半開放系統(tǒng)中的粒子逃逸問題*

張茂芳 游慧敏 尹相國 張?jiān)撇?/p>

1)(山西大學(xué)理論物理研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

2)(浙江理工大學(xué)物理系,浙江省光場(chǎng)調(diào)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018)

研究了半開放系統(tǒng)中粒子向開放空間的隧穿問題.考慮由無限高的墻和多個(gè) δ 函數(shù)勢(shì)壘組成的半Dirac 梳模型,首先求解該模型的精確解析解,其能量本征函數(shù)可以用遞推關(guān)系以封閉解析的形式給出.對(duì)單個(gè)勢(shì)壘、多個(gè)勢(shì)壘、無序勢(shì)壘等不同情況,利用傅里葉積分計(jì)算了任意時(shí)刻單粒子波函數(shù)的明確表示,導(dǎo)出了由初態(tài)保真度定義的粒子生存幾率閉合形式的表達(dá)式,重點(diǎn)研究了粒子生存幾率對(duì)勢(shì)壘高度、無序強(qiáng)度等系統(tǒng)參數(shù)的依賴,以及利用相關(guān)參數(shù)對(duì)衰減規(guī)律的操控及抑制.發(fā)現(xiàn)多個(gè)勢(shì)壘將大幅度提高粒子的生存幾率,無序的加入會(huì)極大地抑制其隨時(shí)間的振蕩.

1 引言

粒子從勢(shì)阱隧穿到空間是量子力學(xué)的基本問題之一,已被用于分析諸如核α衰變[1,2]、質(zhì)子發(fā)射[3,4]、聚變[5]、裂變[6]、光締合[7]、光解離[8]、或隧道二極管的功能[9]等現(xiàn)象.多年來,人們已經(jīng)詳細(xì)研究了粒子隧穿進(jìn)入開放空間的許多方面.如單粒子隧穿過程和多體玻色-愛因斯坦凝聚體的隧穿現(xiàn)在已經(jīng)得到了很好的解釋[10-16].近年來,由于超冷原子物理領(lǐng)域?qū)嶒?yàn)技術(shù)的快速發(fā)展,可以設(shè)計(jì)出特色新穎的隧穿系統(tǒng),如改變外勢(shì)的形狀[17-19]、有效維度[20-23]、制備初態(tài)[24]、或調(diào)節(jié)粒子間相互作用的強(qiáng)度[25,26].這一領(lǐng)域最近的重要實(shí)驗(yàn)成果包括海德堡的塞利姆·約希姆小組的實(shí)驗(yàn),他們研究了隧穿少費(fèi)米子系統(tǒng)的衰變[27,28].

本文考慮的則是半開放系統(tǒng),可以看作是Winter 模型[29]的一個(gè)推廣.Winter 模型由一個(gè)無限高的墻和一個(gè)δ函數(shù)勢(shì)組成,它的一個(gè)很好的特點(diǎn)是其能量本征函數(shù)可以以封閉解析的形式找到,使我們能夠很容易地洞察衰變粒子的性質(zhì).溫特指出衰變過程與指數(shù)律存在偏差,其長期演化遵循冪律.研究表明根據(jù)任意初始受限狀態(tài)的完整共振譜可導(dǎo)出生存幾率和非逃逸概率,它們?cè)诤荛L一段時(shí)間內(nèi)遵循不同的冪律衰減[30],在各種實(shí)驗(yàn)中也觀察到非指數(shù)衰減[31—33].實(shí)驗(yàn)技術(shù)的新進(jìn)展提供了以可控方式研究隧穿現(xiàn)象的機(jī)會(huì)[24,27],有助于更好地理解不穩(wěn)定多體狀態(tài)的特性.如最近的研究包括兩個(gè)相同的非相互作用粒子系統(tǒng)[34]、超冷原子系統(tǒng)[35-42]、具有庫侖相互作用的兩粒子系統(tǒng)[43]、以及由一個(gè)核-核和兩個(gè)價(jià)質(zhì)子組成的模型系統(tǒng)[44].雙勢(shì)壘情況下的Winter 模型已經(jīng)得到了很好的應(yīng)用,特別是最近關(guān)于不穩(wěn)定Tonks-Girardeau 氣體從中逸出的研究[45]帶給我們很多啟發(fā).

本文將Winter 模型進(jìn)行推廣,初始位于寬度為a的無限深勢(shì)阱中的粒子,右勢(shì)壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方N個(gè)勢(shì)壘與原來的無窮高左勢(shì)壘組成的系統(tǒng)我們稱之為半Dirac 梳模型，如圖1所示.本文首先求解該模型的精確解析解,考慮其含時(shí)演化,利用生存幾率來分析粒子的逃逸情形,討論其衰減特性,以及加入無序后對(duì)隧穿過程的影響.

圖1 半開放系統(tǒng)中的粒子逃逸問題.初始位于寬度為a 的無限深勢(shì)阱中的粒子,右勢(shì)壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方N 個(gè)勢(shì)壘與原來的系統(tǒng)組成了半Dirac 梳.圖中顯示了初始時(shí)刻及 t=10t0 時(shí)在各阱的幾率密度分布.這里取N=10Fig.1.Particle escape problems from a semi-open system.A particle initially in the eigenstate of an infinite potential well of width a is released at t=0 and tunnels into open space when the right barrier is suddenly switched off,and the N δ-barrier on the right form a semi-Dirac comb with the original well.The probability density is shown fort=0 and 1 0t0 .

2 模型

考慮一個(gè) (0,∞)的一維系統(tǒng),其中有N個(gè)均勻分布的δ勢(shì)壘:

勢(shì)壘強(qiáng)度hl≥0,a為勢(shì)壘間隔.在此之外,外勢(shì)為零,x＞Na時(shí)V(x)0 .最初,粒子被限制在(0,a)的勢(shì)阱之間,假定初態(tài)為由n1,2,3,···標(biāo)記的基態(tài)或激發(fā)態(tài):

這里展開系數(shù)Cn(p)由初始波函數(shù)確定:

可以證明這個(gè)積分是收斂的,并且得到的波函數(shù)對(duì)于給定的邊界條件是平方可積的,也即它屬于相關(guān)的希爾伯特空間.

為了得到Ψ(x,t)的解,首先需要求解哈密頓量H由p標(biāo)記的連續(xù)譜本征態(tài)?p,其定態(tài)方程為

這里′表示空間一階導(dǎo)數(shù).在不同的區(qū)域系統(tǒng)波函數(shù)設(shè)為如下統(tǒng)一的形式:

其中l(wèi)0,1,2,···N-1,注意該式對(duì)x＞Na區(qū)域也成立.由邊界條件可以得到系數(shù)Al,Bl滿足的遞推關(guān)系如下:

其中因波函數(shù)在x0 處為0,所以有A01及B00.由此得到系數(shù)A1和B1,A2和B2,···,最終得到AN和BN.本征函數(shù)?p在如下內(nèi)積定義下是正交、歸一、完備的:

因其本征值為連續(xù)譜,正交歸一關(guān)系為δ函數(shù)歸一化:

這里采用的狄拉克δ函數(shù)的極限表達(dá)式為

由此可得(8)式中的歸一化系數(shù)D為

之后將波函數(shù)?p代入(4)式中的積分,可得到Cn(p)的解析表達(dá)式:

根據(jù)生存幾率(也稱量子保真度)來分析系統(tǒng)的衰變特性:

這是時(shí)間演化狀態(tài)保持其初始狀態(tài)的概率,以此來衡量二者之間的差異.

為了方便快捷地求解S(t),在數(shù)值上可以用傅里葉變換計(jì)算(15)式積分.為此令ωp2/(2m?),則 dω/dpp/(m?),可以得到

其中F(t)是f(ω)的傅里葉變換,即

這里

本文選擇空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)單位分別為a0a和t0ma2/?,勢(shì)壘強(qiáng)度以h0?2/(ma)為單位.注意這里的勢(shì)壘強(qiáng)度的量綱是: 能量·長度,它與δ函數(shù)中提出的 長度-1量綱一起貢獻(xiàn)勢(shì)能.

3 結(jié)果分析

3.1 單個(gè)勢(shì)壘

首先討論單個(gè)勢(shì)壘的情形,此時(shí)系數(shù)

表明勢(shì)壘強(qiáng)度hh1完全決定了系統(tǒng)的隧穿性質(zhì).為方便起見,在以下的分析中考察生存幾率的對(duì)數(shù)函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律.對(duì)S(t)取對(duì)數(shù),直線部分表示指數(shù)衰減,在某個(gè)時(shí)間段TT2-T1內(nèi)的衰減快慢可以用其斜率k來描述

首先考慮單個(gè)勢(shì)壘時(shí)固定勢(shì)壘強(qiáng)度,生存幾率隨初始能量的變化情況.圖2 給出了勢(shì)壘強(qiáng)度h10h0,粒子處于最低的5 個(gè)初態(tài)能級(jí)(n1,2,3,4,5)情況下的隧穿動(dòng)力學(xué).粒子的衰減情況可分為三個(gè)階段,指數(shù)衰減伴隨著劇烈振蕩: 在開始時(shí)的第一階段,短時(shí)t0-30t0情況,高能成分迅速逃逸,生存幾率在短時(shí)內(nèi)指數(shù)衰減,n越高的初態(tài)生存幾率到達(dá)振蕩點(diǎn)的時(shí)間越短,l nS的斜率k隨著能級(jí)n的增加逐漸增大,說明粒子的衰減速率隨初始能量的增大而加快;中間時(shí)段t20-140t0時(shí),隨著狀態(tài)的演化,高能成分被耗盡,粒子的平均能量接近能譜中的最低能量,粒子仍然保持指數(shù)衰減的趨勢(shì),但衰減速率減慢,所有初始能級(jí)的斜率k趨于一致;長時(shí)t300t0-∞時(shí),粒子衰減逐漸趨于穩(wěn)定,生存幾率降低到某個(gè)平衡值便不再變化,這個(gè)值 l nS∞隨能級(jí)n的增大而減小.圖2的小圖分別給出了衰減速度及平衡值隨初始能級(jí)的變化趨勢(shì).

圖2 (a)單個(gè)強(qiáng)度為 h=10h0 的勢(shì)壘,能量最低的5 個(gè)初始態(tài)的生存幾率(n 表示初態(tài)時(shí)粒子所處的能級(jí));(b)短時(shí)情況,黑色虛線處粒子的衰減率隨著能級(jí)增高而增大;(c)中間時(shí)刻,黑色虛線部分粒子的衰減率不隨能級(jí)而變化;(d)長時(shí)情況,粒子生存幾率最后趨于的平衡值(l n S∞),隨著能級(jí)增高而減小Fig.2.(a)The survival probability of the five initial states with the lowest energy for single barrier (N=1)with strength h=10h0;(b)the decay rate of the particle (black dotted lines)in short-term becomes faster for higher energy level;(c)in the medium-term,the decay rate of the particle (black dotted lines)does not change with n;(d)the equilibrium value (l n S∞)of the survival probability after the long-term decay decreases as the energy level increases.

然后考慮單個(gè)勢(shì)壘時(shí)粒子處于基態(tài),生存幾率隨勢(shì)壘強(qiáng)度變化的情況.圖3 給出了勢(shì)壘強(qiáng)度分別為h(10,20,30,40)h0,基態(tài)n1 時(shí)粒子的生存幾率隨時(shí)間演化的情形.四個(gè)圖分別給出了不同時(shí)間段下粒子的衰減情況,可分為兩個(gè)階段: 短時(shí)t0-30t0中,粒子呈指數(shù)衰減,勢(shì)壘強(qiáng)度大時(shí)粒子會(huì)更多地困在阱中,l nS的斜率k隨著勢(shì)壘強(qiáng)度h的增大逐漸減小,說明粒子的衰減速率隨勢(shì)壘強(qiáng)度的增大而減慢;中間時(shí)段t300t0-3000t0時(shí),粒子保持指數(shù)衰減的趨勢(shì),隨著h的增加,生存幾率到達(dá)振蕩點(diǎn)的時(shí)間越來越長,粒子的衰減速率與短時(shí)內(nèi)保持一致;長時(shí)t6000t0-∞時(shí),粒子衰減逐漸趨于穩(wěn)定,生存幾率降低到某個(gè)平衡值便不再變化,這個(gè)值(l nS∞)隨勢(shì)壘強(qiáng)度h的增大而減小.圖3 中的小圖分別給出了衰減速度及平衡值隨勢(shì)壘強(qiáng)度的變化趨勢(shì).

圖3 (a)單個(gè)強(qiáng)度為 h=(10,20,30,40)h0 的勢(shì)壘初始基態(tài)的生存幾率(n=1);(b)短時(shí)情況,黑色虛線處粒子的衰減率隨著勢(shì)壘強(qiáng)度的增大而減小;(c)中間時(shí)刻,粒子保持短時(shí)內(nèi)的衰減率;(d)長時(shí)情況,粒子生存幾率最后趨于的平衡值隨著勢(shì)壘強(qiáng)度的增大而減小Fig.3.(a)The survival probability of the initial ground state (n=1 )when N=1 and the barrier strengthsh=(10,20,30,40)h0;(b)the decay rate of the particle (black dotted lines)in the short-term decreases with the increase of the barrier strength;(c)particle maintains a short-term decay rate in the medium-term;(d)the equilibrium value of the particle survival probability after the long-term decay decreases with the increase of the barrier strength.

從以上單個(gè)勢(shì)壘的隧穿情況來看,不同衰減時(shí)間范圍內(nèi),粒子生存幾率的衰減服從不同趨勢(shì).所有處于基態(tài)或激發(fā)態(tài)的粒子的生存幾率在短時(shí)間內(nèi)按S～e-Γ t的形式指數(shù)衰減.在一段時(shí)間后,激發(fā)態(tài)的衰變會(huì)以與基態(tài)相同的衰變常數(shù)進(jìn)行.最終S(t)的衰減遵循一個(gè)長時(shí)間的反冪律.在不同的衰減時(shí)間區(qū)間曲線會(huì)有突變,并伴隨著明顯的振蕩,這些過渡區(qū)域的振蕩是由指數(shù)率和反冪律項(xiàng)的干涉導(dǎo)致的,而長時(shí)非指數(shù)衰減則是由于系統(tǒng)能譜具有下限[46].增加勢(shì)壘強(qiáng)度h會(huì)極大地增加粒子留在阱中的幾率.我們期待增加勢(shì)壘個(gè)數(shù)也會(huì)達(dá)到同樣的效果,以下討論多個(gè)勢(shì)壘對(duì)粒子隧穿特性的影響.

3.2 多個(gè)勢(shì)壘

首先討論勢(shì)壘強(qiáng)度相同的多個(gè)勢(shì)壘情況.更具體的來說考慮初始處于基態(tài)的粒子向勢(shì)壘強(qiáng)度都為h的N10 個(gè)勢(shì)壘組成的右半空間的逃逸問題.圖4 給出了勢(shì)壘強(qiáng)度分別為h(5,15,50)h0時(shí),基態(tài)能級(jí)n1 粒子的生存幾率隨時(shí)間演化的情形,四個(gè)圖分別展示了不同時(shí)間段下粒子的衰減情況.可以看出勢(shì)壘強(qiáng)度較小(h5h0)時(shí),粒子仍然指數(shù)衰減,隨著強(qiáng)度增大,生存幾率迅速升高并開始隨時(shí)間不規(guī)則地振蕩,并且在很長時(shí)間內(nèi)保持,振蕩幅度隨h的增大也迅速增大.我們看到短時(shí)t0-120t0中,三種勢(shì)壘強(qiáng)度情況下粒子的生存幾率分別在t ≈(20,40,110)t0左右開始振蕩,開始振蕩時(shí)間隨勢(shì)壘強(qiáng)度增加.我們發(fā)現(xiàn)這種振蕩可以在某個(gè)時(shí)刻將生存幾率恢復(fù)到相當(dāng)高的值,圖4中間時(shí)刻t300t0-600t0,黑色箭頭標(biāo)記出了h50h0時(shí)粒子生存幾率的振蕩最高點(diǎn),此時(shí)其對(duì)應(yīng)的時(shí)間為tmax394t0,l nSmax值為-0.8543,意味著生存幾率達(dá)到了初始態(tài)的 4 2.56%;長時(shí)t4800t0-6000t0時(shí),生存幾率持續(xù)在高位振蕩,在某些時(shí)刻仍然可以達(dá)到非常高的量子保真度.

圖4 (a)勢(shì)壘數(shù)目 N=10,勢(shì)壘強(qiáng)度 h=(5,15,50)h0 時(shí)能量最低的初始基態(tài)的生存幾率;(b)-(d)分別為短時(shí)、中時(shí)、長時(shí)的行為.(c)圖黑色圓圈處為 h=50h0 時(shí)粒子生存幾率的振蕩最高點(diǎn)Fig.4.(a)The survival probability of the initial state with the lowest energy for N=10 identical barriers for three barrier strengths h=(5,15,50)h0;(b)-(d)are short-term,medium-term,long-term behavior,respectively.The black circle in panel (c)indicates the highest point of oscillation of the survival probability for h=50h0 .

多個(gè)勢(shì)壘時(shí)粒子在勢(shì)壘間反射透射相互干涉,對(duì)較大的勢(shì)壘強(qiáng)度,粒子發(fā)生反射的概率增大,隧穿出去的粒子可能被反彈回來,生存幾率的振蕩也越來越劇烈,并在某些時(shí)刻達(dá)到較高的保真度.從短時(shí)內(nèi)可以看出粒子的衰減速率隨著勢(shì)壘強(qiáng)度的增大而變慢,到達(dá)發(fā)生振蕩所需要的時(shí)間也更長.從長時(shí)來看,勢(shì)壘強(qiáng)度增大到一定程度時(shí),衰減速率基本保持穩(wěn)定,非常緩慢衰減.可以找到振蕩最高處的峰值,觀察其隨勢(shì)壘數(shù)目的變化.

圖5 給出了勢(shì)壘強(qiáng)度分別為h(5,15,50)h0時(shí),粒子生存幾率的振蕩最高點(diǎn) l nSmax及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間tmax隨勢(shì)壘數(shù)目N變化的規(guī)律,每個(gè)點(diǎn)表示不同勢(shì)壘數(shù)目所對(duì)應(yīng)的值,線表示其擬合結(jié)果.可以看到粒子生存幾率的振蕩最高點(diǎn) l nSmax隨著勢(shì)壘數(shù)目的增加而線性降低,隨著勢(shì)壘強(qiáng)度的增大而略微升高,但不同的勢(shì)壘數(shù)目有較大的漲落.為了更清楚地理解生存幾率最高點(diǎn)隨勢(shì)壘數(shù)目的變化,取h40h0情況下20 個(gè)振蕩最高峰值的平均,可以看出粒子達(dá)到多個(gè)最高點(diǎn)的平均幾率雖然總體降低,但更加表現(xiàn)出隨勢(shì)壘個(gè)數(shù)線性降低的趨勢(shì).而振蕩最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間tmax隨勢(shì)壘數(shù)目的增加而呈現(xiàn)拋物線型增大,隨著勢(shì)壘強(qiáng)度的增大也逐漸變長,可以看到對(duì)某些勢(shì)壘數(shù)目(如N14,18 等處)仍然會(huì)有最高點(diǎn)時(shí)間或遲或早出現(xiàn)的情形.

圖5 勢(shì)壘強(qiáng)度 h=(40,50,60)h0 時(shí),粒子生存幾率的振蕩最高點(diǎn)(a)及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間(b)隨勢(shì)壘數(shù)目的變化.淺藍(lán)色圓點(diǎn)對(duì)應(yīng) h=40 時(shí)不同勢(shì)壘數(shù)目下粒子生存幾率振蕩多個(gè)最高點(diǎn)(此處取20 個(gè))的平均值Fig.5.Variation of the peak value of the oscillation of survival probability (a)and its corresponding time (b)with the number of barriers for barrier strengths h=(40,50,60)h0.The light blue dots in (a)correspond to the average of 20 highest points in the oscillation for different numbers of potential barriers with strength h=40 .

隨著勢(shì)壘強(qiáng)度增大、數(shù)目增多,粒子的衰減速率逐漸減慢,在某些時(shí)刻生存幾率長時(shí)間在高位振蕩,甚至不再衰減.根據(jù)安德森局域化的理論,無序會(huì)導(dǎo)致波函數(shù)發(fā)生指數(shù)衰減,出現(xiàn)局域化現(xiàn)象.這里考慮引入無序勢(shì)壘,勢(shì)壘強(qiáng)度滿足如下分布:

其中hmin為勢(shì)壘最低強(qiáng)度,Δh為無序強(qiáng)度,R為[-1,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),即開放區(qū)間的勢(shì)壘強(qiáng)度在(hmin+Δh)和(hmin-Δh)間隨機(jī)分布.

圖6 給出了不同勢(shì)壘數(shù)目、不同勢(shì)壘強(qiáng)度情況下引入無序后粒子的生存幾率隨時(shí)間演化的情形.首先選取較少勢(shì)壘個(gè)數(shù)N10 時(shí)兩種最小勢(shì)壘強(qiáng)度分別為hmin10h0和4 0h0,無序強(qiáng)度分別為零Δh00,較小 Δh1,較大 Δh2情況進(jìn)行比較.對(duì)hmin10h0,較小無序強(qiáng)度取作 Δh13h0,較大無序強(qiáng)度取作Δh29h0;而對(duì)hmin4 0h0,Δh15h0為較小,Δh235h0為較大.圖6 中所有數(shù)據(jù)都是100 次無序勢(shì)壘構(gòu)型的平均.可以看到引入無序會(huì)極大地增加生存幾率,而且隨著無序強(qiáng)度的增大,粒子的生存幾率增大,衰減速率減慢.hmin40h0時(shí)無序的引入會(huì)抹平?jīng)]有無序時(shí)的劇烈振蕩.另一方面,較多勢(shì)壘個(gè)數(shù)N100 時(shí),無論hmin取值大小,隨著無序強(qiáng)度的增大,粒子生存幾率的振蕩都會(huì)被抹平,在hmin10h0情況下,抹平的保真度大大超過了沒有無序系統(tǒng)的振蕩最高點(diǎn).

圖6 N=10和N=100 個(gè)無序勢(shì)壘組成的半開放系統(tǒng)中粒子的生存幾率在大小兩種無序強(qiáng)度下與沒有無序(Δh0=0)情況的對(duì)比.圖中所有數(shù)據(jù)都是100 次無序勢(shì)壘構(gòu)型的平均 (a),(b)hmin=10h0,Δh1=3h0,Δh2=9h0;(c),(d)hmin=40h0,Δh1=5h0,Δh2=35h0Fig.6.The survival probability of the particle for N=10 and N=100 barriers with randomly distributed strengths.Here Δh0=0denotes the case of regular barriers without disorder.All data in this figure are averaged over 100 disorder realizations of the barrier configuration.(a)(b)hmin=10h0,Δh1=3h0,Δh2=9h0;(c),(d)hmin=40,Δh1=5h0,Δh2=35h0 .

4 結(jié)論與展望

本文詳細(xì)研究了半開放系統(tǒng)中的粒子的逃逸問題,即初始位于無限深勢(shì)阱中的粒子右勢(shì)壘突然撤掉后向開放空間隧穿,右方等間距分布的多個(gè)δ勢(shì)壘組成了半Dirac 梳,重點(diǎn)研究系統(tǒng)初態(tài)的生存幾率或量子保真度.解析得到了該系統(tǒng)的連續(xù)譜本征態(tài),根據(jù)傅里葉積分計(jì)算了任意時(shí)刻單粒子波函數(shù)的精確解,導(dǎo)出了粒子一般情況下生存幾率的閉合形式的表達(dá)式,利用其揭示了粒子逃逸過程的機(jī)制,分析了單個(gè)勢(shì)壘和多個(gè)勢(shì)壘時(shí)的衰減規(guī)律.發(fā)現(xiàn)對(duì)多個(gè)勢(shì)壘,粒子生存幾率可以達(dá)到 4 2.56% .引入無序勢(shì)壘可以大幅提升生存幾率,并極大地抑制其隨時(shí)間的振蕩.本文的研究將有助于理解粒子在無序系統(tǒng)中的衰變過程,并對(duì)利用勢(shì)壘對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)的量子調(diào)控有指導(dǎo)作用.該研究同樣適用于其他類型的勢(shì)壘,比如有寬度的方形勢(shì)壘,它在寬度b趨向0,高度V趨向無窮大的極限情況下等效于一個(gè)強(qiáng)度為V b的δ勢(shì)壘,粒子在勢(shì)阱中的逃逸問題可以類似求解.此種情況下可以單獨(dú)考慮粒子逃逸隨兩個(gè)參數(shù)的依賴關(guān)系,我們期望得到和多個(gè)δ勢(shì)壘的情況定性一致.此外,還可以利用均方位移[47,48]對(duì)時(shí)間的依賴σ2(t)～tγ來研究初始波包隨時(shí)間的演化過程,除了均勻晶格中的彈道擴(kuò)散 (γ2)和無序晶格中的局域化 (γ0)以外,在準(zhǔn)周期晶格中可能存在超擴(kuò)散 (1＜γ＜2)和亞擴(kuò)散 (γ＞2)等現(xiàn)象,這些現(xiàn)象進(jìn)一步豐富了粒子隧穿的動(dòng)力學(xué)行為.