基于不確定度和氣動(dòng)模型的氣動(dòng)數(shù)據(jù)融合算法

鄧 晨，陳 功，2，*，王文正，孔軼男

(1. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，綿陽(yáng) 621000；2. 國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410072)

0 引言

飛行器氣動(dòng)數(shù)據(jù)的來(lái)源主要有三種方式：風(fēng)洞試驗(yàn)、數(shù)值計(jì)算和飛行試驗(yàn)[1]。三種方式各有優(yōu)缺點(diǎn)：風(fēng)洞試驗(yàn)可以模擬飛行狀態(tài)和飛行環(huán)境，但是存在支架干擾、雷諾數(shù)影響、洞壁干擾等限制，不能完全模擬真實(shí)飛行狀態(tài)[1]；數(shù)值計(jì)算方法靈活，成本低，提供的數(shù)據(jù)多，但是因?yàn)槲锢砟Ｐ筒粔蛲晟?，使得?fù)雜狀態(tài)的計(jì)算精度較低；飛行試驗(yàn)可以完全模擬真實(shí)飛行狀態(tài)，但是試驗(yàn)代價(jià)昂貴，大氣數(shù)據(jù)和傳感器誤差影響大，氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)困難，得到的有效飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)有限[1-2]。

為了彌補(bǔ)各種數(shù)據(jù)的“缺陷”，綜合利用各種方式的優(yōu)勢(shì)，在降低試驗(yàn)代價(jià)的同時(shí)，提高氣動(dòng)數(shù)據(jù)精度，國(guó)內(nèi)外很多專(zhuān)家學(xué)者提出了基于數(shù)據(jù)融合的方法并做了大量的研究。Alexandrov等[3]對(duì)復(fù)雜的模型進(jìn)行設(shè)計(jì)和優(yōu)化時(shí)，利用低精度數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代，并用高精度數(shù)據(jù)監(jiān)控設(shè)計(jì)優(yōu)化的進(jìn)展，最終在三維問(wèn)題的結(jié)果精度提高的同時(shí)，成本節(jié)約了三倍；Eldred等[4]采用了二階加法、乘法和組合修正的數(shù)據(jù)融合算法，有效地克服了工程設(shè)計(jì)過(guò)程中的非光滑性和計(jì)算成本高的問(wèn)題；Keane[5]在機(jī)翼的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，利用Kriging模型建立了基于試驗(yàn)的預(yù)測(cè)模型和基于CFD數(shù)據(jù)的響應(yīng)面模型的融合模型，氣動(dòng)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度有了較大的提高。國(guó)內(nèi)，中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心的王文正等[6]創(chuàng)造性地提出了基于數(shù)學(xué)模型的氣動(dòng)數(shù)據(jù)融合，建立了反映氣動(dòng)力隨著氣動(dòng)滾轉(zhuǎn)角變化的數(shù)學(xué)模型；傅建明等[7]采用Chebyshev-Taylor-Fourier混合級(jí)數(shù)來(lái)平衡不同精度數(shù)據(jù)之間的不確定度，并采用最小二乘原理來(lái)求解級(jí)數(shù)參數(shù)，該方法高效實(shí)用，工程應(yīng)用前景良好。

根據(jù)國(guó)內(nèi)外的研究可以發(fā)現(xiàn)，氣動(dòng)數(shù)據(jù)融合算法可以分為基于不確定度和基于氣動(dòng)模型的數(shù)據(jù)融合算法[1]。目前兩種算法的研究都有一些，但是缺少了對(duì)比分析，而有關(guān)于融合算法的適用性的研究幾乎沒(méi)有。鑒于此，本文首先提出并實(shí)現(xiàn)了兩種數(shù)據(jù)融合算法：一種是基于不確定度的多保真度氣動(dòng)數(shù)據(jù)加權(quán)融合算法，通過(guò)建立各數(shù)據(jù)源的高斯回歸模型來(lái)量化數(shù)據(jù)的不確定度，并利用專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)的不確定度進(jìn)行修正，最后通過(guò)加權(quán)融合進(jìn)行數(shù)據(jù)融合；另一種是基于建模的CoKriging模型算法，在Kriging模型的基礎(chǔ)上考慮了不同數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，直接建立融合代理模型。然后以某型飛行器氣動(dòng)數(shù)據(jù)為例，對(duì)比分析得到了兩種算法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 數(shù)據(jù)融合算法

1.1 基于不確定度的加權(quán)融合算法

基于不確定度的加權(quán)融合算法，主要利用了高斯過(guò)程回歸來(lái)量化每一種數(shù)據(jù)源的不確定度，并利用不確定度作為權(quán)值進(jìn)行加權(quán)融合。下面簡(jiǎn)單介紹高斯過(guò)程回歸算法和基于不確定度的加權(quán)融合算法。

1.1.1 高斯過(guò)程回歸算法

高斯過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)處理小樣本、非線(xiàn)性、高維數(shù)等復(fù)雜問(wèn)題具有良好的適用性[8-9]。其本質(zhì)是一種基于貝葉斯優(yōu)化的回歸算法。給定一個(gè)數(shù)據(jù)集在集合D中，定義具有聯(lián)合高斯分布的變量集合f(x)，由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)組成：

考慮到噪聲，則高斯過(guò)程回歸的一般模型為：

式中，ε為獨(dú)立的高斯白噪聲。

根據(jù)貝葉斯原理，高斯過(guò)程回歸在數(shù)據(jù)集D建立了y的先驗(yàn)函數(shù)，則樣本點(diǎn)和新的數(shù)據(jù)點(diǎn)f?的聯(lián)合高斯分布為：

式中，K、K?和K??的定義如下：

根據(jù)高斯過(guò)程的性質(zhì)，f?的后驗(yàn)概率分布f?|X,y,x同樣符合高斯分布：

式中：

μ?(x)即 新的數(shù)據(jù)點(diǎn)x?預(yù) 測(cè)的輸出值， Σ?為預(yù)測(cè)輸出的方差，這樣便求得預(yù)測(cè)值的分布特征。即獲得了數(shù)據(jù)集的不確定度。有關(guān)于高斯回歸過(guò)程中的協(xié)方差函數(shù)的選擇和超參數(shù)的優(yōu)化參閱文獻(xiàn)[10]。

1.1.2 加權(quán)融合算法

針對(duì)多來(lái)源的氣動(dòng)數(shù)據(jù)，采用高斯過(guò)程回歸進(jìn)行回歸處理，得到每一種數(shù)據(jù)源的均值 μGPRi和方差接著采用基于不確定度的加權(quán)融合算法進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，具體流程圖如圖1所示。

圖1 基于不確定度的氣動(dòng)數(shù)據(jù)融合算法Fig. 1 Aerodynamic data fusion algorithm based on uncertainly

由圖1可知，首先采用了高斯過(guò)程回歸對(duì)不同來(lái)源的氣動(dòng)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行回歸處理，得到模型的不確定度。接著因?yàn)槊恳环N數(shù)據(jù)都來(lái)自計(jì)算或者測(cè)量，與真實(shí)值存在偏差，所以需要根據(jù)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息，確定每一種數(shù)據(jù)的保真度。保真度反映了氣動(dòng)數(shù)據(jù)樣本和真值間的不確定度，保真度越高，則數(shù)據(jù)越精確，并定義數(shù)據(jù)源i的保真度函數(shù)為。然后將模型的不確定度和數(shù)據(jù)的不確定度結(jié)合起來(lái)得到每一種數(shù)據(jù)源的總的不確定度 μTi和，如式（10）和式（11）所示。最后根據(jù)加權(quán)融合算法對(duì)每一種數(shù)據(jù)總的不確定度進(jìn)行融合估計(jì)。

對(duì)于高精度數(shù)據(jù)，因?yàn)闃颖军c(diǎn)過(guò)少，所以它的模型不確定度高，而高精度數(shù)據(jù)本身的不確定度低；而對(duì)于低精度數(shù)據(jù)，因?yàn)闃颖军c(diǎn)很多，所以它的模型不確定度低，而低精度數(shù)據(jù)本身的不確定高。通過(guò)加權(quán)融合的方式，可以得到精度更高、不確定度更低的數(shù)據(jù)。加權(quán)融合算法即對(duì)每一種數(shù)據(jù)源分配不同的權(quán)重系數(shù)w，再進(jìn)行相加處理。假定各數(shù)據(jù)源是相互獨(dú)立的，則權(quán)重系數(shù)和數(shù)據(jù)的不確定度方差成反比，即方差越高，說(shuō)明數(shù)據(jù)精度越低，權(quán)重系數(shù)就小。具體表達(dá)式如下：

1.2 基于模型的CoKriging融合代理模型

CoKriging模型是20世紀(jì)70年代發(fā)展起來(lái)的一種更有效的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)插值模型[11-12]。目前國(guó)際上對(duì)CoKriging模型的研究主要集中于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域，在航空航天等工程科學(xué)領(lǐng)域的研究也正逐漸得到重視[13]。

CoKriging模型的原理如下[14]：假設(shè)一個(gè)具有m個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，高、低可信度分析程序的抽樣位置為：

式中：下標(biāo)“1”和“2”分別代表了高、低可信度，n1和n2分別代表高、低可信度樣本點(diǎn)數(shù)。相應(yīng)的目標(biāo)或約束函數(shù)的值為：

CoKriging代理模型的預(yù)估值為：

式 中： λ1和 λ2為 對(duì) 應(yīng)的 加 權(quán)系 數(shù)。假 如 存在 分 別 與y1和y2對(duì)應(yīng)的兩個(gè)靜態(tài)隨機(jī)過(guò)程：

式中： β為全局趨勢(shì)模型，代表Y(x)的數(shù)學(xué)期望值；Z(x) 為均值為零、方差為 σ2的靜態(tài)隨機(jī)過(guò)程。在設(shè)計(jì)空間不同位置處，隨機(jī)變量之間的協(xié)方差和交叉協(xié)方差定義為：

式中R為相關(guān)函數(shù)，只與空間距離有關(guān)，并滿(mǎn)足距離為零時(shí)等于1，距離無(wú)窮大時(shí)等于0。

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)[13]，得到CoKriging模型預(yù)估值和預(yù)估值的均方差如下：

式中：

且有：

CoKriging模型預(yù)估值的均方差為：

剩余參數(shù)θ(11)、θ(12)、θ(22)沒(méi)有解析最優(yōu)解，可以通過(guò)數(shù)值優(yōu)化算法求解下式的最大值得到：

在算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，需要注意如下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

（1）樣本點(diǎn)歸一化。將樣本數(shù)據(jù)歸一化后再建立CoKriging模型，可以提高模型的精度和魯棒性。

（2）模型參數(shù)優(yōu)化。合理的模型參數(shù)，可以顯著提高CoKriging模型精度。

（3）相關(guān)矩陣R保持正定。采用“正則化”方法，讓R保持正定。

（4）合理的矩陣分解方法。采用Cholesky分解，可以有效提高計(jì)算效率。

2 兩種數(shù)據(jù)融合算法結(jié)果對(duì)比分析

本節(jié)中，利用已有的典型飛行器高精度數(shù)據(jù)和低精度的數(shù)據(jù)來(lái)建立飛行器氣動(dòng)模型。首先使用Kriging模型對(duì)高、低精度數(shù)據(jù)分別建立代理模型，接著使用基于不確定度和CoKriging代理模型來(lái)建立融合模型，最后進(jìn)行比較分析。

2.1 數(shù)據(jù)樣本說(shuō)明

選擇馬赫數(shù)Ma和迎角α作為設(shè)計(jì)變量，軸向力系數(shù)CA作為函數(shù)響應(yīng)值。采用現(xiàn)代試驗(yàn)方法進(jìn)行試驗(yàn)方法設(shè)計(jì)[15-16]，一共得到高精度數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)11個(gè)，低精度數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)24個(gè)。并將高精度樣本點(diǎn)分為兩部分，一部分用來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練，另一部分作為驗(yàn)證。如表1～表3所示。

表1 用來(lái)訓(xùn)練的高精度數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)Table 1 High-precision samples for training

表2 用來(lái)驗(yàn)證的高精度數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)Table 2 High-precision samples for validation

表3 部分低精度數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)Table 3 Part of low-precision samples

2.2 建立模型及分析

利用樣本數(shù)據(jù)建立了四個(gè)軸向力系數(shù)模型，分別是高高精度數(shù)據(jù)Kriging模型、低高精度數(shù)據(jù)Kriging模型、不確定度融合模型和CoKriging融合模型，具體結(jié)果如下。

2.2.1 高高精度數(shù)據(jù)Kriging軸向力系數(shù)模型

圖2給出了高高精度數(shù)據(jù)Kriging模型對(duì)軸向力系數(shù)的預(yù)測(cè)值。由圖可見(jiàn)，高馬赫數(shù)時(shí)模型預(yù)測(cè)精度較差，與理論分析結(jié)果相差較遠(yuǎn)，這是因?yàn)槿鄙倭烁唏R赫樣本點(diǎn)，而低馬赫數(shù)時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)果較好。

圖2 高精度數(shù)據(jù)Kriging模型預(yù)測(cè)值Fig. 2 Predictions of the Kriging model using high-precision samples

2.2.2 低高精度數(shù)據(jù)Kriging軸向力系數(shù)模型

圖3給出了低高精度數(shù)據(jù)Kriging模型對(duì)軸向力系數(shù)的預(yù)測(cè)值。由圖可見(jiàn)，因?yàn)榈途葦?shù)據(jù)樣本點(diǎn)多且廣，建立的模型在變量全設(shè)計(jì)空間預(yù)測(cè)情況較好，與樣本點(diǎn)接近。但是因?yàn)榈途葦?shù)據(jù)本身精度低，所以預(yù)測(cè)結(jié)果只是接近樣本點(diǎn)，與真實(shí)情況的誤差未知。

圖3 低精度數(shù)據(jù)Kriging模型預(yù)測(cè)值Fig. 3 Predictions of the Kriging model using low-precision samples

2.2.3 融合模型—基于不確定度的加權(quán)融合模型

利用高斯過(guò)程回歸量化了不同精度數(shù)據(jù)的不確定度之后，采用加權(quán)融合算法得到結(jié)果如圖4所示。根據(jù)不確定度進(jìn)行加權(quán)融合，這種融合方式?jīng)]有考慮到不同精度數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，所以在高馬赫數(shù)時(shí)的預(yù)測(cè)值與低精度數(shù)據(jù)樣本值幾乎一樣，和真實(shí)值也有所差異。

圖4 基于不確定度的加權(quán)融合模型預(yù)測(cè)值Fig. 4 Predictions of the weighted fusion model based on uncertainly

2.2.4 融合模型—基于建模的CoKriging融合代理模型

CoKriging融合代理模型就是在Kriging模型的基礎(chǔ)上，考慮了不同數(shù)據(jù)之間的協(xié)相關(guān)性，所以結(jié)果更符合真實(shí)情況。本節(jié)中，由于高、低精度數(shù)據(jù)具有相似的函數(shù)變化趨勢(shì)，只是存在小幅度的平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，為簡(jiǎn)便，假設(shè)其具有如下的相關(guān)性：

式中：h為空間距離；ρ為兩種不同數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，一般作為超參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化尋優(yōu)獲得，可以表示兩種數(shù)據(jù)之間相關(guān)性，這種相關(guān)性只是代表了數(shù)據(jù)數(shù)值上的相關(guān)，沒(méi)有具體的物理含義。本文將 ρ 當(dāng)成超參數(shù)，通過(guò)最大似然估計(jì)方法尋優(yōu)求得值為0.930。得到CoKriging融合代理模型預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示。

圖5 CoKriging融合代理模型預(yù)測(cè)值Fig. 5 Predictions of the CoKriging fusion model

與不考慮數(shù)據(jù)相關(guān)性的直接加權(quán)融合相比，CoKriging模型的結(jié)果更符合真實(shí)情況：在低馬赫數(shù)時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果更接近高精度數(shù)據(jù)結(jié)果；在高馬赫數(shù)時(shí)，高、低精度數(shù)據(jù)相互修正，得到了一個(gè)更加符合理論分析和真實(shí)情況的結(jié)果。

2.3 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

訓(xùn)練得到兩個(gè)單精度數(shù)據(jù)模型和兩個(gè)融合模型。為了比較不同模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，定義誤差值Err：

式中，yi為 用于驗(yàn)證的高精度樣本值，y?i為各模型對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值。誤差值Err越小，則越接近真實(shí)值。計(jì)算得到四個(gè)模型的誤差值如表4、表5所示。對(duì)表4和表5進(jìn)行橫向和縱向?qū)Ρ确治?，總結(jié)得到以下結(jié)論：

表4 不同單數(shù)據(jù)模型的預(yù)測(cè)誤差值Table 4 Prediction errors of single-data models

表5 不同融合模型的預(yù)測(cè)誤差值Table 5 Prediction errors of fusion models

1）單源數(shù)據(jù)建模時(shí)，用相同數(shù)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)建模，高精度數(shù)據(jù)建立的模型精度比低精度模型高；

2）數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，建立的模型越精確，數(shù)據(jù)點(diǎn)覆蓋的設(shè)計(jì)變量空間越廣，得到的模型越精確；

3）與單源數(shù)據(jù)的建模結(jié)果相比，兩種融合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果的精度都有較大的提升；

4）相比于基于不確定度的直接加權(quán)算法，CoKriging融合模型的精度更高。

本文用于訓(xùn)練和驗(yàn)證的高精度數(shù)據(jù)來(lái)自風(fēng)洞試驗(yàn)，因?yàn)樵囼?yàn)條件限制，沒(méi)有高馬赫數(shù)時(shí)的氣動(dòng)數(shù)據(jù)。為了獲得參數(shù)空間更廣的融合數(shù)據(jù)，所以對(duì)建立的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了大范圍的外插，這種方法雖然在工程上不適定，但是對(duì)于定性分析具有一定的參考價(jià)值。在高精度數(shù)據(jù)參數(shù)變量空間內(nèi)，融合數(shù)據(jù)內(nèi)填了高精度數(shù)據(jù)，精度也得到了提高，而在外推的變量空間內(nèi)，融合數(shù)據(jù)也為數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)提供了參考。后續(xù)研究方向可以為通過(guò)補(bǔ)充其他手段得到的高精度數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充完善，讓涵蓋所需要的建模空間且相對(duì)均勻，這樣能得到準(zhǔn)確度、可信度更高的結(jié)果。

3 結(jié)論

本文研究了兩種氣動(dòng)數(shù)據(jù)融合算法：一種是基于不確定度的直接加權(quán)融合算法，另一種是基于模型的CoKriging融合代理模型算法。并以典型飛行器氣動(dòng)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行了對(duì)比分析，得到以下結(jié)論：

1）與使用單精度數(shù)據(jù)的建模結(jié)果相比，兩種融合算法預(yù)測(cè)結(jié)果的精度都有較大的提高。

2）對(duì)于融合算法，數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)精度影響很大，數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，覆蓋范圍越廣，結(jié)果越精確；

3）和基于不確定度的加權(quán)融合算法相比，考慮了數(shù)據(jù)之間相關(guān)性的CoKriging算法建模得到的結(jié)果精度更高。

4）融合數(shù)據(jù)主要有兩個(gè)作用：一是對(duì)高精度數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)填，補(bǔ)充參數(shù)空間內(nèi)的數(shù)據(jù)；二是通過(guò)外推，對(duì)參數(shù)空間外的數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。后續(xù)研究方向可以為通過(guò)補(bǔ)充其它手段得到的高精度數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充完善，讓高精度數(shù)據(jù)涵蓋所需要的建?？臻g且相對(duì)均勻，這樣能得到準(zhǔn)確度、可信度更高的結(jié)果。