數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究

王有鵬

（甘肅省臨夏州永靖縣三峽中學(xué)，甘肅 臨夏 731600）

通過不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，就是為了培養(yǎng)學(xué)生可以養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維，通過不斷提升的數(shù)學(xué)思維，可以幫助學(xué)生在今后的生活和學(xué)習(xí)中遇到困惑和難題后時(shí)，可以更好地進(jìn)行問題的解決。根據(jù)研究表明，學(xué)生在離開學(xué)校后，對一些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不出兩年就會(huì)忘記，但是學(xué)生養(yǎng)成的數(shù)學(xué)思維和思考方式卻可以伴隨學(xué)生的一生。因此，教師在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)時(shí)，除了要通過練習(xí)讓學(xué)生可以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)外，還需要通過數(shù)學(xué)練習(xí)，讓學(xué)生不斷提升自身的數(shù)學(xué)思維，這樣才可以不斷提升學(xué)生的綜合能力。

進(jìn)行初中數(shù)學(xué)的教學(xué)時(shí)，教師需要明確在整個(gè)初中教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)思想包含許多種思想方法，但最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法是數(shù)形結(jié)合思想、分類談?wù)撍枷?、化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想。學(xué)生如果想要掌握這些數(shù)學(xué)思想，就需要通過不斷地練習(xí)進(jìn)行理解和掌握，讓學(xué)生可以轉(zhuǎn)化為自己的能力，從而不斷提升自己的數(shù)學(xué)思想，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、將數(shù)學(xué)思想方法融入初中數(shù)學(xué)解題中的意義

在數(shù)學(xué)思想方法中主要包括了數(shù)形結(jié)合、化歸思想以及分類討論方法等，其間在不同類型的數(shù)學(xué)題目中將需要滲透不一樣的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)對于具有綜合性的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，其還可以用到多種數(shù)學(xué)思想方法。其中化歸思維就是將問題轉(zhuǎn)化成另一個(gè)更簡單的問題，學(xué)生通過思考、回憶舊知識(shí)、用已知認(rèn)識(shí)解決未知的知識(shí)。強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法實(shí)際上就是對數(shù)學(xué)問題解決程序進(jìn)行規(guī)范化的過程，其中數(shù)學(xué)思想方法與解題效果具有互為補(bǔ)充的關(guān)系，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的核心，學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的過程中形成數(shù)學(xué)思維方法，進(jìn)而為提升其知識(shí)遷移能力奠定良好基礎(chǔ)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以基于學(xué)生提出的問題作出形象化的設(shè)計(jì)優(yōu)化，使得學(xué)生能夠構(gòu)建更加完善的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而為強(qiáng)化學(xué)生的綜合素質(zhì)能力奠定良好基礎(chǔ)。

二、數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合的思想方式

數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵實(shí)際上就是運(yùn)用直觀的幾何圖形對理論中抽象難懂的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行表示，其間初中生可以基于圖像信息開展精準(zhǔn)計(jì)算，進(jìn)而更好地降低內(nèi)容信息之間的干擾性，為優(yōu)化初中數(shù)學(xué)解題效率奠定良好基礎(chǔ)。在數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的過程中教師需要注重對學(xué)習(xí)系統(tǒng)的構(gòu)建，而后使得學(xué)生能夠從知識(shí)儲(chǔ)備中尋找與題目相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，進(jìn)而更好地優(yōu)化數(shù)學(xué)解題效果。在數(shù)學(xué)考試中，許多學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)難以完成答題，問題不在于學(xué)生對知識(shí)的掌握程度，而在于學(xué)生解決問題的能力不夠。而數(shù)形結(jié)合作為一種解題的方法技巧，能夠更好地幫助學(xué)生快速找到問題解決的思路，進(jìn)而為培養(yǎng)學(xué)生良好的自信心以及學(xué)習(xí)興趣奠定良好基礎(chǔ)。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，所以，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，將這種思想進(jìn)行了廣泛的應(yīng)用。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微。這說明在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想的重要性。學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，有許多規(guī)律和定義需要記憶。如勾股定理、求圖形的面積等，都需要進(jìn)行記憶。學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)用時(shí)，如果結(jié)合圖形不僅可以提升學(xué)生的運(yùn)用能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，教師在進(jìn)行“平移”的教學(xué)練習(xí)時(shí)，就可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想融入，將抽象的習(xí)題形象化，讓學(xué)生可以在大腦中建立立體模型，然后通過轉(zhuǎn)化將習(xí)題成功地解決出來。所以，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，需要與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行結(jié)合。這樣不僅可以讓學(xué)生的空間思維越來越好，而且還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解決問題的能力，通過不斷訓(xùn)練，還可以不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的綜合能力越來越強(qiáng)。

除此之外，由于初中生對不等式的學(xué)習(xí)是處于基礎(chǔ)層面的。因此為了更好地深化學(xué)生對不等式的理解能力，就需要將數(shù)形結(jié)合理念融入不等式問題的解答中，其間可以將方程式與數(shù)軸充分結(jié)合起來，并通過數(shù)軸上的交點(diǎn)表達(dá)應(yīng)用等式的內(nèi)容，進(jìn)而更好地提升學(xué)生的理解和知識(shí)遷移運(yùn)用能力，同時(shí)也將為后續(xù)“二元一次不等式”的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合思想更加注重教學(xué)內(nèi)容之間的綜合性，初中數(shù)學(xué)問題中涉及路徑問題、集中問題、追蹤問題等，都具有一定的抽象性和綜合性。因此在對此類問題進(jìn)行解答的過程中，就需要充分利用好數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，用圖式把問題中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)清楚，進(jìn)而使得學(xué)生能夠更加直觀地理解題目中的各個(gè)元素，促使學(xué)生能夠提升解題的效率以及正確率。

數(shù)形結(jié)合思想方法在初中函數(shù)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，因此教師需要在設(shè)置函數(shù)問題的過程中借助數(shù)學(xué)模型對已知條件進(jìn)行分析，由此使得函數(shù)能夠在數(shù)形結(jié)合的過程中形成一個(gè)完整的知識(shí)體系，進(jìn)而為解決函數(shù)問題奠定良好基礎(chǔ)，而利用數(shù)學(xué)模型對函數(shù)中復(fù)雜的關(guān)系進(jìn)行梳理，也將提升學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想方法解決函數(shù)問題的意識(shí)。例如，在初中函數(shù)教學(xué)時(shí)，如圖，由于y=-x2+bx+c 的圖像與x 軸、y 軸的交點(diǎn)分別為A(1，0)，B(0，3)，對稱軸是X=1，將交點(diǎn)代入解析式求出函數(shù)表達(dá)式，即可作出正確判斷。將A(1，0)，B(0，3)分別代入解析式得，-1+b+c=0，c=3，解得，b=-2，c=3，則函數(shù)解析式為y=x2-2x+3；將x=1 代入解析式可得其定點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，4)；當(dāng)y=0 時(shí)可得，-x2-2x-3-0；解得，x=3x-1.可見，拋物線與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-3，0)；由圖可知，當(dāng)x<-1 時(shí)，y 隨x的增大而增大。

在整個(gè)求解過程中，通過函數(shù)模型也將使得學(xué)生能夠在熟悉的模型下展開積極思考，進(jìn)而為提升解題的效率奠定良好基礎(chǔ)。

（二）分類討論的思想方式

分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中也占有很重要的位置，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的教學(xué)時(shí)，需要根據(jù)學(xué)生的不同情況進(jìn)行教學(xué)分類思想的培養(yǎng)。分類討論就是在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多種教學(xué)情況，對于這種情況，教師就需要讓學(xué)生通過分類的方式進(jìn)行解決，然后再進(jìn)行綜合求解。分類思想的培養(yǎng)，可以幫助學(xué)生不斷提升自己的邏輯思維，從而不斷提升自己的數(shù)學(xué)思維能力。在初中教學(xué)練習(xí)中，常見的需要進(jìn)行分類討論的知識(shí)點(diǎn)有絕對值、方程、分段函數(shù)、三角形、圓等等。因此，在學(xué)生進(jìn)行這一部分試題的解決時(shí)，教師要充分把握，通過不斷地練習(xí)，讓學(xué)生可以掌握分類討論的思想，從而不斷提升自己的數(shù)學(xué)思想。例如，教師在進(jìn)行《絕對值》的教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生對a 的絕對值定義分為a>0、a<0、a=0 三種情況，對于這種概念型的分類，學(xué)生需要進(jìn)行記憶。在分類討論思想中，還分為性質(zhì)型、含參型、確定型，教師需要通過數(shù)學(xué)練習(xí)，讓學(xué)生都可以靈活掌握，讓學(xué)生充分掌握分類思想。

通過掌握分類思想，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生可以更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。對于數(shù)學(xué)分類討論的教學(xué)融入，可以降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，不斷提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，所以，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想在初中解題中的應(yīng)用時(shí)需要讓學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)分類討論思想。

（三）數(shù)學(xué)化歸轉(zhuǎn)化的思想方式

化歸，就是指數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)歸結(jié)。其實(shí)就是在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決時(shí)，對于一些還沒有解決或者比較難的問題，讓學(xué)生通過觀察、分析、思考和類比的方式進(jìn)行推敲，最終讓學(xué)生可以把這些困難的問題轉(zhuǎn)化到已知或者已經(jīng)解決的問題上，從而找到解決這些問題的答案。這種方式就是數(shù)學(xué)化歸轉(zhuǎn)化思想。通過培養(yǎng)學(xué)生這種數(shù)學(xué)思想，不僅可以不斷完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，而且還可以不斷培養(yǎng)學(xué)生解決難題的能力，從而不斷提升學(xué)生的綜合能力。例如在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)基本每個(gè)應(yīng)用題中都有轉(zhuǎn)化的思想，如在求多邊形的內(nèi)角角度時(shí)，學(xué)生就可以將三角形內(nèi)角和是180°、等邊三角形一個(gè)角是60°、等腰直角三角形的底角都是45°等等，這些都可以成為已知條件，學(xué)生在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以通過勾畫輔助線的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將一些未知的條件變成已知的條件。再比如，在進(jìn)行一些公式的運(yùn)用時(shí)教師通過觀察發(fā)現(xiàn)已知公式與學(xué)過的公式存在一定的聯(lián)系，學(xué)生需要通過待定系數(shù)法、配方法、整體代入法等方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以轉(zhuǎn)化為學(xué)過的公式，從而就可以順利地求出問題。通過數(shù)學(xué)化歸轉(zhuǎn)化思想的傳授，可以讓學(xué)生的邏輯思維越來越高，而且還可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力越來越好，從而可以為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（四）函數(shù)的思想方式

教師在進(jìn)行學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)時(shí)應(yīng)當(dāng)明確數(shù)學(xué)函數(shù)思想的重要性。函數(shù)思想是指一個(gè)點(diǎn)在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)和變化的過程中，利用函數(shù)的概念、圖像的性質(zhì)觀察問題、分析問題討論問題，最終解決問題的過程。函數(shù)的知識(shí)讓大家明確，物理在不斷變化的過程中，自身量與量之間也存在一定的規(guī)律。為此，通過不斷進(jìn)行函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生通過觀察、分析、討論來進(jìn)行問題的解決，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想影響非常大。教師通過函數(shù)平面坐標(biāo)的引入，可以幫助學(xué)生把抽象的運(yùn)動(dòng)形象地表現(xiàn)出來。這樣不僅可以降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，而且還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如，教師在進(jìn)行關(guān)于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 的兩個(gè)根中有且僅有一個(gè)根在0 和1 中（不含0 和1），問a 的取值范圍？在進(jìn)行這個(gè)問題的講解時(shí)，教師就可以讓學(xué)生通過平面圖像的結(jié)合進(jìn)行講解，這樣可以很快地讓學(xué)生將公式轉(zhuǎn)化為：y=ax2+2x-5=0，然后進(jìn)行代入，當(dāng)x=0 時(shí)，y=-5 小于0，當(dāng)x=1 時(shí)，y=a-3 大于0。這樣才可以保證在x 軸上的兩個(gè)焦點(diǎn)，在0 和1之間，所以答案就是a>3。教師通過這道問題的探究，可以讓學(xué)培養(yǎng)函數(shù)思想，并且通過不斷地結(jié)合坐標(biāo)系，還可以不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，最終可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)時(shí)要明確，這是一項(xiàng)長期進(jìn)行的教學(xué)，它不可能一蹴而就，這就要求教師通過日積月累的教學(xué)和練習(xí)，讓學(xué)生在不斷地實(shí)踐中感受到數(shù)學(xué)的魅力，從而不斷掌握各種數(shù)學(xué)思維，提升自己的數(shù)學(xué)思維。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)也需要與時(shí)俱進(jìn)，需時(shí)刻以學(xué)生的需求為主，通過不斷地教學(xué)改革為學(xué)生創(chuàng)建更加適合學(xué)生的教學(xué)方式，從而讓學(xué)生可以更加科學(xué)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

（五）分層式導(dǎo)圖的思想方法

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)初中學(xué)生不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，利用思維導(dǎo)圖教學(xué)設(shè)計(jì)出不同的課后作業(yè)內(nèi)容。在針對初中教學(xué)中，教師要提高創(chuàng)新教學(xué)理念，增加初中學(xué)生感興趣的作業(yè)內(nèi)容，設(shè)計(jì)多樣化的作業(yè)讓初中學(xué)生自主地選擇，最大限度地調(diào)動(dòng)初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

比如，在學(xué)習(xí)《全等三角形》的過程中，教師可以運(yùn)用思維導(dǎo)圖教學(xué)方式向?qū)W生布置不同題型，并規(guī)定在三分鐘以內(nèi)完成對三角形判定的解答，讓學(xué)生互相競爭，成為課堂的主體地位，增加了學(xué)生完成作業(yè)的新鮮感，從而鍛煉學(xué)生的解答速度。因?yàn)槿热切蔚呐卸ǚ绞?、性質(zhì)等內(nèi)容較多且繁雜，所以教師就要合理利用思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生合理歸類。初中教師還要將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)水平不同的初中學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新化分層教學(xué)，可以將不同的學(xué)生分為A、B、C 三種層面，根據(jù)學(xué)生不同的基礎(chǔ)加以強(qiáng)化作業(yè)的任務(wù)，保證每個(gè)學(xué)生都可以完成作業(yè)。教師還要加強(qiáng)初中學(xué)生的思維導(dǎo)圖教育，在思維導(dǎo)圖教育中加強(qiáng)運(yùn)算的能力，確保學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，從而使不同水平的學(xué)生都可以提高解題技巧。教師應(yīng)提高認(rèn)識(shí)思維導(dǎo)圖教學(xué)，完善教學(xué)的理念，充分地把握數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容，完善任課經(jīng)驗(yàn)，全方位地為學(xué)生制定合理的教學(xué)方案。在數(shù)學(xué)課程教學(xué)時(shí)，教師就要全方面地了解學(xué)生學(xué)習(xí)水平，進(jìn)行思維導(dǎo)圖分層教學(xué)，全面規(guī)劃教學(xué)方案，有目標(biāo)，有重點(diǎn)，在學(xué)生基本知識(shí)扎實(shí)的情況下開展有效率的初中數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)。

三、結(jié)語

總而言之，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)時(shí)要時(shí)刻以學(xué)生的需求為出發(fā)點(diǎn)，通過充分滿足學(xué)生的需求為基礎(chǔ)，不斷提升自己的教學(xué)方式，最終幫助學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維是一個(gè)統(tǒng)稱，數(shù)學(xué)思維包括許多思維形式，教師需要根據(jù)教材知識(shí)的不同選擇不同的教學(xué)方式，從而提升學(xué)生的不同思維方式，幫助學(xué)生既要學(xué)會(huì)教材中的知識(shí)點(diǎn)，還需要不斷提升自己的數(shù)學(xué)思維，最終讓學(xué)生可以得到綜合發(fā)展，提升自己的核心素養(yǎng)，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。