數(shù)學(xué)腳本理論初探

林怡靜，趙繼源，尤茹松

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530100)

1 引言

教學(xué)本質(zhì)問(wèn)題一直是教學(xué)實(shí)踐改革的關(guān)鍵性問(wèn)題，也是教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)反思的問(wèn)題。教學(xué)必然要傳遞經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)，但教學(xué)并不是簡(jiǎn)單地將課本中的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行講述并傳遞給學(xué)生，它受師生雙方的互動(dòng)、學(xué)生知識(shí)觀或態(tài)度等因素的影響。教學(xué)活動(dòng)本質(zhì)上是一種理解活動(dòng)，它是師生在具體的情境中實(shí)現(xiàn)知識(shí)持續(xù)構(gòu)造和價(jià)值辯護(hù)的介入性實(shí)踐活動(dòng)。[1]受知識(shí)生成及建構(gòu)的情境性和開(kāi)放性的影響，學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中并不是刻板地接受知識(shí)。他們不是“靜聽(tīng)者”也不是“淺層對(duì)話者”，在教學(xué)活動(dòng)中，他們帶著自己的思維和理解不斷地建構(gòu)自己的知識(shí)構(gòu)架。這也是為什么同樣的教學(xué)環(huán)境，同樣的授課方式，卻出現(xiàn)成績(jī)間差異的原因之一。

教師對(duì)教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)影響其教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果。意識(shí)到學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是他們知識(shí)建構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，再加上受“以學(xué)生為中心”的教育理念的影響，許多教師都支持教學(xué)應(yīng)以引導(dǎo)學(xué)生之間的學(xué)習(xí)活動(dòng)為主?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》也指出教師引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)需要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)[2]。學(xué)生是如何獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的？學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)以怎樣的方式呈現(xiàn)？如何檢測(cè)學(xué)生已擁有哪些先驗(yàn)知識(shí)？都是教師和研究者關(guān)注的問(wèn)題。特別是在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，學(xué)者們開(kāi)始研究數(shù)學(xué)表征的解釋性理論，開(kāi)始探索數(shù)學(xué)中表征形式的作用，開(kāi)始關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的所思所想。許多學(xué)者試圖通過(guò)研究來(lái)解釋情境化的行動(dòng)導(dǎo)向概念是如何轉(zhuǎn)變成更高抽象水平的概念，將數(shù)學(xué)研究的關(guān)注點(diǎn)上提至高級(jí)思維，這確實(shí)有助于教育者在引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中更加關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展。[3]

學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程一定有思維的參與，包含自身對(duì)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的感悟與歸納。數(shù)學(xué)思維反映人腦與數(shù)學(xué)對(duì)象的交互活動(dòng)，從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)看，思維方式可以看作人的認(rèn)識(shí)定勢(shì)和認(rèn)識(shí)運(yùn)行模式的總和[4]。因此，依托思維挖掘?qū)W生的認(rèn)知水平，有助于我們洞察思維和問(wèn)題解決的本質(zhì)，也有助于我們探索兩者的關(guān)系。

我們常說(shuō)學(xué)生對(duì)某個(gè)概念是否理解會(huì)反映在其解題過(guò)程中，“數(shù)學(xué)理解”概念源自于認(rèn)知心理學(xué)對(duì)“理解”的界定，是以信息的內(nèi)部表征作為解釋的基礎(chǔ)。知識(shí)的表征與理解密切相關(guān)，而知識(shí)的理解推動(dòng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。從數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中考查學(xué)生知識(shí)的表征，從表征中解釋學(xué)生的理解水平是認(rèn)知心理學(xué)在教育研究中的應(yīng)用。黃燕玲等人指出數(shù)學(xué)理解包括陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和過(guò)程性知識(shí)的理解，學(xué)生對(duì)三種知識(shí)的理解分別體現(xiàn)在獲得該對(duì)象的圖式、建立產(chǎn)生式系統(tǒng)、形成關(guān)系表征和觀念表征上。[5]因此，利用圖式、產(chǎn)生式等理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)是很有價(jià)值的課題，國(guó)內(nèi)已經(jīng)有不少學(xué)者做了相關(guān)研究。本文結(jié)合已有的腳本理論提出“數(shù)學(xué)腳本”這一新概念，并進(jìn)一步分析其特點(diǎn)，期待對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的探討提供一種新的研究視角和路徑。

2 數(shù)學(xué)腳本

2.1 理論基礎(chǔ)

2.1.1 腳本

“腳本”一詞最早出現(xiàn)于心理學(xué)家對(duì)記憶的研究中，當(dāng)時(shí)沒(méi)有“腳本”一說(shuō)，而是稱作“圖式”。心理學(xué)家F.Bartlett最早提出圖式(schema)的概念：圖式是知識(shí)表征的集合，是個(gè)體將經(jīng)驗(yàn)和信息組織成的知識(shí)結(jié)構(gòu)儲(chǔ)存在記憶中，在接受新信息時(shí)進(jìn)行篩選、重新組織融合，融入到一個(gè)特定的框架中。而腳本理論最早由計(jì)算機(jī)科學(xué)家Schank和Abelson提出(1977)，他們將心理學(xué)的圖式理論應(yīng)用于人工智能研究，并定義“腳本”：在特定情境中描寫相應(yīng)事件序列的結(jié)構(gòu)，它通過(guò)提供預(yù)先設(shè)定的、常規(guī)性的連貫動(dòng)作，限定一個(gè)熟知的背景，使得更多活動(dòng)能在這個(gè)背景中展開(kāi)[6]。腳本來(lái)源于生活經(jīng)驗(yàn)，是生活經(jīng)驗(yàn)的提煉，腳本越多生活越便利。例如：去餐廳吃飯、到超市購(gòu)物、去醫(yī)院看病等，都是一個(gè)個(gè)在特定場(chǎng)景中由動(dòng)作序列組成的腳本。這些有情節(jié)、有程序的腳本儲(chǔ)存在個(gè)體的長(zhǎng)期記憶中，在遇到類似情景時(shí)，這些記憶被調(diào)動(dòng)以此作為當(dāng)前行為的參照[7]。腳本仿佛是個(gè)體通過(guò)寫有字幕的動(dòng)畫、插圖的方式來(lái)對(duì)事件的記憶進(jìn)行存儲(chǔ)[8]。

“腳本”一詞在認(rèn)知科學(xué)領(lǐng)域具有很長(zhǎng)的歷史，其觀點(diǎn)也經(jīng)歷了從大而穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(標(biāo)準(zhǔn)化的事件序列)向多種組件構(gòu)成的動(dòng)態(tài)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變過(guò)程。最新腳本理論觀點(diǎn)認(rèn)為腳本是靈活的，個(gè)體會(huì)根據(jù)不同情境和個(gè)人目標(biāo)的需求進(jìn)行重新組合，因此腳本具有情境性。[9]由此可知，腳本是一種高層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)，可以在理解過(guò)程中提供背景信息。腳本由一系列事件組成，這些事件形成一個(gè)老套的情節(jié)，只要其中的一個(gè)或多個(gè)事件被激活，一整系列的事件也隨之被激活[10]。當(dāng)然，腳本內(nèi)部所包含的信息是有序的，類似于“成因鏈”，一系列的“成因鏈”串連組成時(shí)間序列，共同構(gòu)成動(dòng)態(tài)性、程序性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.1.2 腳本相關(guān)研究

腳本描述了特定情境下按時(shí)間順序組織的活動(dòng)。人們根據(jù)頭腦中存儲(chǔ)的腳本知識(shí)來(lái)理解和記憶不同的場(chǎng)景。機(jī)器同樣可以學(xué)習(xí)相應(yīng)的腳本知識(shí)從而做出與事件相關(guān)的推斷。人工智能研究中的“腳本”是指以某種格式書寫的指令列表，通常包含某些自動(dòng)化任務(wù)的方向。因此，在人工智能領(lǐng)域，研究人員引入腳本學(xué)習(xí)為機(jī)器編譯腳本知識(shí)，幫助機(jī)器理解自然語(yǔ)言和得出類似人類的結(jié)論的結(jié)果。例如在自然語(yǔ)言處理(NLP)任務(wù)中，機(jī)器通過(guò)腳本學(xué)習(xí)能夠預(yù)測(cè)、提取事件，能夠解析話語(yǔ)和識(shí)別意圖并做出問(wèn)題回答等等[11]。又例如在計(jì)算機(jī)支持的協(xié)作學(xué)習(xí)中(CSCL)，研究人員可以為協(xié)作學(xué)習(xí)設(shè)置特定的指令，以激活個(gè)體內(nèi)部協(xié)作腳本為目的來(lái)設(shè)計(jì)外部協(xié)作腳本作為學(xué)習(xí)過(guò)程的指導(dǎo)。外部協(xié)作腳本包括在CSCL環(huán)境中呈現(xiàn)的提示和交互規(guī)則，是協(xié)作學(xué)習(xí)的指南[12]。

腳本理論除了應(yīng)用在人工智能領(lǐng)域，也被其他社會(huì)認(rèn)知領(lǐng)域所應(yīng)用。在不同的學(xué)科領(lǐng)域中“腳本”起不同作用。在心理學(xué)中，它是一種記憶結(jié)構(gòu)，能夠在特定情境下指導(dǎo)學(xué)習(xí)者的理解和行為；在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，它是一種可執(zhí)行文件，供程序員創(chuàng)建和調(diào)試系統(tǒng)；在戲劇影視文學(xué)中，它是拍攝、表演所依據(jù)的底本，呈現(xiàn)故事的大體發(fā)展脈絡(luò)；在教育學(xué)中，它是學(xué)生群體知識(shí)構(gòu)建過(guò)程中的學(xué)習(xí)支架[9]。

而不同的領(lǐng)域應(yīng)用腳本進(jìn)行研究有不同的目的傾向。腳本的概念被廣泛應(yīng)用于心理學(xué)領(lǐng)域幫助解釋兒童的行為和成人語(yǔ)言理解的過(guò)程。從中國(guó)知網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)檢索，可以發(fā)現(xiàn)我國(guó)大陸對(duì)腳本理論的應(yīng)用研究幾乎分布在語(yǔ)言教學(xué)、語(yǔ)義理解及語(yǔ)言互譯的領(lǐng)域中，僅有極少部分應(yīng)用于內(nèi)科護(hù)理、銷售等行業(yè)。凌儀玲等人應(yīng)用腳本理論研究顧客在接受服務(wù)時(shí)內(nèi)心的期望，發(fā)現(xiàn)若該服務(wù)接觸情境符合顧客內(nèi)心的腳本則會(huì)產(chǎn)生積極的影響，若兩者不相符則產(chǎn)生消極影響，服務(wù)行業(yè)者及時(shí)采取補(bǔ)救措施可以達(dá)到顧客的二次滿意[11]。

臺(tái)灣學(xué)者將腳本理論應(yīng)用于教育教學(xué)領(lǐng)域的成果比較豐富。江世豪和郭重吉認(rèn)為學(xué)生對(duì)于科學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)事件的先前經(jīng)驗(yàn)可以透過(guò)腳本來(lái)呈現(xiàn)，通過(guò)腳本取向的分析方法，可以了解學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)的心智表征，探究教師教學(xué)活動(dòng)和腳本順序以此改進(jìn)教學(xué)[8]。周春美和沈健華利用行動(dòng)研究法對(duì)10位中職商業(yè)類科專任教師的教學(xué)互動(dòng)和腳本活動(dòng)進(jìn)行分析，從中總結(jié)出各專家教師的核心腳本、期望腳本和正向腳本，以此來(lái)了解師生互動(dòng)過(guò)程的教學(xué)認(rèn)知技能，并建構(gòu)學(xué)科的教學(xué)腳本，作為師范生的教育教學(xué)技能參考[12]。在各位臺(tái)灣學(xué)者的研究中均涉及一個(gè)詞“認(rèn)知腳本”，它是腳本理論與認(rèn)知心理學(xué)、教育學(xué)的結(jié)合。教學(xué)活動(dòng)中包含的教學(xué)場(chǎng)景、教學(xué)行為動(dòng)作及學(xué)生學(xué)習(xí)行為等因素，恰好對(duì)應(yīng)認(rèn)知腳本的“情境性”、“場(chǎng)景動(dòng)作”等特點(diǎn)，說(shuō)明將腳本理論應(yīng)用于教育教學(xué)領(lǐng)域具有可行性。

近年來(lái)，國(guó)外開(kāi)始使用腳本作為數(shù)學(xué)教育的研究工具。Zazkis等人對(duì)此做了相關(guān)研究，他認(rèn)為該研究方法雖較為新穎，但卻是以蘇格拉底式的對(duì)話和數(shù)學(xué)思想發(fā)展的對(duì)話交流為基礎(chǔ)。例如，他將數(shù)學(xué)證明的過(guò)程以想象課堂對(duì)話的方式讓學(xué)生進(jìn)行腳本編寫并給予學(xué)生相應(yīng)的腳本提示，通過(guò)分析學(xué)生腳本中的內(nèi)容，了解學(xué)生對(duì)證明中涉及的數(shù)學(xué)概念的理解方式和了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的困難之處。將數(shù)學(xué)問(wèn)題的識(shí)別與解決過(guò)程以開(kāi)放式提示的方式考察學(xué)生，能夠彌補(bǔ)簡(jiǎn)單地通過(guò)書面作業(yè)或口頭問(wèn)答來(lái)了解學(xué)情的不足[15]。

腳本的相關(guān)研究不僅擴(kuò)充了其在認(rèn)知領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，也證實(shí)了其理論應(yīng)用的可行性。因此，本文嘗試將其與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)結(jié)合，提出“數(shù)學(xué)腳本”新概念。

2.2 數(shù)學(xué)腳本的特點(diǎn)及分類

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)腳本(本文均簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)腳本)就是學(xué)生個(gè)體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，按照自身的認(rèn)知水平所構(gòu)建的行為序列結(jié)構(gòu)，它包括情境、經(jīng)驗(yàn)等，作為日后和外界互動(dòng)的依據(jù)。數(shù)學(xué)腳本是個(gè)體/群體的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)或心智表征，數(shù)學(xué)腳本被應(yīng)用的具體表現(xiàn)為：在某個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)情境中，學(xué)生為了完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)，以頭腦中存有的數(shù)學(xué)活動(dòng)行為序列，即數(shù)學(xué)腳本作為樣本指導(dǎo)自己的行動(dòng)，并對(duì)此時(shí)面臨的情境做出回應(yīng)。例如，學(xué)生上一堂數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)腳本應(yīng)該采取諸如“提前預(yù)習(xí)——準(zhǔn)備好用具——做好筆記——認(rèn)真聽(tīng)課”等一系列的行為，以此保證聽(tīng)課活動(dòng)的完整性和高效性。再如，面對(duì)一道解方程的題目，學(xué)生懂得采取“審題——分析——設(shè)未知數(shù)——找等量關(guān)系——列方程——解方程——檢驗(yàn)結(jié)果”等一系列行為來(lái)處理題目，并根據(jù)不同的問(wèn)題情境靈活應(yīng)變。

2.2.1 數(shù)學(xué)腳本的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)腳本具有可預(yù)測(cè)性、個(gè)體差異性、可描述性、情境性等特點(diǎn)。

可預(yù)測(cè)性：也可稱為行為序列可見(jiàn)性，即個(gè)體在特定情境下對(duì)行為序列的感知。當(dāng)面臨熟悉的情境，個(gè)體頭腦就會(huì)提取出相應(yīng)的腳本，并對(duì)接下來(lái)的行為做出預(yù)判。

個(gè)體差異性：從建構(gòu)主義者的觀點(diǎn)來(lái)看，知覺(jué)是內(nèi)發(fā)、主動(dòng)的。在教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生帶著自己的思維和理解不斷地建構(gòu)自己的知識(shí)構(gòu)架，形成自己獨(dú)特的數(shù)學(xué)腳本。因此，不同個(gè)體的數(shù)學(xué)腳本是有差異的，往往帶著個(gè)體的情緒認(rèn)知。后期我們也將通過(guò)實(shí)證研究來(lái)探討學(xué)生數(shù)學(xué)腳本的個(gè)體差異性。

可描述性：雖然數(shù)學(xué)腳本具有個(gè)體差異性，但是對(duì)于某一個(gè)具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，其大體的行為序列是可以描述且呈現(xiàn)的。學(xué)生可以通過(guò)觀看數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)腳本的范例，對(duì)從未連接的內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本進(jìn)行行為序列構(gòu)建，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷實(shí)踐應(yīng)用，從而以應(yīng)付靈活多變的情境。

情境性：數(shù)學(xué)腳本是在特定情境中生成的，并且腳本的使用過(guò)程中也會(huì)受情境的影響。任何知識(shí)的構(gòu)造與辯護(hù)都有其情境依賴性[1]，數(shù)學(xué)腳本也如此。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)已有的數(shù)學(xué)腳本無(wú)法解決此情境下的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)對(duì)腳本進(jìn)行重新配置。只有當(dāng)學(xué)生能夠充分體察所接觸的情境，構(gòu)建生成自己的數(shù)學(xué)腳本并積極改造腳本以適應(yīng)新的情境時(shí)，數(shù)學(xué)腳本才能發(fā)揮價(jià)值。

2.2.2 數(shù)學(xué)腳本的分類

依據(jù)不同分類標(biāo)準(zhǔn)，我們對(duì)數(shù)學(xué)腳本做如下兩種分類。

按照數(shù)學(xué)腳本的層次不同，將其分為：一般性腳本和特殊性腳本。一般性腳本是指每個(gè)年級(jí)的學(xué)生都會(huì)涉及的腳本，例如上數(shù)學(xué)課、合作學(xué)習(xí)、考試、解決問(wèn)題、遇到難題等的腳本。特殊性腳本也即數(shù)學(xué)解題腳本，是指不同年級(jí)由于知識(shí)學(xué)習(xí)的范圍不同，掌握的數(shù)學(xué)腳本不同，例如分解因式、畫函數(shù)圖像、解應(yīng)用題等的腳本。

按照數(shù)學(xué)腳本的來(lái)源不同，將其分為：數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本和數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本。數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本是指學(xué)生通過(guò)平常的學(xué)習(xí)互動(dòng)過(guò)程構(gòu)建并存儲(chǔ)在大腦中的行為序列結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)習(xí)者在動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)環(huán)境中規(guī)范化地行動(dòng)(例如上數(shù)學(xué)課)，或是在靈活多變的解題環(huán)境中以有意義的方式理解題意和選擇策略(例如各種解題腳本)。數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本是指學(xué)習(xí)者以外的人按照某種準(zhǔn)則制定的行為序列文本，例如教師提供給學(xué)生的學(xué)習(xí)文本資料、教師教給學(xué)生的某種解題策略。它會(huì)比個(gè)體自身的數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本更全面，個(gè)體常常會(huì)基于自身的理解和需求，選擇數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本中某部分行為序列建構(gòu)形成自我的內(nèi)部學(xué)習(xí)序列。

內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本是靈活的，在學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，它并不是固定不變的，個(gè)體能夠根據(jù)外部環(huán)境的變化及時(shí)地調(diào)整適應(yīng)。例如在數(shù)學(xué)考試中遇到難題時(shí)，有的學(xué)生會(huì)先跳過(guò)，把會(huì)的題目做完再來(lái)解決難題；有的學(xué)生就會(huì)一直糾結(jié)于此，而浪費(fèi)不少時(shí)間；有的則會(huì)直接放棄。如果數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本不夠詳細(xì)就會(huì)導(dǎo)致在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中某些行為序列缺失，導(dǎo)致學(xué)習(xí)不順暢。內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本還具有層次性。數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本是學(xué)生通過(guò)平常的學(xué)習(xí)互動(dòng)過(guò)程構(gòu)建并存儲(chǔ)在大腦中的自適應(yīng)的行為序列結(jié)構(gòu)，如前個(gè)體差異性所述，不同的個(gè)體形成的內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本不同，因此，數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本就有優(yōu)劣之分。高層次的數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本呈現(xiàn)出高效率、高質(zhì)量的學(xué)習(xí)狀態(tài)。例如在數(shù)學(xué)解題中，擁有高層次的數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本的個(gè)體在解題速度、解題步驟的簡(jiǎn)潔性上會(huì)優(yōu)于低層次的個(gè)體。

數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本能夠協(xié)助學(xué)生應(yīng)對(duì)多變學(xué)習(xí)環(huán)境，具有普適性。當(dāng)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本不足以支持完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，就需要教師的外部學(xué)習(xí)腳本來(lái)幫助。教師在課堂上不斷地滲透數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)腳本的認(rèn)知。數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本需要學(xué)生對(duì)其充分理解加之不斷應(yīng)用，才有可能內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)內(nèi)部腳本。而數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本也只有通過(guò)學(xué)生不斷地體驗(yàn)和應(yīng)用，最后轉(zhuǎn)化為內(nèi)部腳本，才會(huì)起到其應(yīng)有的作用。

3 數(shù)學(xué)腳本與其他理論

提及數(shù)學(xué)腳本，就避免不了考慮數(shù)學(xué)腳本和數(shù)學(xué)圖式、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系。雖然數(shù)學(xué)腳本與它們?nèi)呗?lián)系密切，但存在本質(zhì)區(qū)別。

3.1 數(shù)學(xué)腳本與數(shù)學(xué)圖式

數(shù)學(xué)腳本和數(shù)學(xué)圖式一樣都是存在于個(gè)體頭腦中的心理表征結(jié)構(gòu)體，個(gè)體擁有的數(shù)量越多、質(zhì)量越高則解決問(wèn)題的能力就越強(qiáng)。兩者都具有靈活性、預(yù)測(cè)性，只要某一部分被激活就能自動(dòng)通達(dá)并執(zhí)行相應(yīng)的程序。它們的區(qū)別在于數(shù)學(xué)圖式是知識(shí)集，而數(shù)學(xué)腳本是面對(duì)問(wèn)題時(shí)的行為序列集。數(shù)學(xué)圖式以組塊、單元的形式出現(xiàn)，而腳本是以鏈狀的形式出現(xiàn)。圖式能夠向四方擴(kuò)散，如在一個(gè)原有的圖式中加入新的圖式，它可以以嵌套的方式從某一部分進(jìn)入，只要求新進(jìn)入的圖式中的某一部分與原有圖式有關(guān)即可，不必同腳本一樣新舊間的嵌套需要有嚴(yán)格的前后連接順序(見(jiàn)圖1)。換句話說(shuō)，腳本更強(qiáng)調(diào)順序的前后銜接。

圖1 圖式和腳本的拓展

圖式表征的是知識(shí)的單元和“組塊”，可以表征不同抽象水平的知識(shí)，有抽象和具體之分，而腳本表征的都是具體的行為動(dòng)作或圖像，有高低級(jí)之分，但沒(méi)有抽象水平之分。數(shù)學(xué)腳本更受社會(huì)互動(dòng)、社會(huì)文化的影響。

3.2 數(shù)學(xué)腳本與數(shù)學(xué)技能

數(shù)學(xué)技能比較客觀，有一定的規(guī)范樣本可作為技能習(xí)得的參考，而數(shù)學(xué)腳本的主觀性更大，往往帶有群體的社會(huì)文化性。技能需要經(jīng)過(guò)有目的、有計(jì)劃的訓(xùn)練形成，而腳本是個(gè)體在接觸各種不同情景之時(shí)就開(kāi)始主動(dòng)地建構(gòu)的。例如，人一出生就通過(guò)觀察他人(如父母、朋友等)的社會(huì)互動(dòng)行為構(gòu)建相應(yīng)的腳本，個(gè)體從踏進(jìn)教室門的那一刻起就不斷地在構(gòu)建數(shù)學(xué)腳本。數(shù)學(xué)腳本呈現(xiàn)行為活動(dòng)方式，而數(shù)學(xué)技能不僅包括行為活動(dòng)方式還包括心智活動(dòng)方式，所以在呈現(xiàn)方式上數(shù)學(xué)腳本比數(shù)學(xué)技能更外顯。

3.3 數(shù)學(xué)腳本與數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的狀態(tài)，數(shù)學(xué)腳本卻不一定，它可以是自然語(yǔ)言也可以是數(shù)學(xué)語(yǔ)言，對(duì)語(yǔ)言存儲(chǔ)的要求不那么嚴(yán)格。數(shù)學(xué)方法的使用范圍很廣，數(shù)學(xué)方法不僅應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)科中，還可以應(yīng)用在其他學(xué)科領(lǐng)域。而本文提出的數(shù)學(xué)腳本能否遷移還有待考究。雖然數(shù)學(xué)方法具有高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性，但面對(duì)無(wú)法量化的因素，如人際互動(dòng)、情、愛(ài)等，數(shù)學(xué)方法也束手無(wú)策。[13]而數(shù)學(xué)腳本的靈活性、可調(diào)整性，讓個(gè)體能更好地隨機(jī)應(yīng)變以適應(yīng)突發(fā)狀況。例如，在數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)中，每個(gè)人都會(huì)有自己的數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)腳本(合作學(xué)習(xí)行為序列)，而在實(shí)際的行動(dòng)過(guò)程中，我們或許會(huì)與合作者產(chǎn)生分歧，但是通過(guò)認(rèn)知評(píng)判，個(gè)體會(huì)不斷調(diào)整合作腳本以達(dá)到促成更好協(xié)作的目的。倘若合作雙方在應(yīng)該采用哪個(gè)數(shù)學(xué)方法這一問(wèn)題上產(chǎn)生分歧，面對(duì)這樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖挛镆巡贿m合講情義，互相謙讓，而是哪個(gè)更加嚴(yán)謹(jǐn)就采用哪個(gè)。

4 數(shù)學(xué)腳本的意義

教學(xué)活動(dòng)是一種雙向互動(dòng)的活動(dòng)，教師在改進(jìn)教學(xué)的過(guò)程中，需要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的掌握和適應(yīng)問(wèn)題。數(shù)學(xué)腳本理論詮釋了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的知覺(jué)和心理歷程，為教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)水平提供了新的理論和方法支持。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生如何知覺(jué)教師的教學(xué)意圖，可以透過(guò)數(shù)學(xué)腳本來(lái)呈現(xiàn)。Abelson(1981)曾提出腳本是一系列期望的包裹，數(shù)學(xué)腳本不僅能反映學(xué)生的知覺(jué)，也能反映學(xué)生對(duì)教師在教學(xué)活動(dòng)中的行為期待值。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)腳本可作為教學(xué)改進(jìn)的依據(jù)。

教師幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，幫助他們形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是十分重要的，特別是對(duì)于學(xué)困生、低效的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，改善他們的學(xué)習(xí)腳本也是有效的敦促途徑。學(xué)生如果正確掌握各類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)腳本，在平常的數(shù)學(xué)活動(dòng)中就會(huì)以此為參照，能輕松自如地應(yīng)對(duì)各種情境變化下的突發(fā)情況。甚至在解題過(guò)程中，學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)學(xué)腳本預(yù)測(cè)出題者的出題思路從而提高解題效率。

此理論的提出是為后續(xù)實(shí)證研究奠定基礎(chǔ)。一方面，通過(guò)檢測(cè)鑒定學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本的層次水平，教師能夠及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，進(jìn)而提供給學(xué)生合適的數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本；另一方面，許多問(wèn)題依然存在，例如：為何在同一教學(xué)環(huán)境中面對(duì)同一情境，每個(gè)個(gè)體的數(shù)學(xué)內(nèi)部活動(dòng)腳本的層次性差異會(huì)如此大？教師如何在教學(xué)中進(jìn)行干預(yù)？教師應(yīng)提供怎樣的外部學(xué)習(xí)腳本以促進(jìn)學(xué)生內(nèi)部學(xué)習(xí)腳本的更正？以上都是日后研究所需要關(guān)注的問(wèn)題。當(dāng)然，給學(xué)生提供數(shù)學(xué)外部學(xué)習(xí)腳本的目的并不是讓其依賴外部學(xué)習(xí)活動(dòng)腳本，教師也不應(yīng)該提供給學(xué)生一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)定的固定指導(dǎo)，而應(yīng)該敦促學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)情境變化，及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)腳本以完成相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。