切線放縮法在不等式中的應(yīng)用*

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 溫伙其

若函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間[a,b] 上有凹凸性, 可以利用它在點P(x0,f(x0)) 處切線y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)進行放縮. 即當(dāng)函數(shù)y=f(x) 的圖象在區(qū)間[a,b] 下凹(f′′(x)＞0) 時, 有f(x) ≥f′(x0)(x-x0)+f(x0); 當(dāng)函數(shù)y=f(x) 的圖象在區(qū)間[a,b] 上凸(f′′(x)＜0) 時, 則f(x) ≤f′(x0)(x-x0)+f(x0). 這種思想可以實現(xiàn)以直代曲,化超越函數(shù)為一次函數(shù),在中學(xué)數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用.

一、利用指數(shù)函數(shù)切線放縮

指數(shù)函數(shù)y= ex在x= 0 處的切線方程為y=x+1,過點O(0,0)的切線方程為y=ex,通過它們的圖象,我們得到兩個切線不等式: ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 時取等號;ex≥ex,當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時取等號.

二、利用對數(shù)函數(shù)切線放縮

三、借助恒等式同時切線放縮

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)同時進行切線放縮, 則有ex-lnx ＞(x+1)-(x-1) = 2, 進一步可得到不等式鏈: ex ＞x+1＞x ＞lnx+1(x ＞0 且x/=1).

四、借助三角函數(shù)進行放縮

上述四類切線不等式進行放縮,極大的簡化了不等式的證明,起到化繁為簡的作用. 在解題過程中,既強化數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想,又體現(xiàn)處理數(shù)學(xué)問題時以直代曲、以曲代曲的高效方法.