柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模*

張曉宇 劉曉峰? 蔡國(guó)平 劉傳凱

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）（2.北京航天飛行控制中心，北京 100094）

引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，近年來(lái)臂長(zhǎng)更長(zhǎng)的柔性機(jī)械臂在工業(yè)和航空航天領(lǐng)域引起了很大的關(guān)注[1，2].與傳統(tǒng)的機(jī)械臂相比，此類(lèi)機(jī)械臂通常具有更高的載荷/質(zhì)量比和更低的能耗.然而，這些特點(diǎn)也導(dǎo)致機(jī)械臂產(chǎn)生變形以及較大幅度的振動(dòng)，給高精度的控制帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn).一般而言，對(duì)于柔性機(jī)械臂這種復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)，基于模型的控制方法比非基于模型的控制方法能獲得更好的控制效果.即便如此，基于模型的控制方法也不能保證高精度的控制效果.為了獲得更好的控制效果，除了選擇合適的控制方法外，建立更合適的動(dòng)力學(xué)模型也很關(guān)鍵.

到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)柔性機(jī)械臂建模問(wèn)題進(jìn)行了大量研究.在早期的研究中，大多數(shù)研究人員認(rèn)為，連桿的柔性是導(dǎo)致機(jī)械臂末端偏離目標(biāo)位置以及系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)的主要原因，并基于該想法提出了很多柔性臂建模方法.描述柔性桿的彈性變形時(shí)首先需要離散柔性體，常用的離散方法有假設(shè)模態(tài)法、有限元法和集中參數(shù)法等[3]，其中，前兩者是主流方法.假設(shè)模態(tài)法利用模態(tài)振型函數(shù)和模態(tài)坐標(biāo)來(lái)離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，再利用模態(tài)截?cái)嗫s小方程規(guī)模便于求解.先前已有研究人員使用這種方法對(duì)單連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行建模[4，5]，研究表明采用這種方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果具有良好的一致性，然而這種方法及模型并不能很好地描述系統(tǒng)的細(xì)節(jié)特征[6].相對(duì)而言，有限元法沒(méi)有這一缺點(diǎn)，一些文獻(xiàn)研究了有限元方法在柔性機(jī)械臂建模中的效果[7-10]，實(shí)驗(yàn)表明有限元方法也可以得到一個(gè)能較好地描述系統(tǒng)的模型.同時(shí)，研究人員發(fā)現(xiàn)在使用有限元方法時(shí)，采用一個(gè)單元就足以描述振動(dòng)的前兩階模態(tài)，并能很好地反應(yīng)柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)行為[8].隨著研究的深入，研究人員注意到關(guān)節(jié)的柔性也是導(dǎo)致控制結(jié)果不及預(yù)期的關(guān)鍵因素之一.為了獲得更好的控制效果，學(xué)者們開(kāi)始對(duì)考慮關(guān)節(jié)柔性的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題進(jìn)行深入研究.例如，Xi和Fenton[11]在建立柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程的過(guò)程中采用Spong模型[12]來(lái)描述柔性關(guān)節(jié).如圖1所示，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，柔性關(guān)節(jié)被兩個(gè)剛性關(guān)節(jié)和一個(gè)扭簧所取代.作者在深入研究關(guān)節(jié)柔性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響后，給出了系統(tǒng)振動(dòng)頻率和模態(tài)形狀的參數(shù)化方法.文獻(xiàn)[13-21]中，Spong模型也被用于建立同時(shí)考慮關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程.這些研究的不同之處在于使用了不同的方法來(lái)離散柔性臂桿，如文獻(xiàn)[13，17-19]中采用假設(shè)模態(tài)法來(lái)離散柔性臂桿，文獻(xiàn)[14，16]中將柔性桿用連續(xù)梁模型計(jì)算，文獻(xiàn)[15，20，21]中使用有限元法離散柔性臂桿.在獲得動(dòng)力學(xué)模型后，上述文獻(xiàn)的作者們對(duì)柔性臂的模態(tài)分析、振動(dòng)抑制以及柔性連桿與柔性關(guān)節(jié)耦合效應(yīng)等問(wèn)題進(jìn)行了深入研究.研究結(jié)果證實(shí)，關(guān)節(jié)柔性確實(shí)會(huì)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生比較大的影響，如果在柔性臂建模過(guò)程中忽略關(guān)節(jié)柔性，那將對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析和控制產(chǎn)生非常不利的影響.

圖1 柔性關(guān)節(jié)的模型Fig.1 Model of the flexible joint

從上述介紹可以看出，盡管目前關(guān)于柔性機(jī)械臂建模問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了一些成果，但它們也存在一些不足.例如，被廣泛采用的Spong模型，雖然可以比較簡(jiǎn)單地刻畫(huà)柔性關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)行為，便于建立柔性臂動(dòng)力學(xué)方程，但也導(dǎo)致以下兩個(gè)問(wèn)題：一是關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性之間的耦合效應(yīng)不能被直接反映在動(dòng)力學(xué)模型中，給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析帶來(lái)不便；二是額外剛性關(guān)節(jié)的引入增加了系統(tǒng)的自由度，給機(jī)械臂控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)不便.為了克服傳統(tǒng)建模方法的不足之處，本文對(duì)柔性關(guān)節(jié)柔性桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題進(jìn)行了研究，并提出了一種改進(jìn)的建模方法.在該方法中，柔性關(guān)節(jié)不再簡(jiǎn)化為兩個(gè)剛性關(guān)節(jié)和一個(gè)扭簧，而是被簡(jiǎn)化為一個(gè)剛性關(guān)節(jié)和一個(gè)柔性連桿的彈性約束.這樣處理的第一個(gè)好處是，關(guān)節(jié)柔性對(duì)連桿柔性的影響可以直接體現(xiàn)在梁的模態(tài)信息中；第二個(gè)好處是，系統(tǒng)無(wú)需引入額外的剛性關(guān)節(jié)，降低了系統(tǒng)的自由度和控制器設(shè)計(jì)的難度.在此基礎(chǔ)上，本文根據(jù)哈密頓原理和假設(shè)模態(tài)法推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)柔性桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程.在文章最后，數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)勢(shì).

本文的其余部分結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了柔性關(guān)節(jié)模型的簡(jiǎn)化和柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型.第2節(jié)給出了單邊彈性約束的柔性連桿的固有頻率和模態(tài)函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，并導(dǎo)出了離散形式的動(dòng)力學(xué)方程.接著在第3節(jié)給出了數(shù)值仿真結(jié)果.最后在第4節(jié)給出了本文結(jié)論.

1 柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂的簡(jiǎn)化與動(dòng)力學(xué)建模

如圖2所示，柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂是具有強(qiáng)非線性和耦合特性的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng).為了分析其動(dòng)力學(xué)特性并設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)控制器，需要建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.

圖2 柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂的模型Fig.2 Model of the flexible-joint flexible-link manipulator

合理簡(jiǎn)化物理模型是動(dòng)力學(xué)建模的基礎(chǔ)，其重要性不言而喻.從上一章節(jié)總結(jié)的相關(guān)工作可見(jiàn)，大多數(shù)研究將柔性連桿簡(jiǎn)化為懸臂梁或簡(jiǎn)支梁，將柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為線性扭簧和兩個(gè)剛性關(guān)節(jié)，如圖1所示.研究表明上述簡(jiǎn)化是合理有效的，但是它仍然有一些缺點(diǎn).例如，為了描述關(guān)節(jié)的柔性，一個(gè)虛擬的剛性關(guān)節(jié)被引入到模型中，這增加了系統(tǒng)的自由度.此外，這種簡(jiǎn)化方式導(dǎo)致無(wú)法通過(guò)解析計(jì)算來(lái)得到系統(tǒng)的模態(tài)和頻率.這兩個(gè)缺點(diǎn)使得基于上述簡(jiǎn)化所建的動(dòng)力學(xué)模型不適合用于控制器設(shè)計(jì).為了克服這些問(wèn)題，本文提出了一種新的柔性關(guān)節(jié)柔性連桿系統(tǒng)的簡(jiǎn)化方式：

1.將關(guān)節(jié)的柔性視作柔性桿的一個(gè)彈性約束；

2.柔性桿簡(jiǎn)化為一個(gè)單邊彈性約束的簡(jiǎn)支梁，如圖3所示，其中k為扭簧的剛度；

圖3 單邊彈性約束的柔性連桿模型Fig.3 Model of the flexible link with an elastic constraint

3.柔性關(guān)節(jié)柔性連桿系統(tǒng)簡(jiǎn)化為包含剛性關(guān)節(jié)和單邊彈性約束的簡(jiǎn)支梁的柔性多體系統(tǒng).

從上面的介紹可以看出，新的簡(jiǎn)化方法不需要引入虛擬的剛性關(guān)節(jié)來(lái)描述關(guān)節(jié)柔性，從而降低了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的自由度.對(duì)于具有多個(gè)柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，減少動(dòng)力學(xué)模型的自由度將有助于提高求解效率.不僅如此，減少自由度對(duì)于控制器的設(shè)計(jì)也非常有幫助.此外，具有彈性約束的簡(jiǎn)支梁可以同時(shí)考慮梁和關(guān)節(jié)的柔性，這有助于分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和設(shè)計(jì)控制器.接下來(lái)本節(jié)將基于多體動(dòng)力學(xué)理論[22]和哈密頓原理建立柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，具體建模過(guò)程如下.

1.1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

如圖4所示，電機(jī)轉(zhuǎn)子在水平面內(nèi)繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，剛性轉(zhuǎn)子與柔性連桿通過(guò)柔性關(guān)節(jié)在O點(diǎn)鉸接.O-x0y0為慣性參考系，O-xy為固定在柔性連桿上的浮動(dòng)參考系，梁的長(zhǎng)度為l，電機(jī)的轉(zhuǎn)角為θ，電機(jī)上的外力矩為τ.

圖4 柔性關(guān)節(jié)柔性連桿系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Structural model of the flexible-joint flexible-link system

圖5描述了梁上任一點(diǎn)P0的變形，其中，為P0變形前的初始位矢，為變形矢量，變形后P0移動(dòng)到點(diǎn)P，P點(diǎn)的位矢為

圖5 柔性連桿變形的描述Fig.5 Deformation description of the flexible beam

1.2 偏微分形式的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

2 假設(shè)模態(tài)法離散的動(dòng)力學(xué)方程

動(dòng)力學(xué)方程（18）是時(shí)變的非線性偏微分方程，其直接求解的難度是非常大的.通常的求解方法是，首先對(duì)原方程對(duì)進(jìn)行離散化處理，將無(wú)限自由度系統(tǒng)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為有限自由度系統(tǒng)的常微分方程，然后使用數(shù)值方法獲得系統(tǒng)的近似解.假設(shè)模態(tài)法是一種比較經(jīng)典的離散化處理方法，本文將使用該方法對(duì)柔性連桿的偏微分動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行離散化處理.

2.1 模態(tài)分析

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法理論，首先需要計(jì)算柔性連桿的模態(tài)函數(shù)和振動(dòng)頻率.推導(dǎo)過(guò)程如下：

假設(shè)圖3中的梁為勻質(zhì)歐拉-伯努利梁，其自由彎曲振動(dòng)方程為[24]：

由此我們得到了單邊彈性約束的柔性連桿自由振動(dòng)的固有頻率（34）和模態(tài)函數(shù)（35），其有效性在第3.1節(jié)進(jìn)行驗(yàn)證.

2.2 動(dòng)力學(xué)方程的離散化

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法理論，考慮關(guān)節(jié)柔性后的柔性連桿變形可以被離散化為：

計(jì)算離散形式的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，直接離散偏微分形式的方程通常比較困難，但如果對(duì)式（8）、式（14）、式（15）給出的變分項(xiàng) δT、δH、δWF進(jìn)行離散，可以降低離散的難度.得到變分項(xiàng)的離散式后，將結(jié)果代入哈密頓原理式（6）即可得到離散形式的動(dòng)力學(xué)方程.

將式（37） ～式（42）代入式（14）可得勢(shì)能變分δH的離散形式：

同理將式（37） ～式（42）代入式（8）和式（15）可以得到δT和δWF的離散形式，將離散的結(jié)果代入哈密頓原理即得到離散形式的動(dòng)力學(xué)方程：

方程（45）中的阻尼項(xiàng)可以表示為C=CJ+CS，其中CJ為柔性關(guān)節(jié)阻尼的貢獻(xiàn)，CS為梁結(jié)構(gòu)阻尼的貢獻(xiàn)，而結(jié)構(gòu)阻尼CS可以通過(guò)比例阻尼或瑞利阻尼表示[22].考慮到本文模型中的剛度矩陣受到卷簧的影響，所以選擇關(guān)于質(zhì)量矩陣的比例阻尼來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼，阻尼矩陣的表達(dá)式為：

其中，α1和α2分別為軸向和橫向振動(dòng)的阻尼系數(shù)，另外由上文的推導(dǎo)可得

至此，我們得到了離散形式的柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，該方程可以通過(guò)多種數(shù)值方法進(jìn)行求解.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證前面給出的理論推導(dǎo)的正確性并檢驗(yàn)本文所給出方法相對(duì)傳統(tǒng)方法是否具有優(yōu)勢(shì).

3.1 與ANSYS軟件對(duì)比模態(tài)分析結(jié)果

本文在2.1節(jié)給出了具有彈性約束柔性連桿的頻率和模態(tài)計(jì)算過(guò)程，現(xiàn)在將通過(guò)軟件仿真來(lái)驗(yàn)證推導(dǎo)結(jié)果的正確性.首先，采用本文給出的推導(dǎo)結(jié)果計(jì)算圖3所示具有彈性約束的柔性連桿的頻率和模態(tài)（分別如表2和圖6所示），系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示.然后，在ANSYS軟件中計(jì)算該系統(tǒng)的模態(tài)和頻率，得到的頻率結(jié)果如表2所示，模態(tài)函數(shù)如圖6.觀察表2和圖6可得，本文方法的計(jì)算結(jié)果與ANSYS軟件的計(jì)算結(jié)果是比較吻合，這證明了我們的方法是有效的.

表1 圓截面勻質(zhì)梁的參數(shù)Table 1 Parameters of a uniform beam with a circular cross-section

表2 模態(tài)分析結(jié)果與ANSYS對(duì)比Table 2 Modal analysis results of the FLFJ system compared to ANSYS

圖6 模態(tài)函數(shù)形狀與ANSYS對(duì)比（歸一化后）Fig.6 Mode shapes of the FLFJ system compared to those of ANSYS

3.2 與ADAMS軟件對(duì)比動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果

在本小節(jié)，本文提出的方法和傳統(tǒng)建模方法都將用于建立圖2所示系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，然后通過(guò)仿真結(jié)果對(duì)比來(lái)驗(yàn)證本文方法的有效性.為了讓對(duì)比更加精確，我們采用ADAMS軟件來(lái)建立基于傳統(tǒng)方法的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型.在ADAMS軟件建模中，將柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為兩個(gè)剛性關(guān)節(jié)和一個(gè)扭簧，連桿的參數(shù)與表1相同，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.002kg·m2，分別在三種不同的參數(shù)條件下（柔性關(guān)節(jié)的阻尼和驅(qū)動(dòng)力矩不同，見(jiàn)表3）進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真.接著，在同樣的參數(shù)條件下，采用本文方法建模并編程進(jìn)行仿真計(jì)算，將我們的仿真結(jié)果與ADAMS對(duì)比（如圖7），可以看出我們模型的結(jié)果曲線與ADAMS模型的結(jié)果曲線完全一致，也就是說(shuō)，本文提出的建模方法是正確有效的.

表3 仿真時(shí)使用的力矩和阻尼參數(shù)Table 3 The simulation results comparing our proposal with ADAMS model

圖7 與ADAMS軟件對(duì)比仿真結(jié)果Fig.7 The simulation results comparing our proposal with the ADAMS model

3.3 柔性關(guān)節(jié)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

如引言所述，關(guān)節(jié)柔性對(duì)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有很大影響，本節(jié)將從多角度探討這種影響.由式（32）和式（34）可見(jiàn)，柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂系統(tǒng)的固有頻率是關(guān)于關(guān)節(jié)剛度和柔性連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù).將不同的關(guān)節(jié)剛度代入式（32）和式（34），即可解得系統(tǒng)的固有頻率，如表4所示.觀察該表可得，系統(tǒng)的固有頻率會(huì)隨著關(guān)節(jié)剛度的增加而增加.當(dāng)k趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的頻率與懸臂梁的頻率（表5）相同.

表4 關(guān)節(jié)剛度對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響 （單位：Hz）Table 4 The influence of the stiffness on natural frequencies of the system

表5 懸臂梁的固有頻率（單位：Hz）Table 5 The natural frequencies of the cantilever beam

以上結(jié)果表明，關(guān)節(jié)的剛度較小時(shí)，關(guān)節(jié)柔性對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有很大的影響，這引發(fā)了我們的思考：在實(shí)際工程應(yīng)用中，關(guān)節(jié)剛度與柔性連桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足什么樣的條件時(shí)，關(guān)節(jié)可以看作是剛性的？換句話說(shuō)，工程上需要一個(gè)準(zhǔn)則來(lái)判斷是否需要考慮關(guān)節(jié)柔性.我們認(rèn)為這是值得深入研究的問(wèn)題.下面，本小節(jié)將采用柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)與懸臂梁的一階固有頻率的比值r來(lái)判斷關(guān)節(jié)是否可以視作剛性，具體準(zhǔn)則如下.

準(zhǔn)則1.如果r大于臨界值rc，關(guān)節(jié)可以視作剛性.

當(dāng)r=rc時(shí)，相應(yīng)的關(guān)節(jié)剛度k稱為臨界剛度kc.

即比值 r為 n和 k的非線性函數(shù).分別令 n為0.0813、0.1626、0.3252，r關(guān)于 k的曲線如圖 8 所示.觀察該圖可見(jiàn)，r為關(guān)于k的單調(diào)遞增函數(shù)，即隨剛度k增大而增大.這表明當(dāng)k大于kc時(shí)，r一定大于rc.根據(jù)準(zhǔn)則1，此時(shí)可以忽略關(guān)節(jié)的柔性.因此，當(dāng)rc給定時(shí)，用相應(yīng)的kc就可以判斷是否可以忽略關(guān)節(jié)柔性.下面，本小節(jié)將給出kc的計(jì)算過(guò)程.

圖8 不同梁參數(shù)下，頻率比和關(guān)節(jié)剛度的關(guān)系Fig.8 The ratio of the frequencies with different parameters

分別令 rc為 0.95、0.97、0.99，臨界剛度 kc與梁參數(shù)n的關(guān)系如圖9所示，可見(jiàn)kc為關(guān)于n的線性函數(shù)，表達(dá)為：

其中，P為與rc有關(guān)的系數(shù)，圖9中的P值分別為37.1361、63.8008、197.1245.通過(guò)數(shù)值計(jì)算可以得到P與rc的關(guān)系，如圖10所示，P為關(guān)于rc的非線性函數(shù).根據(jù)圖10的結(jié)果和式（55），很容易計(jì)算不同柔性連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)下的臨界剛度kc，例如，對(duì)于仿真使用的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，當(dāng)rc取0.95、0.97、0.99時(shí)，相應(yīng)的臨界剛度kc如表6所示.

圖9 不同rc時(shí)，臨界剛度kc與梁參數(shù)n的關(guān)系Fig.9 The kc-n relation for different rc

表6 不同rc時(shí)，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的臨界剛度kcTable 6 Corresponding kc values of the system for different rc

圖10 P與rc的關(guān)系Fig.10 The P-rc relation

3.4 運(yùn)動(dòng)控制仿真結(jié)果

本小節(jié)將通過(guò)控制仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文給出的模型更適合用于運(yùn)動(dòng)控制，由于機(jī)械臂系統(tǒng)存在柔性，因此系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中難免產(chǎn)生振動(dòng)，為了實(shí)現(xiàn)高精度的控制，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)需要采用一種具有振動(dòng)抑制功能的控制方法.考慮到在第2.1節(jié)已經(jīng)得到了系統(tǒng)的振動(dòng)頻率，因此采用輸入整形控制方法[25]是個(gè)不錯(cuò)的選擇.附錄給出了輸入整形控制方法的具體形式.

下面將進(jìn)行兩組仿真，以驗(yàn)證本文提出的動(dòng)力學(xué)模型更適合做運(yùn)動(dòng)控制設(shè)計(jì).仿真中分別使用本文模型和文獻(xiàn)[21]中的模型設(shè)計(jì)ZVD輸入整形器和PD控制器.文獻(xiàn)[21]在建模時(shí)使用Spong模型描述柔性關(guān)節(jié)，并將柔性連桿視為懸臂梁.在兩組仿真中，均設(shè)計(jì)四種場(chǎng)景，控制柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)在1s、2s、3s、4s內(nèi)旋轉(zhuǎn)1rad，相應(yīng)的控制信號(hào)如圖11 所示，PD控制器的參數(shù)均為Kp=0.6，Kd=0.3.

圖11 四種場(chǎng)景的初始控制信號(hào)Fig.11 The initial angular control signals for 4 cases

在第一組仿真中，柔性關(guān)節(jié)的剛度k為1N·m/rad，分別使用本文模型和文獻(xiàn)[21]中的模型，選取前四階模態(tài)設(shè)計(jì)ZVD輸入整形器，相應(yīng)的模態(tài)頻率和ZVD參數(shù)見(jiàn)表7.仿真時(shí)使用ZVD整形器和PD控制器來(lái)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)并同時(shí)抑制振動(dòng)，仿真結(jié)果見(jiàn)圖12～圖15，其中圖12（a）～圖15（a）為系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)角度的時(shí)間歷程，圖12（b）～圖15（b）為機(jī)械臂末端變形的時(shí)間歷程，圖12（c）～圖15（c）為電機(jī)控制力矩的時(shí)間歷程.觀察圖12（a）～圖15（a）可以看出，基于兩種模型的控制器都可以讓系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)位置，但使用文獻(xiàn)[21]中的模型設(shè)計(jì)控制器可以使系統(tǒng)更快地到達(dá)所需的旋轉(zhuǎn)角度，這是因?yàn)楸疚哪Ｐ偷墓逃蓄l率低于懸臂梁的固有頻率，見(jiàn)表7，根據(jù)輸入整形方法，控制過(guò)程所需時(shí)間隨著系統(tǒng)頻率的降低而增加.因此，文獻(xiàn)[21]中的模型可以使系統(tǒng)更快地到達(dá)所需的旋轉(zhuǎn)角度.但是對(duì)于柔性機(jī)械臂來(lái)講，機(jī)械臂的末端到達(dá)指定位置并停止振動(dòng)所花費(fèi)的時(shí)間也是衡量控制效果好壞的重要指標(biāo)，因此，更快地到達(dá)所需的旋轉(zhuǎn)角度并不意味著控制器的性能更好.觀察圖12（b）～圖15（b）可以看出，基于本文動(dòng)力學(xué)模型的控制器可以更快地消除柔性系統(tǒng)的振動(dòng)，這意味著使用本文模型設(shè)計(jì)的控制器具有更好的振動(dòng)抑制性能.觀察圖12（c）～圖15（c）可見(jiàn)，使用本文模型的控制力矩曲線更為平滑，對(duì)控制的要求更低.

圖12 k=1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景1（1s）的控制結(jié)果Fig.12 Control results for case1 （1s） when k=1N·m/rad

表7 k=1N·m/rad時(shí)系統(tǒng)的固有頻率和ZVD整形器參數(shù)Table 7 The frequencies of the system and ZVD parameters when k=1N·m/rad

在第二組仿真中，柔性關(guān)節(jié)的剛度k為0.1N·m/rad，分別使用本文模型和文獻(xiàn)[21]中的模型，選取前四階模態(tài)設(shè)計(jì)ZVD輸入整形器，相應(yīng)的模態(tài)頻率和ZVD參數(shù)見(jiàn)表8.仿真時(shí)使用ZVD整形器和PD控制器來(lái)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)并同時(shí)抑制振動(dòng)，仿真結(jié)果見(jiàn)圖16～圖19.可以看出，基于本文所設(shè)計(jì)的控制器可以取得更好的控制效果.此外，對(duì)比兩組仿真可以看出，關(guān)節(jié)的剛度越小，基于本文模型的控制器在控制性能上的優(yōu)勢(shì)越大.

表8 k=0.1N·m/rad時(shí)系統(tǒng)的固有頻率和ZVD整形器參數(shù)Table 8 The frequencies of the system and ZVD parameters when k=0.1N·m/rad

圖13 k=1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景2（2s）的控制結(jié)果Fig.13 Control results for case 2 （2s） when k=1N·m/rad

圖14 k=1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景3（3s）的控制結(jié)果Fig.14 Control results for case 3 （3s） when k=1N·m/rad

圖15 k=1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景4（4s）的控制結(jié)果Fig.15 Control results for case 4 （4s） when k=1N·m/rad

圖16 k=0.1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景1（1s）的控制結(jié)果Fig.16 Control results for case 1 （1s） when k=0.1N·m/rad

圖17 k=0.1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景2（2s）的控制結(jié)果Fig.17 Control results for case 2 （2s） when k=0.1N·m/rad

圖18 k=0.1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景3（3s）的控制結(jié)果Fig.18 Control results for case 3 （3s） when k=0.1N·m/rad

圖19 k=0.1N·m/rad時(shí)場(chǎng)景4（4s）的控制結(jié)果Fig.19 Control results for case 4 （4s） when k=0.1N·m/rad

4 結(jié)論

本文研究了柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，并提出了一種改進(jìn)的建模方法.在該方法中，連接柔性連桿的柔性關(guān)節(jié)首先被簡(jiǎn)化為剛性關(guān)節(jié)和柔性連桿的彈性約束邊界.然后，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論、哈密頓原理和假設(shè)模態(tài)法建立系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程.與傳統(tǒng)模型相比，新模型不僅具有更少的自由度數(shù)，還可直接描述關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性的耦合作用，這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析和控制器設(shè)計(jì)是非常有利的.在數(shù)值仿真部分，本文方法的有效性首先被驗(yàn)證.然后，基于本文方法所建模型在分析和控制上的優(yōu)勢(shì)也得到了充分的證明.由此可見(jiàn)，本文所給出的建模方法相對(duì)傳統(tǒng)建模方法具備明顯優(yōu)勢(shì).