非均勻張力作用下多層膜結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性研究

邵明月，張淼，武吉梅，慶佳娟，王靜

非均勻張力作用下多層膜結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性研究

邵明月1，張淼1，武吉梅1，慶佳娟2，王靜2

（1.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，西安 710054；2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048）

非均勻張力；變速度；多層膜結(jié)構(gòu)；動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性

柔性電子制造通過(guò)卷到卷（R2R）方式可以有效控制生產(chǎn)成本、簡(jiǎn)化生產(chǎn)工藝、有效避免材料浪費(fèi)，已經(jīng)成為RFID、薄膜太陽(yáng)能電池、OLED、印刷電子等領(lǐng)域理想制造技術(shù)。從柔性電子制造的生產(chǎn)過(guò)程和功能薄膜的制備工藝可以看出，其具有明顯的多層化特點(diǎn)。其多層化、多材料特性，常常表現(xiàn)出異于一般結(jié)構(gòu)的復(fù)雜力學(xué)行為[1]，在生產(chǎn)過(guò)程中多層膜結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的振動(dòng)對(duì)涂布的均勻性、精準(zhǔn)封裝等會(huì)造成嚴(yán)重影響，降低產(chǎn)品質(zhì)量。

在R2R柔性電子制造中，料帶并不是嚴(yán)格勻速運(yùn)動(dòng)的。在涂布、干燥、輸送等過(guò)程中，料帶進(jìn)行高溫鍍層時(shí)質(zhì)量的增加、干燥時(shí)受到烘箱氣體的干擾、收放卷時(shí)料卷直徑的變化和導(dǎo)向輥轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的擾動(dòng)，薄膜的速度通常是變化的，微小的速度擾動(dòng)都會(huì)對(duì)印刷電子薄膜產(chǎn)品的質(zhì)量產(chǎn)生很大的影響。由于導(dǎo)向輥安裝不平行也會(huì)導(dǎo)致薄膜兩端產(chǎn)生非均勻張力，導(dǎo)致涂布層粗糙度發(fā)生變化，引起褶皺。因此研究多層膜結(jié)構(gòu)在非均勻拉力作用下變速運(yùn)動(dòng)振動(dòng)特性十分有必要。近年來(lái)已經(jīng)有大量關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)層合板橫向振動(dòng)及穩(wěn)定性的研究。趙飛等[2]采用分層理論對(duì)復(fù)合材料層合板的固有頻率和振型進(jìn)行理論計(jì)算。劉金建等[3]利用多尺度法分析了變速運(yùn)動(dòng)板的失穩(wěn)規(guī)律。陳立群等[4]用解析和數(shù)值方法同時(shí)研究了面內(nèi)變速運(yùn)動(dòng)粘彈性板的橫向非線性振動(dòng)，考察了面內(nèi)運(yùn)動(dòng)平均速度、面內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度漲落、黏性系數(shù)等對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。Yang等[5]采用多尺度法得到了軸向加速?gòu)?fù)合材料板的穩(wěn)定邊界。Lu等[6]采用直接多尺度方法，研究了軸向移動(dòng)的石墨烯增強(qiáng)層合板的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。劉金堂等[7]利用Galerkin法與平均法研究了由共振引發(fā)的失穩(wěn)區(qū)域。Hatami[8]利用經(jīng)典板理論研究了平面內(nèi)力作用下軸向移動(dòng)對(duì)稱層合板的自由振動(dòng)問(wèn)題。Aydogdu[9]利用高階剪切變形層合板理論研究了復(fù)合材料動(dòng)力特性。Marynowski等[10]研究了溫度對(duì)軸向移動(dòng)多尺度復(fù)合材料板自由振動(dòng)和臨界輸運(yùn)速度的影響。Han等[11]用分析薄層結(jié)構(gòu)振動(dòng)的里茲方法研究了對(duì)稱疊層斜板的自由振動(dòng)。關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)及其參數(shù)振動(dòng)也有許多研究成果。侯志勇等[12]利用達(dá)朗貝爾原理建立軸向運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)微分方程，并用微分求積法驗(yàn)證解析解，求出了軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的穩(wěn)定區(qū)間。武吉梅[13]根據(jù)Floquet理論確定了紙帶的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域和穩(wěn)定區(qū)域。邵明月[14]研究了非均勻張力下變速膜的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性。Wu等[15]研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)變速膜振動(dòng)特性和穩(wěn)定性的影響。盧瑤等[16]研究了變速運(yùn)動(dòng)粘彈性硬質(zhì)薄膜的穩(wěn)定性，分析了不同參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜穩(wěn)定區(qū)域的影響。

以上研究少見(jiàn)對(duì)計(jì)及彎曲剛度非均勻拉力下變速多層膜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析。文中綜合考慮了彎曲剛度及非均勻張力對(duì)變速?gòu)?fù)合膜結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定區(qū)域的影響，根據(jù)Floquet理論，得到了運(yùn)動(dòng)膜的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定區(qū)間并繪制關(guān)系曲線分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的作用規(guī)律。

1 動(dòng)力學(xué)模型及振動(dòng)微分方程的建立

圖1 運(yùn)動(dòng)多層膜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

圖2 多層膜微觀結(jié)構(gòu)理論模型示意圖

圖3 速度變化曲線

圖4 非均勻張力作用示意圖

多層膜結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)橫向振動(dòng)方向上的速度為[12]：

根據(jù)Hamilton原理建立多層膜結(jié)構(gòu)的能量方程式：

其中：

對(duì)式（4）進(jìn)行變分運(yùn)算得振動(dòng)微分方程為：

引入無(wú)量綱量：

將式（6）代入式（5）得無(wú)量綱平衡方程為：

2 應(yīng)用微分求積法建立復(fù)特征方程

多方程的微分求積形式為：

四邊簡(jiǎn)支邊界條件的微分求積形式為：

對(duì)邊簡(jiǎn)支另一對(duì)邊固支的微分求積形式為：

將方程（8）和邊界條件（9）、（10）合并得：

3 微分方程組的求解

應(yīng)用二階四級(jí)隱式龍格庫(kù)塔法求解該運(yùn)動(dòng)微分方程組。求解公式為：

4 數(shù)值計(jì)算與分析

下面以一種功能薄膜進(jìn)行數(shù)值分析，材料屬性見(jiàn)表1。

表1 功能膜各層材料屬性

Tab.1 Material properties of each layer of functional film

表2 三層鋪設(shè)四邊簡(jiǎn)支復(fù)合膜前3階固有頻率文中解與解析解的對(duì)比

Tab.2 Comparison between the solution and the analytical solution of the first three order natural frequencies of the three-layer simply supported composite film

表3 單層膜前3階固有頻率本文解與解析解的對(duì)比

Tab.3 Comparison between the solution and the analytical solution of the first three order natural frequencies of monolayers

方程（16）與文獻(xiàn)[12]軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向振動(dòng)微分方程一致。

由表2、表3和式（16）可知，式（5）計(jì)算非均勻張力作用下多層膜結(jié)構(gòu)軸向運(yùn)動(dòng)橫向振動(dòng)微分方程正確，并且應(yīng)用微分求積法計(jì)算不同邊界條件下多層膜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率與文獻(xiàn)解析解均有很好的一致性，表明該方法研究多層膜結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性是可行的。

4.1 四邊簡(jiǎn)支邊界計(jì)算分析

圖5 平均速度與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

圖6 張力比與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

圖7 長(zhǎng)寬比與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

圖8 非均勻張力系數(shù)與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

4.2 對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支邊界計(jì)算分析

圖9 平均速度與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

圖10 非均勻張力系數(shù)與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

圖11 張力比與穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系

圖12 長(zhǎng)寬比對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響

5 結(jié)語(yǔ)

文中研究了變速度多層膜結(jié)構(gòu)在非均勻張力作用下的穩(wěn)定性，以正弦速度變化的無(wú)量綱頻率和幅值為橫縱坐標(biāo)，繪制了動(dòng)力穩(wěn)定性方程特征值為1時(shí)的穩(wěn)定區(qū)域邊界變化曲線，說(shuō)明了速度以正弦擾動(dòng)時(shí)，速度變化的幅值與頻率越小，越有利于系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行。同時(shí)分析了系統(tǒng)不同參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)多層膜結(jié)構(gòu)穩(wěn)定傳輸?shù)淖饔靡?guī)律，研究結(jié)論如下。

1）對(duì)于非均勻張力下運(yùn)動(dòng)多層膜結(jié)構(gòu)，增大平均速度、張力比、非均勻張力系數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域會(huì)變小；增大長(zhǎng)寬比，運(yùn)動(dòng)多層膜的穩(wěn)定區(qū)域會(huì)變大。

2）在系統(tǒng)不同參數(shù)中，平均速度的變化對(duì)運(yùn)動(dòng)多層膜穩(wěn)定區(qū)域的影響最為顯著。

3）當(dāng)邊界條件為對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支時(shí)，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定曲線在=15之后變的平緩，當(dāng)邊界條件為四邊簡(jiǎn)支時(shí)，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定曲線在=50之后才變的平緩。由此可知，四邊簡(jiǎn)支邊界對(duì)速度變化頻率更為敏感，在相同條件下，對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支邊界比四邊簡(jiǎn)支邊界的穩(wěn)定區(qū)域更大。

該研究對(duì)提高運(yùn)動(dòng)多層薄膜結(jié)構(gòu)印刷質(zhì)量、改善柔性電子薄膜印刷在變速運(yùn)動(dòng)工況下鍍層平整性與套印準(zhǔn)確性，確保薄膜穩(wěn)定傳輸有重要參考意義。

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Dynamic Stability of Multilayer Film Structure under Non-uniform Tension

SHAO Ming-yue1, ZHANG Miao1, WU Ji-mei1, QING Jia-juan2, WANG Jing2

(1. School of Printing Packaging Engineering and Digital Media Technology, Xi'an University of Technology, Xi'an 710054, China; 2. School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China)

non-uniform tension; variable speed; multilayer film structure; dynamic stability

TB486

A

1001-3563(2022)15-0195-08

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.15.022

2021–12–05

國(guó)家自然科學(xué)基金（52075435）；陜西省自然科學(xué)基金（2021JQ-480）；陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)項(xiàng)目（21JK0805）

邵明月（1989—），女，博士，西安理工大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。

責(zé)任編輯：曾鈺嬋