170 (E) 174

解 依題意,可得∠FDE=360°-90°-110°=160°,從而∠DFE=∠DEF=10°,故∠AFE=170°,(D)正確.7. 一個(gè)學(xué)校有100 個(gè)學(xué)生和5 個(gè)老師. 在第一個(gè)階段,每個(gè)學(xué)生只上一門課,每個(gè)老師也只教一門課. 所有課程的注冊(cè)人數(shù)分別是50,20,20,5,5. 令t是隨機(jī)選擇一個(gè)老師,他所教課程的注冊(cè)人數(shù)的平均值,s是隨機(jī)選擇一個(gè)學(xué)生,他所學(xué)課程的注冊(cè)人數(shù)(包括他自己)的平均值. 則t-s是多少?

圖2

圖3

圖4

16. 某機(jī)關(guān)有30 名員工,其中20 名員工使用A型電腦,剩下10 名員工使用B型電腦. 為安全起見,兩臺(tái)電腦之間只能使用纜線連接,且纜線僅可以連接一臺(tái)A 型電腦和一臺(tái)B型電腦. 員工可以彼此交流,如果他們的電腦使用一條纜線連接著或者通過一系列連接的電腦傳送信息. 最初的時(shí)候,所有電腦兩兩之間均未連接. 技術(shù)員任意選擇每個(gè)型號(hào)的電腦各一臺(tái)并安裝纜線,如果那兩臺(tái)電腦尚未連接. 一旦每個(gè)員工都可以與其他員工交流,技術(shù)員就停止安裝. 問最多可能使用了多少條纜線？

(A) 190 (B) 191 (C) 192 (D) 195 (E) 196

解 如果20 臺(tái)A型電腦與10 臺(tái)B型電腦均有纜線連接,則有200 條纜線. 原問題等價(jià)于最少斷開幾條纜線將導(dǎo)致員工之間不能隨意交流. 很明顯,如果連接一臺(tái)指定的A型電腦(比如A1)的10 條纜線都斷開,那么A1 將不能與任何其他員工交流. 此時(shí),還有190 條纜線連接著,只需再任意安裝1 條纜線,就能確保交流通暢. 故最多可能使用了191條纜線,(B)正確.

17. 有多少有序正整數(shù)對(duì)(b,c)使得方程x2+bx+c=0和x2+cx+b=0 都沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?

圖5

22. 阿扎爾和卡爾玩一字棋. 在3×3 的格子中,阿扎爾先放一個(gè)X 在其中一個(gè)格子里,接著卡爾在其余格子里放一個(gè)O,然后阿扎爾又在其余格子里再放一個(gè)X,如此繼續(xù),直到9 個(gè)格子全滿了,或者其中一個(gè)人先在一行、一列或一條對(duì)角線上放了3 個(gè)同樣的X 或O,這時(shí)候這個(gè)人就贏了. 假設(shè)兩個(gè)人每一步都是隨機(jī)下,而不是根據(jù)理性的策略,且卡爾放了第三個(gè)O 就贏了. 則游戲結(jié)束時(shí)的局面有多少種可能?

(A) 36 (B) 112 (C) 120 (D) 148 (E) 160

圖6

圖7

23. 一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1 的二次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式p(x)稱作無禮的(disrespectful),如果方程p(p(x)) = 0 恰好有三個(gè)實(shí)根. 在所有無禮多項(xiàng)式中,存在唯一一個(gè)多項(xiàng)式?p(x)使得其三根之和最大,則?p(1)是多少?

解 設(shè)BC=x,CD=y,DA=z,則x,y,z,18 在某種順序下構(gòu)成等差數(shù)列.若公差為0, 則x=y=z= 18, 此時(shí)ABCD是一個(gè)菱形,a= 18, 符合要求;若公差不為0, 則x,y,z互異且均小于18, 此時(shí)ABCD構(gòu)成一個(gè)梯形. 如圖8 示, 過點(diǎn)D作DE//CB交AB于點(diǎn)E, 則BCDE是一個(gè)平行四邊形. 在ΔADE中, 由余弦定理, 可得DE2=AD2+AE2- 2AD · AEcosA,即x2=z2+(18-y)2-z ·(18-y), 化簡(jiǎn)得x2+81 =(z-9)2+(y-18)2+yz,分情況討論:

圖8

(1)公差為1:x,y,z ∈{17,16,15},無解; (2)公差為2:x,y,z ∈{16,14,12}, 有一組解x= 14,y= 12,z= 16;(3) 公差為3:x,y,z ∈ {15,12,9}, 無解; (4) 公差為4:x,y,z ∈{14,10,6},無解;(5)公差為5:x,y,z ∈{13,8,3},有一組解x= 13,y= 3,z= 8;顯然,公差不可能大于等于6.

因此,a的所有可能值為3,8,13,12,14,16,18, 其和是84. 故(E)正確.

25. 設(shè)m≥5 是個(gè)奇數(shù),且m|(a1+a2+a3+a4),其中ai為互異整數(shù)且1 ≤ai≤m,i= 1,2,3,4. 令D(m)表示這樣的四元數(shù)組(a1,a2,a3,a4)的個(gè)數(shù),則存在一個(gè)多項(xiàng)式q(x) =c3x3+c2x2+c1x+c0使得D(m) =q(m)對(duì)所有的奇數(shù)m≥5 成立. 問c1是多少?

(A)-6 (B)-1 (C) 4 (D) 6 (E) 11

解 先考慮ai為互異整數(shù)且1 ≤ai≤m,i= 1,2,3,4的四元數(shù)組(a1,a2,a3,a4),共有m(m-1)(m-2)(m-3)個(gè).