半透水邊界下飽和黏土地基的一維黏彈性固結(jié)分析

劉忠玉， 朱少培， 崔鵬陸， 張家超

(鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

在傳統(tǒng)Terzaghi[1]固結(jié)理論中，為便于求得解析解，黏土層上下兩側(cè)的砂層常被處理為完全透水或完全不透水的邊界，但實(shí)際應(yīng)為處于這兩種極端情況之間的半透水邊界。例如，砂墊層會由于黏土顆粒排水擁堵而變?yōu)椴糠峙潘皦|層。最早研究半透水邊界問題的專家是Gray[2]，隨后Schiffman等[3]和Mesri等[4]對這一問題進(jìn)行了初步研究。為了更合理地分析邊界透水性對地基固結(jié)進(jìn)程的影響，國內(nèi)已有學(xué)者[5-6]將半透水邊界引入到Terzaghi一維固結(jié)理論中，發(fā)現(xiàn)半透水邊界對地基的固結(jié)過程具有顯著的影響，但這些研究是基于達(dá)西滲流假定之上的。

飽和黏土具有顯著的流變特性，這應(yīng)該是導(dǎo)致基于線彈性變形假定的傳統(tǒng)固結(jié)理論常常不能很好地描述軟土地基固結(jié)問題的原因。為此，有學(xué)者[7-8]在固結(jié)分析中先后引入了由彈簧和黏壺元件串聯(lián)或并聯(lián)而成的黏彈性模型。但試驗(yàn)表明，有時(shí)需要較多的元件組合才能較好地模擬某些土體的流變特性，但此時(shí)的方程由于階數(shù)太高而不易求解。隨著分?jǐn)?shù)階微積分的推廣應(yīng)用，這一問題得到較大改觀,比如，Gemant等[9]經(jīng)過對一系列流變模型實(shí)驗(yàn)的分析后認(rèn)為，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型描述材料的本構(gòu)關(guān)系更為合適。隨后，一些學(xué)者開始用基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)修正的Kelvin模型[10]和Merchant模型[11]等來描述軟黏土的流變固結(jié)特性。

綜上所述，目前關(guān)于半透水邊界條件下固結(jié)分析時(shí)同時(shí)考慮分?jǐn)?shù)階黏彈性土體和非Darcy滲流影響的研究還很少。因此，為進(jìn)一步揭示飽和黏性土的流變固結(jié)機(jī)制，本文引入基于Caputo分?jǐn)?shù)定義的分?jǐn)?shù)階Merchant模型來描述飽和黏彈性土體的本構(gòu)關(guān)系，并采用非牛頓指數(shù)滲流方程描述其中的非Darcy滲流，重新推導(dǎo)半透水邊界條件下一維固結(jié)方程，并給出了方程的隱式有限差分格式，最后討論相關(guān)模型參數(shù)對流變固結(jié)的影響。

1 分?jǐn)?shù)階Merchant模型

分?jǐn)?shù)階Merchant模型(圖1)是由分?jǐn)?shù)階Kelvin模型串聯(lián)一個(gè)彈簧組成。其中的彈簧元件描述固體的彈性行為，而Koeller彈壺元件描述的是性質(zhì)處于固體和流體之間的材料。與分?jǐn)?shù)階Kelvin模型相比，分?jǐn)?shù)階Merchant模型能體現(xiàn)加載瞬間的變形，因此它的應(yīng)用范圍更為廣泛。

圖1 分?jǐn)?shù)階Merchant模型Figure 1 Fractional-order Merchant model

劉忠玉等[11]曾給出了該分?jǐn)?shù)階Merchant模型的蠕變?nèi)崃縅(t)為

(1)

(2)

式中：σ′為有效應(yīng)力。

2 一維黏彈性固結(jié)方程及求解

如圖2所示，設(shè)某厚度為H的均質(zhì)飽和黏性土地基在自重應(yīng)力作用下已完全固結(jié)，其上半透水邊界厚度為L1，相應(yīng)的滲透系數(shù)為k1，下半透水邊界厚度為L2，相應(yīng)的滲透系數(shù)為k2。現(xiàn)于頂面一次驟然施加無限均布荷載p0,假定固結(jié)過程中的滲流可用非牛頓指數(shù)滲流方程描述[11,15-16]：

圖2 半透水邊界下均質(zhì)飽和黏土地基的黏彈性固結(jié)過程Figure 2 Viscoelastic consolidation process of homogeneous saturated clay foundation under semi-permeable boundary

v=-ku[i-i0(1-e-i/i0)]。

(3)

式中：v為滲流速度；i為水力坡降；ku和i0分別為v-i曲線漸近線的斜率和截距，ku類似于達(dá)西滲流的滲透系數(shù)，i0為非牛頓指數(shù),當(dāng)i0=0時(shí)，式(3)退化為達(dá)西定律。

土骨架的黏彈性變形可用式 (2) 描述，且各模型參數(shù)為常量，其他基本假設(shè)同Terzaghi一維固結(jié)理論。設(shè)時(shí)刻t、深度z處的超靜孔隙水壓力為u(z,t)，由滲流連續(xù)性條件可得控制方程為[11]

(4)

與圖2所示相對應(yīng)的初始條件為

u(z,0)=p0， 0

(5)

邊界條件為

(6)

(7)

為了便于分析，對以下參數(shù)進(jìn)行無量綱化處理：

這樣，控制方程(4)和定解條件式(5)～(7)可變?yōu)?/p>

(8)

U(Z,0)=1, 0

(9)

(10)

(11)

3 方程有限差分格式

3.1 離散方程

類似文獻(xiàn)[11]，引入隱式有限差分法來求解式(8) 。這里分別以ΔT和ΔZ為時(shí)間步長和空間步長，并分別用j、i′表示空間離散點(diǎn)和時(shí)間離散點(diǎn)。其中地基離散為K-1層，節(jié)點(diǎn)從1到K編號。

對式(8)等號左邊關(guān)于Z的偏導(dǎo)采用中心差分近似，等號右邊關(guān)于T的偏導(dǎo)采用向前差分近似，則式(8)可離散為

γj,i′Uj-1,i′+1-bj,i′Uj,i′+1+γj,i′Uj+1,i′+1=

Gj,i′-JE(ΔT/2)Uj,i′。

(12)

式中：bj,i′=[2γj,i′+JE(ΔT/2)]；

初始條件式(9)可離散為

Uj,0=1。

(13)

采用泰勒展開的方法對邊界條件式(10)、式(11)進(jìn)行處理，并忽略3次及更高階項(xiàng)，可得：

(3+2R1ΔZ)U1,i′+1-4U2,i′+1+U3,i′+1=0；

(14)

(3+2R2ΔZ)Uk,i′+1-4Uk-1,i′+1+Uk-2,i′+1=0。

(15)

這樣，式(12)～(14)組成封閉的方程組，但其系數(shù)是與孔壓相關(guān)的函數(shù)，所以可采用迭代法進(jìn)行求解。

3.2 平均固結(jié)度

分別引入按孔壓和變形定義的固結(jié)度UP和Us來分析地基中孔壓的整體消散情況和沉降規(guī)律：

(16)

(17)

式中：s和s∞分別為地基在時(shí)刻t的沉降量和最終沉降量。

3.3 解法驗(yàn)證

根據(jù)上述解，利用MATLAB編寫了相應(yīng)的算法程序。為驗(yàn)證算法的正確性，選取兩種情況進(jìn)行比較。首先，考慮劉忠玉等[7]基于Darcy滲流和整數(shù)階Merchant模型的算例。由于文獻(xiàn)[7]考慮的是完全透水或不透水邊界，所以這里令α=1、R1=∞、R2=0。圖3(a)給出了本文和該文獻(xiàn)中兩種固結(jié)度UP和Us與無量綱時(shí)間T的關(guān)系曲線的對比結(jié)果?？梢?，Darcy滲流條件下的整數(shù)階Merchant模型是本文的一個(gè)特例。

其次，選取文獻(xiàn)[11]同時(shí)考慮非牛頓指數(shù)滲流和分?jǐn)?shù)階Merchant模型的算例。由于該文獻(xiàn)考慮的仍為傳統(tǒng)邊界條件,因此，這里仍需令R1=∞、R2=0。其他參數(shù)與該文獻(xiàn)一致，即取α=0.35、V=1、β=1。關(guān)于I0=0和I0=1兩種情況下的對比結(jié)果如圖3(b)所示。很明顯，兩者吻合良好。

圖3 單面完全透水時(shí)的固結(jié)度Figure 3 Degree of consolidation of soil with single drainage boundary

4 參數(shù)分析

4.1 半透水邊界參數(shù)對固結(jié)過程的影響

考慮到上下邊界透水性能對固結(jié)過程的影響相似[5]，這里只考慮上邊界半透水參數(shù)R1對固結(jié)過程的影響。取α=0.35、β=1、V=0.1、R2=1、I0=1，結(jié)果如圖4所示。其中，圖4(a)為上半透水邊界參數(shù)R1對固結(jié)度UP的影響曲線?？梢钥闯?，當(dāng)R1=0時(shí)，其邊界退化為不透水邊界，其固結(jié)速率是最慢的；隨著R1的增大，地基內(nèi)孔壓的消散速度隨邊界透水條件的改善而逐漸加快，即增大半透水邊界參數(shù)能夠加快地基的固結(jié)進(jìn)程，這與文獻(xiàn)[5]考慮流變效應(yīng)和文獻(xiàn)[10]基于分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt模型的結(jié)論類似。但不同的是，本文考慮了非Darcy滲流，達(dá)到相同固結(jié)度所需的時(shí)間更長。

圖4(b)為R1對固結(jié)度Us的影響曲線。很明顯，該參數(shù)對地基沉降速率的影響與對孔壓消散的影響相似，即隨著半透水邊界參數(shù)的增大，地基沉降速率逐漸加快。同時(shí)從圖4可以看出，當(dāng)R1達(dá)到50后，進(jìn)一步增大R1，上述兩個(gè)固結(jié)度變化很小，這說明當(dāng)半透水邊界參數(shù)大于50時(shí)，半透水邊界參數(shù)對地基的固結(jié)幾乎沒有影響。

圖4 半透水邊界參數(shù)R1對固結(jié)度的影響Figure 4 Influence of semi-permeable boundary parameters R1 on degree of consolidation

4.2 非牛頓指數(shù)I0對固結(jié)進(jìn)程的影響

已有研究表明，非Darcy滲流對固結(jié)過程有顯著影響。為此，本文討論了非牛頓指數(shù)I0對半滲透邊界下固結(jié)過程的影響。I0參數(shù)取值如圖5所示，其他參數(shù)取值同4.1節(jié)。圖5(a)表明，當(dāng)I0=0時(shí)，土中滲流退化為Darcy滲流，地基的固結(jié)速率最快，且隨著I0的增大，地基固結(jié)逐漸變慢。所以，如果忽略非Darcy滲流的影響，地基的孔壓消散速率將會被高估。

從圖5(b)可以看出，非牛頓指數(shù)越大，地基的沉降就越慢。同時(shí)，對比圖5(a)和5(b)可以看出，固結(jié)度Us總是小于固結(jié)度UP。如當(dāng)I0=0.5，T=1時(shí)，固結(jié)度Us為33.37%，固結(jié)度UP為39.49%，所以，地基的沉降總是滯后于地基中孔壓的整體消散,這與李傳勛等[16]和劉忠玉等[11]的研究結(jié)論類似。值得注意的是，上述結(jié)果與經(jīng)典Terzaghi固結(jié)理論的結(jié)論不同，這是因?yàn)門erzaghi固結(jié)理論假定變形是線彈性的。

圖5 I0對固結(jié)度的影響Figure 5 Influence of I0 on degree of consolidation

4.3 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)α對固結(jié)進(jìn)程的影響

圖6為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)α取不同值時(shí)固結(jié)度UP和Us隨無量綱時(shí)間T的變化曲線。由圖6(a)可以看出，α對固結(jié)度UP的影響主要集中在固結(jié)的中期。在固結(jié)中期，隨著α的增大，固結(jié)度UP變小，即增大分?jǐn)?shù)階數(shù)會減緩地基中孔壓的整體消散。這與劉忠玉等[11]基于非牛頓指數(shù)滲流和分?jǐn)?shù)階的Merchant模型的結(jié)論存在差異。后者認(rèn)為在固結(jié)初期分?jǐn)?shù)階數(shù)α越大，其固結(jié)也越快,這應(yīng)該是由于邊界條件不同而導(dǎo)致的，后者考慮的是單面完全透水邊界。

圖6 分?jǐn)?shù)階α對固結(jié)度的影響Figure 6 Influence of the fractional order α on degree of consolidation

由圖6(b)可知，與圖6(a)不同，α對固結(jié)度Us的影響主要集中在中后期階段。在固結(jié)初期，α對地基的沉降幾乎沒有影響或影響較小。隨著α的增大，地面沉降逐漸加快。通過對比圖6(a)和6(b)，發(fā)現(xiàn)α對固結(jié)度Us的影響更為顯著。

4.4 模量比β對固結(jié)進(jìn)程的影響

β=E1/E0為分?jǐn)?shù)階Kelvin體中并聯(lián)彈簧與獨(dú)立彈簧的模量比。圖7表示β對2個(gè)固結(jié)度UP和Us的影響。相關(guān)參數(shù)取值見圖7。當(dāng)β=∞時(shí)，即E1→∞，此時(shí)分?jǐn)?shù)階Merchant模型退化為Hooke彈簧模型，即不考慮土體的流變特性。如圖7所示，隨著β的增大，兩種固結(jié)度UP和Us的固結(jié)進(jìn)程逐漸加快。即模量比越大，地基的孔壓消散速率和地基沉降速率越快。這似乎與劉忠玉等[11]得出的結(jié)論有所不同。后者認(rèn)為模量比越大，孔隙水壓力消散速率和地基沉降速率越慢。事實(shí)上，這是因?yàn)楸疚亩x的模量比與后者不同。此外，因?yàn)楸疚目紤]的是半透水邊界，所以達(dá)到相同固結(jié)度所用的時(shí)間比單面透水邊界[11]要長。

圖7 β對固結(jié)度的影響Figure 7 Influence of β on degree of consolidation

4.5 黏滯系數(shù)V對固結(jié)進(jìn)程的影響

V=KuF/(H2γw)，它可視為無量綱的黏滯系數(shù)。為考察半透水邊界條件下V對固結(jié)過程的影響，圖8給出了兩個(gè)固結(jié)度UP和Us隨無量綱時(shí)間T的變化曲線。圖8 (a)表明，在固結(jié)的前期和中期，隨著V的增大，固結(jié)度UP變大，即整體孔壓消散將加快。在固結(jié)的后期，4條曲線已基本重合，這說明V對固結(jié)后期孔壓消散的影響很弱。

從圖8(b)可以看出，在固結(jié)初期，V的變化對固結(jié)度Us沒有影響，即在固結(jié)初期，黏滯系數(shù)對地基沉降沒有影響。但在T>0.6后，固結(jié)度Us隨著V的增大而變小，即無量綱黏滯系數(shù)越大，地基沉降就越慢。由此可見，土體的黏滯性會減緩地基的沉降，且主要體現(xiàn)在固結(jié)的中后期。這與劉忠玉等[11]和汪磊等[10]的研究結(jié)論是一致的。

圖8 V對固結(jié)度的影響Figure 8 Influence of V on degree of consolidation

5 結(jié)論

基于半透水邊界，考慮用非牛頓指數(shù)表示的非Darcy滲流和分?jǐn)?shù)階Merchant模型，重新推導(dǎo)了一維流變固結(jié)方程，并采用隱式有限差分法進(jìn)行了數(shù)值求解。通過參數(shù)分析，得出以下結(jié)論：

(1)隨著半透水邊界參數(shù)的增大，飽和黏土層的固結(jié)過程將加快。而當(dāng)半透水邊界參數(shù)大于50后，半透水邊界可視為完全透水邊界。

(2)地基的固結(jié)過程會隨著非牛頓指數(shù)的增大而減緩，且非牛頓指數(shù)越大，該現(xiàn)象越明顯。因此忽略非Darcy滲流的影響，地基的孔壓消散速率和沉降速率將會被高估。

(3)分?jǐn)?shù)階Merchant流變模型參數(shù)對兩種固結(jié)度UP和Us的影響存在明顯差異。分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)越小或無量綱黏滯系數(shù)越大，固結(jié)度Us就越小。但它們對固結(jié)度UP的影響相對較小。隨著Kelvin體與獨(dú)立彈簧的模量之比β的增大，土層的固結(jié)過程也加快，但其作用主要體現(xiàn)在固結(jié)中期。