化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

?江蘇省無(wú)錫市鳳翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校 馬 琦

1 引言

當(dāng)前初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在著這樣的現(xiàn)象：他們關(guān)注更多的是這道題做對(duì)了沒(méi)有；如果錯(cuò)了，是在哪一步出錯(cuò).他們沒(méi)有在宏觀上去關(guān)注這道題，即這道題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是什么，用這樣的思想還能解答哪些類(lèi)似的題目.其實(shí)當(dāng)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的角度去探究問(wèn)題時(shí)，會(huì)在“山重水復(fù)”中窺見(jiàn)“柳暗花明”.因此，在教學(xué)中教師要培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)思想的意識(shí)，比如培養(yǎng)學(xué)生化歸思想，以提升他們的學(xué)習(xí)能力.運(yùn)用化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),教師要指導(dǎo)學(xué)生先思考采用什么樣的手段將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而不是具體的解題步驟.

2 由陌生引向熟悉,體會(huì)化歸思想

教師要培養(yǎng)學(xué)生的讀題能力，即學(xué)生解題時(shí)，先要讓他們以自己的方式解讀這道題.學(xué)生在讀題的時(shí)候，要能讀出這道題中有哪些是熟悉的，有哪些是不熟悉的認(rèn)知、問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生大致認(rèn)清題目的面目之后，教師就可以引導(dǎo)他們將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，在運(yùn)用中體現(xiàn)化歸思想.

以蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“直線與圓的位置關(guān)系”這一章節(jié)為例，教師設(shè)置這樣的題目：如圖1所示，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P.若∠BPC=70°，則∠ABC的度數(shù)等于多少？

圖1

學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中的條件都是一些常見(jiàn)的條件，無(wú)非就是某條直線與某個(gè)線段垂直，某個(gè)角等于多少度，但是發(fā)現(xiàn)要求的這個(gè)角度是陌生的，這個(gè)陌生體現(xiàn)在它幾乎與題面上任何角都沒(méi)有關(guān)系.教師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行角度之間的轉(zhuǎn)化，讓化歸思想體現(xiàn)出來(lái).學(xué)生先是從∠ABC這個(gè)陌生的角入手，將其轉(zhuǎn)化為“∠OBC-∠OBA”.這其中∠OBC的度數(shù)可以從“點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上”這一條件獲得，即∠OBC為90°；也就是說(shuō)，學(xué)生將完全陌生的角轉(zhuǎn)為一個(gè)熟悉的角與另一個(gè)陌生的角的差，接著繼續(xù)將∠OBA進(jìn)行轉(zhuǎn)化.根據(jù)題目圖形，學(xué)生不難得出“∠OBA=∠A”這一結(jié)論，但∠A也是一個(gè)陌生的角.再次轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)在∠A所在的三角形中，因?yàn)镺C⊥OA，所以∠AOC=90°，所以可將∠A轉(zhuǎn)化為“90°-∠APO”.而∠APO也是一個(gè)陌生的角，題目中沒(méi)有提及，但是題目中提到的是它的對(duì)頂角∠BPC等于70°，進(jìn)而學(xué)生再次轉(zhuǎn)化，得出∠APO等于70°.很顯然，在這個(gè)題目中學(xué)生秉持的理念就是要將不熟悉的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只是這個(gè)轉(zhuǎn)化不是一步到位，需要經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)化，最后變成學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境.因此，在教學(xué)中，教師可指導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題分為熟悉的與不熟悉的兩大類(lèi)，再在中間不斷地轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到化解問(wèn)題的目的.

3 由特殊引向一般,了解化歸思想

學(xué)生解題時(shí)會(huì)遇到具體的問(wèn)題情境，即要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.對(duì)于這樣的題目學(xué)生可以運(yùn)用化歸思想進(jìn)行層層轉(zhuǎn)化，將特殊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般性的問(wèn)題，進(jìn)而為問(wèn)題的解決提供便利[1].

以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“勾股定理”為例，教師將這樣一道題展示給學(xué)生：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？這是《九章算術(shù)》里的一道題，教師想讓學(xué)生在運(yùn)用化歸思想的同時(shí)，感知中國(guó)古人的智慧.學(xué)生將這段文言文轉(zhuǎn)化為白話文：一根竹子原高1丈，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？教師首先要求學(xué)生將題目的文字內(nèi)容轉(zhuǎn)化為圖形，并按照題目的要求將相關(guān)的數(shù)據(jù)標(biāo)出來(lái)，然后引導(dǎo)學(xué)生將題目中“竹子”這一特殊的情境換掉，變成一個(gè)一般性的圖形.換言之，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行特殊性到一般性的轉(zhuǎn)化.

學(xué)生將原題中的已知條件轉(zhuǎn)化成圖2，對(duì)照這個(gè)圖形，首先假設(shè)A，B之間的距離為x尺，依據(jù)題意可知A，C之間的距離就為(10-x)尺，因?yàn)轭}目中BC的距離是3尺，依據(jù)勾股定理，列出x2+32=(10-x)2.從整個(gè)過(guò)程來(lái)看，教師主要指導(dǎo)學(xué)生從特殊的情境中看到一般性的問(wèn)題.學(xué)生要能將原題目的一些特殊性的表述轉(zhuǎn)為一般的數(shù)學(xué)化的敘述，進(jìn)而促成問(wèn)題的解決.教師指導(dǎo)學(xué)生由特殊性到一般性轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是展示化歸思想的過(guò)程.

圖2

4 由復(fù)雜引向簡(jiǎn)單,應(yīng)用化歸思想

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中遇到的常見(jiàn)的困難就是不會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.化歸是重要的數(shù)學(xué)思想，最主要的就是在不停的轉(zhuǎn)化中將問(wèn)題解決.將復(fù)雜轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單就是化歸思想的主要展現(xiàn)形式.由復(fù)雜往簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，主要是將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化，當(dāng)然也包括將復(fù)雜的表述簡(jiǎn)化.

以蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“一元一次方程的應(yīng)用”為例，教師設(shè)置這樣的題目：某公司會(huì)計(jì)欲查詢乙商品的進(jìn)價(jià)，發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單已被墨水污染，如表1.

表1 進(jìn)貨單

商品采購(gòu)員A和倉(cāng)庫(kù)保管員B對(duì)采購(gòu)情況回憶如下：

A：甲商品進(jìn)價(jià)比乙商品進(jìn)價(jià)每件高50%.

B：甲商品比乙商品的數(shù)量多40件.

請(qǐng)你求出乙商品的進(jìn)價(jià)，并幫助他們補(bǔ)全進(jìn)貨單.

5 結(jié)束語(yǔ)

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中應(yīng)具有的最基本的思維策略，當(dāng)然也是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是不斷改變思維策略、提升思維品質(zhì)的過(guò)程.換言之，在教學(xué)過(guò)程中，教師要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，進(jìn)而促進(jìn)他們素養(yǎng)的生成.教師重視化歸思想在解題中的運(yùn)用，其實(shí)也就是重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，只是將思維的培養(yǎng)進(jìn)一步上升到宏觀的高度，居高處臨下，于高屋處建瓴[2].