界面動力學(xué)參數(shù)對深胞晶界面形態(tài)整體波動不穩(wěn)定性的影響*

鈕迪 蔣晗?

1)(桂林電子科技大學(xué),數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,桂林 541004)

研究界面動力學(xué)對定向凝固中深胞晶形態(tài)穩(wěn)定性的影響.應(yīng)用多重變量法和匹配漸近法,通過尋找系統(tǒng)的模式解,導(dǎo)出了胞晶界面擾動振幅的變化率滿足的色散關(guān)系,得到了界面形態(tài)的量子化條件.結(jié)果表明,考慮了界面動力學(xué)參數(shù)的深胞晶生長的定向凝固系統(tǒng)有兩種整體不穩(wěn)定性機(jī)制,整體振蕩不穩(wěn)定機(jī)制和低頻不穩(wěn)定性.穩(wěn)定性分析表明,界面穩(wěn)定性參數(shù) ε 與胞晶相對參數(shù) λ0 有關(guān),低階時界面動力學(xué)參數(shù) M* 越大,中性模式產(chǎn)生強(qiáng)振蕩的枝晶結(jié)構(gòu)的整體波動不穩(wěn)定性的穩(wěn)定區(qū)域越大.

1 引言

定向凝固是一種在合金制備的過程中常用的工藝,其固液界面的傳播速度可以受到人為控制.在定向凝固過程中,固液界面形態(tài)會受到凝固速度的影響.隨著凝固速度的提高,界面形態(tài)將由低速生長的平直界面,依次演變?yōu)樾≌穹陌Ы缑?、大振幅的深胞晶界面、枝晶界面、?xì)胞晶界面,最后變?yōu)楦咚偕L的平直界面.固液界面形成的典型微結(jié)構(gòu)是枝晶和胞晶,其生長的穩(wěn)定性是材料學(xué)中重要的研究課題.合金中胞晶生長的穩(wěn)定性會影響合金的微結(jié)構(gòu),對最終成品合金的性能造成影響.例如Peng等[1]通過實驗發(fā)現(xiàn),在定向凝固過程中會出現(xiàn)雀斑缺陷,且凝固過程中的枝晶形貌與Gibbs-Thomson 效應(yīng)密切相關(guān).

許多學(xué)者也對晶體生長進(jìn)行了研究.Mullins和Sekerka[2,3]研究了晶體生長的界面穩(wěn)定性,提出了界面穩(wěn)定性動力理論,稱為M-S 理論,為固液界面形態(tài)特征理論奠定了基礎(chǔ).隨后Nash和Glicksman[4]提出最大生長速度理論,他們在原有的系統(tǒng)上額外加上了兩個邊界條件并求解了數(shù)值解.Kruskal和Segur[5]提出了微觀可解性條件(MSC)理論的3 個斷言,考慮了各向異性界面能,在Nash-Glicksman的模型中加入了各向異性參數(shù).Xu等[6,7]提出了界面波(IFW)理論,該理論對Nash-Glicksman 模型進(jìn)行了重要修正,使用攝動方法推導(dǎo)出了自由枝晶穩(wěn)定性生長的理論模型.Pocheau和Georgelin[8]、Ding等[9]通過實驗發(fā)現(xiàn)了定向凝固中胞晶形態(tài)選擇具有歷史相關(guān)性.

另一方面,界面動力學(xué)對于晶體的生長和界面穩(wěn)定性有著重要影響.Coriell和Sekerka[10]研究發(fā)現(xiàn)晶體的界面動力學(xué)特性也是影響晶體生長的因素.Trivedi等[11]研究了界面動力學(xué)各向異性對定向凝固中胞晶微結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響,發(fā)現(xiàn)界面動力學(xué)各向異性會使得胞晶界面傾斜.李金富和周堯和[12]通過理論分析,發(fā)現(xiàn)引入動力學(xué)項,擴(kuò)大了共晶耦合生長的過冷度范圍,降低了共晶生長速度.Tan等[13]研究了Ag-Cu(質(zhì)量分?jǐn)?shù)為15%)合金的快速定向凝固的枝晶生長模型,并與實驗結(jié)果進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)引入界面動力學(xué)會使得模型與實驗結(jié)果更接近.蔣晗等[14]研究了各向異性界面動力學(xué)對定向凝固的深胞晶的影響,發(fā)現(xiàn)界面動力學(xué)各向異性和表面張力各向異性偏好方向的角度差值不同會影響深胞晶的形態(tài).Chen等[15,16]通過解析方法研究了界面動力學(xué)對球晶生長的影響,發(fā)現(xiàn)界面動力學(xué)對球晶的生長有較強(qiáng)的穩(wěn)定作用.他們發(fā)現(xiàn),與忽略了界面動力學(xué)的情況相比,界面動力學(xué)會使界面過冷度顯著減小,界面更穩(wěn)定,這與實驗[17,18]的結(jié)論一致.但是,數(shù)值和實驗方法并不能解釋其內(nèi)在的機(jī)制,需要使用解析的方法才能解釋.本文將采用多重變量展開法,對考慮了界面動力學(xué)參數(shù)的深胞晶界面穩(wěn)定性進(jìn)行研究.

2 定向凝固系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1 基于Saffmen-Taylor 解構(gòu)造的曲線坐標(biāo)系 (ξ,η)[20]Fig.1.Curve coordinate system (ξ,η)based on Saffmen-Taylor solution.

假設(shè)胞晶列具有周期性,每個胞晶寬度都為W.此時只需要考慮單個區(qū)間即可.因此模型等價于在固定側(cè)壁x±W的通道中的胞晶生長.使用曲線坐標(biāo)系 (ξ,η),控制方程化為

其中:

是兩倍平均曲率算子，且有：

質(zhì)量守恒條件:

3 外部漸近解

3.1 定?；鶓B(tài)解與線性擾動態(tài)

將定常胞晶生長的整體基態(tài)解作為基態(tài),則當(dāng)ε→0 時,在界面ηO(1)附近的子區(qū)域,定常解可簡化為

其中:

非穩(wěn)態(tài)解可寫成兩部分:

且假設(shè)胞晶相對寬度λ0是給定的常數(shù),則主間距W和胞晶尖端位置y*是無擾動的.將(7)和(8)式代入系統(tǒng)并進(jìn)行線性化處理,得到線性擾動系統(tǒng).擾動系統(tǒng)可寫為

3.2 外部區(qū)域內(nèi)擾動態(tài)的多重變量漸近展開解

定義如下的快變量[21]來使用多重變量漸近展開方法:

利用遠(yuǎn)場條件、側(cè)壁條件和表面條件,把系統(tǒng)(9)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘧兞肯到y(tǒng)的形式,且(13)式有如下的漸近展開:

將(9)—(14)式代入線性擾動系統(tǒng),可得控制方程:

和質(zhì)量守恒條件:

其中k0k0(ξ,0);

把(19)代入(16)和(17)式,得到色散公式:

其中:

3.3 變量替換

為了進(jìn)一步分析色散式(20),引入新變量ρ來代替ξ.令:

運(yùn)用新變量ρ,把色散式(20)轉(zhuǎn)化為

其中:

給定σ0,可得以下方程:

(23)式的3 個根為

其中:

常數(shù){D1,D3}是在復(fù)平面ρ上沿著ρ的實軸的分片常數(shù).

4 根部解與量子化條件

4.1 一級奇異攝動系統(tǒng)

一級近似系統(tǒng)的控制方程可寫成:

該系統(tǒng)具有標(biāo)準(zhǔn)模式解:

則由(27)式可得Gibbs-Thomson 條件:

和質(zhì)量守恒條件:

其中:

4.2 特征值 σ1 的一級近似

對固定的σ0,通過對色散式(33)求關(guān)于ζ的全導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),對(32)式求導(dǎo),可得:

因此,當(dāng)ζζc時,(31)式化解為

其中:

從(38)式可知,當(dāng)ζ趨于孤立奇點ζc時,有:

其中m1m2O(1).

函數(shù)k1(ζ)在奇點附近可展開為Laurent 級數(shù).由(39)式,R1(ζc)0,且ζc是函數(shù)k1(ζ)的單極點,由此得σ1為

由(40)式σ1由自由參數(shù)σ0確定.接下來將研究奇異點ζc附近的行為,導(dǎo)出σ0的表達(dá)式,擴(kuò)展(ξ,η)平面內(nèi)的全局波模式解.

4.3 奇異點 (ζc,0)附近的內(nèi)解與近似

為求解 (ζc,0)附近的內(nèi)解,在齊次系統(tǒng)內(nèi)引進(jìn)內(nèi)變量:

其中α待定.使用上述內(nèi)變量后,內(nèi)解的控制方程變?yōu)?/p>

界面條件為當(dāng)η*0 時,有Gibbs-Thomson 條件:

和質(zhì)量守恒條件:

然后把內(nèi)解進(jìn)行漸近展開:

去掉內(nèi)解系統(tǒng)里的高階無窮小,可得內(nèi)解首級近似下的控制方程:

界面條件為當(dāng)η*0 時,有Gibbs-Thomson 條件:

和質(zhì)量守恒條件:

以及轉(zhuǎn)化后的質(zhì)量守恒條件:

其中:

此時,可把(52)式重寫成以下形式的控制方程:

其中:

(55)式有5 個孤立奇點和轉(zhuǎn)向點:ρ±i,±iα,ρc,其中ρc是方程中復(fù)平面ρ內(nèi)的一個簡單轉(zhuǎn)向點,ρ±i,±iα分別是函數(shù)S(ρ)和P(ρ)的零點.由于:

因此,要研究轉(zhuǎn)向點ρc附近內(nèi)解行為以得出一致有效漸近解,需要考慮以下兩種情況: 1)|σ0|O(1);2)|σ0|?1 .情況1)可得如下的連接條件:

后一種情況則無法與外解匹配,故排除.

4.4 內(nèi)解結(jié)果總結(jié)

內(nèi)部區(qū)域遠(yuǎn)離遠(yuǎn)場的內(nèi)部方程可寫成如下的Airy 方程:

在這基礎(chǔ)上運(yùn)用尖端光滑條件后,復(fù)特征值σ0可以確定ε和其他參數(shù).

5 整體穩(wěn)定性機(jī)制

5.1 復(fù)特征值的頻譜及整體振蕩(GTW)不穩(wěn)定性

對于4.4 節(jié)的情況1,p01,v1/3 .假設(shè)σ0σR-iω(ω＞0),只考慮生長速度較小的模式,即|σR?1|進(jìn)行穩(wěn)定性分析.在外部區(qū)域使用復(fù)特征值σ0表示物理解:

其中H(ρ)D1H1+D3H3,D1,D3是H波的系數(shù),H1,H3是H波,且有:

然后根據(jù)(59)式,則有:

由尖端光滑性條件,d1和d3要滿足:

1)對稱S-模式:

2)反對稱A-模式:

由(61)和(62)式,得量子化條件:

由(24),(56),(63)式,發(fā)現(xiàn)對于同一個n,GTWS 模式增長率比GTW-A 模式更大,也稱GTWS 模式比GTW-A 模式更危險.此外還可以得到ε*和λ0的關(guān)系,并得到不同的物理參數(shù)下ε*和λ0的圖像,得到界面動力學(xué)參數(shù)M*對系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域大小的影響.

通過繪圖發(fā)現(xiàn),一級近似下,界面動力學(xué)參數(shù)M*越大,系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域越大.圖2 展示了首級近似和一級近似下ε*和λ0的關(guān)系.圖像表示,對于同一個胞晶相對寬度λ0,一級近似下的ε*小于首級近似下的ε*.圖3 展示了n0,1,2 時的GTW-S 中性曲線,發(fā)現(xiàn)GTW 機(jī)制下n0 時最危險.圖4和5分別展 示了E0.1,0.25 時和m*1,5,10 時的GTW-S 中性曲線.發(fā)現(xiàn)對于同一個λ0,E越小,系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域越大,或m*越大,系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域越大.這里m*是一個與界面動力學(xué)參數(shù)M*有關(guān)的參數(shù),有是一個和純?nèi)垠w溫度TM相關(guān)的參數(shù).

圖2 首級近似與一級近似的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為 n=0 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1Fig.2.The neutral curves of GTW-S-modes with zero-thorder approximation and first-order approximation for the case n=0 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1 .

圖3 一級近似下的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為n=0,1,2 ,λG=0.3991,κ=0.29,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1Fig.3.The neutral curves of GTW-S-modes with first-order approximation for the case n=0,1,2 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1 .

圖4 一級近似下的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為E=0.1,0.25,n=0 ,λG=0.3991,κ=0.29,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,m*=1Fig.4.The neutral curves of GTW-S-modes with first-order approximation for the case of E=0.1, 0.25,n=0,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,m*=1 .

從以上分析發(fā)現(xiàn),GTW-S 中性模式的曲線將平面分成了穩(wěn)定區(qū)域(S)和不穩(wěn)定區(qū)域(Os.U).由此得到振蕩穩(wěn)定性判斷依據(jù): 若 (ε,λ0)∈(S),則穩(wěn)定;若 (ε,λ0)∈(Os.U),則振蕩不穩(wěn)定.

對于4.4 節(jié)的情況2,這種情況導(dǎo)致實特征值(|σ0|?1)的頻譜.此時系統(tǒng)此時系統(tǒng)允許兩種整體低頻模式,包括對稱模式與反對稱模式.但是在該模式的首級近似下,界面動力學(xué)參數(shù)不起作用,不影響系統(tǒng)在該模式下的穩(wěn)定性.一階近似下界面動力學(xué)會影響穩(wěn)定性,后續(xù)會跟進(jìn)研究.

圖5 一級近似下的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為m*=1,5,10,E=0.25 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2,M=0.09552Fig.5.The neutral curves of GTW-S-modes with first-order approximation for the case of m*=1,5,10,E=0.25,n=0,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552 .

6 結(jié)論

本文通過匹配漸近展開法和多重變量展開法,研究了定向凝固過程中界面動力學(xué)參數(shù)對深胞晶界面形態(tài)的穩(wěn)定性造成的影響.通過定義快變量進(jìn)行變量替換,尋找外部系統(tǒng)和根部系統(tǒng)的模式解,導(dǎo)出了胞晶界面擾動振幅的變化率滿足的色散關(guān)系,得到了整體模式解,界面形態(tài)的量子化條件,內(nèi)解與外解的匹配條件以及深胞晶生長的臨界穩(wěn)定性判斷依據(jù).結(jié)果表明,界面動力學(xué)參數(shù)對定向凝固中對整體波動不穩(wěn)定性有影響.考慮了界面動力學(xué)的胞晶擁有兩種整體不穩(wěn)定性機(jī)制: 整體振蕩不穩(wěn)定性和整體低頻不穩(wěn)定性.整體振蕩不穩(wěn)定性出現(xiàn)在復(fù)特征值頻譜的情況下,表示沿著界面?zhèn)鞑サ男胁?此時系統(tǒng)允許對稱S-模式和反對稱A-模式.而整體低頻不穩(wěn)定性出現(xiàn)在實特征值頻譜的情況下,此時系統(tǒng)允許允許對稱模式和反對稱模式.穩(wěn)定性分析表明,在整體波動不穩(wěn)定性中,GTWS 模式n0是最危險的模式,其整體振蕩模式中的枝晶結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定區(qū)域最大.在其他參數(shù)固定的情況下,界面動力學(xué)參數(shù)M*越大,則系統(tǒng)越穩(wěn)定,整體振蕩模式中的枝晶結(jié)構(gòu)的整體波動不穩(wěn)定性的穩(wěn)定區(qū)域越大.