關(guān)聯(lián)代數(shù)上的(m,n)-Jordan導(dǎo)子和(m,n)導(dǎo)子

周斯名，袁 鶴

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130000)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ:R→R滿足對(duì)任意a,b∈R有φ(ab)=φ(a)b+aφ(b)，則稱(chēng)φ是導(dǎo)子.

定義2[1]設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ:R→R滿足對(duì)任意a,b∈R有φ(ab)=aφ(b)+bφ(a)，則稱(chēng)φ是左導(dǎo)子.

定義3[1]設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ:R→R，滿足對(duì)任意a,b∈R有φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，則稱(chēng)φ是Jordan導(dǎo)子.

定義4[6]設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射且(m+n)(m-n)≠0，φ:R→R滿足對(duì)任意a,b∈R有mφ(ab)+nφ(ba)=mφ(a)b+maφ(b)+nφ(b)a+nbφ(a)，則稱(chēng)φ是(m,n)導(dǎo)子.

定義5[1]設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ:R→R且(m+n)(m-n)≠0，滿足對(duì)任意a∈R有(m+n)φ(a2)=2maφ(a)+2nφ(a)a，則稱(chēng)φ是(m,n)-Jordan導(dǎo)子.

關(guān)聯(lián)代數(shù)的概念最早由Ward[8]引出，之后人們對(duì)關(guān)聯(lián)代數(shù)上的映射進(jìn)行了研究[8-14].

定義6[9]若集合X中的二元關(guān)系≤滿足以下兩個(gè)條件：

(1)?x∈X有x≤x

(2)?x,y,z∈X,若有x≤y和y≤z?x≤z，

則稱(chēng)X是一個(gè)預(yù)序集，記作(X,≤)

定義7[9]取預(yù)序集X中的任意兩個(gè)元素x，z，區(qū)間[x,z]定義為{(y∈X|x≤y≤z}.若預(yù)序集X中的所有區(qū)間都是有限的，則稱(chēng)X是局部有限預(yù)序集.

定義8[9]設(shè)R是含單位元的交換環(huán)(X,≤)是一個(gè)局部有限預(yù)序集，即≤滿足自反性、傳遞性對(duì)任意的x,y∈X，且x≤y,至多存在有限個(gè)元素z∈X滿足x≤z≤y,由此可在R上定義關(guān)于x的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R):={f:X×X→R|f(x,y)}=0,若x≤y不成立}.

代數(shù)運(yùn)算如下

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y),

(rf)(x,y)=rf(x,y),

任意f,g∈I(X,R)，r∈R，x,y,z∈X，其中乘積fg在函數(shù)論中被稱(chēng)為卷積.

引理1[9]若δ滿足δ(x,y)=δxy，x≤y其中δxy∈{0，1}是Kronecker符號(hào)，則δ是關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)中的單位元.

給定一個(gè)f∈I(X,R)，有

若任意的x,y∈X滿足x≤y，則可定義關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的基元exy

對(duì)任意的eij,ekl∈I(X,R),根據(jù)卷積定義我們有eijekl=δjkeil.

2 主要定理及證明

引理2[1]φ為代數(shù)R上的是(m,n)-Jordan導(dǎo)子，對(duì)于任意a,b∈R，則有

(m+n)φ(ab+ba)=2mφ(a)b+2mφ(b)a+2naφ(b)+2nbφ(a).

證明由φ：R→R為代數(shù)R上的是(m,n)-Jordan導(dǎo)子，則滿足(m+n)φ(a2)=2maφ(a)+2nφ(a)a，將x=a+b代入上式則有(m+n)φ((a+b)2)=2m(a+b)φ(a+b)+2nφ(a+b)(a+b)，因此(m+n)φ(a2+ab+ba+b2)=(m+n)(φ(a2)+φ(ab)+φ(ba)+φ(b2)).由(m+n)φ(a2)=2maφ(a)+2nφ(a)a及線性代數(shù)φ，比較兩式則有(m+n)φ(ab+ba)=2mφ(a)b+2mφ(b)a+2naφ(b)+2nbφ(a).

定理1 設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集，R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)，設(shè)φ是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的線性映射φ:I(X,R)→I(X,R).若φ是(m,n)-Jordan導(dǎo)子，則φ恒等于零.

證明首先若φ是(m,n)-Jordan導(dǎo)子，則滿足(m+n)φ(A2)=2mAφ(A)+2nφ(A)A，當(dāng)A=0時(shí)，其中R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán)，有φ(0)=0.

對(duì)于冪等元eii則有

(1)

對(duì)(1)右乘eii則有(m+n)φ(eii)eii=2meiiφ(eii)eii+2nφ(eii)eii，將其化簡(jiǎn)為

mφ(eii)eii=2meiiφ(eii)eii+nφ(eii)eii.

(2)

對(duì)(2)左乘eii有meiiφ(eii)eii=2meiiφ(eii)eii+neiiφ(eii)eii，將其化簡(jiǎn)為

meiiφ(eii)eii+neiiφ(eii)eii=0,

(3)

由m+n≠0且R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán)，則有φ(eii)=0.

對(duì)于eij其中?i，j∈X，i≤j且i≠j有

(m+n)φ(eiieij+eijeii)=2mφ(eii)eij+2mφ(eij)eii+2neiiφ(eij)+2neijφ(eii),

將其化簡(jiǎn)有(m+n)φ(eij)=2mφ(eii)eij+2mφ(eij)eii+2neiiφ(eij)+2neijφ(eii)，其中φ(eii)=0則有

(m+n)φ(eij)=2mφ(eij)eii+2neiiφ(eij).

(4)

對(duì)(4)右乘eii，(m+n)φ(eij)eii=2mφ(eij)eii+2neiiφ(eij)eii，化簡(jiǎn)為

nφ(eij)eii=mφ(eij)eii+2neiiφ(eij)eii.

(5)

對(duì)(5)左乘eii有neiiφ(eij)eii=meiiφ(eij)eii+2neiiφ(eij)eii，化簡(jiǎn)為meiiφ(eij)eii+neiiφ(eij)eii=0，其中m+n≠0，則有eiiφ(eij)eii=0，由(5)有nφ(eij)eii=mφ(eij)eii，其中m-n≠0且R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán).則有φ(eij)eii=0.由(4)有

(m+n)φ(eij)=2neiiφ(eij).

(6)

對(duì)(6)左乘eii有(m+n)eiiφ(eij)=2neiiφ(eij)，化簡(jiǎn)為meiiφ(eij)=neiiφ(eij).其中m-n≠0且R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán)，則有eiiφ(eij)=0.可得φ(eij)=0.

引理3[10]設(shè)D:I(X,R)→I(X,R)是一個(gè)R-線性算子，則D是導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)D滿足

其中系數(shù)eij∈B滿足如下關(guān)系式

定理2 設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集，R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)，設(shè)φ是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的線性映射φ:I(X,R)→I(X,R).若φ是(m,n)導(dǎo)子，則φ是導(dǎo)子.

證明首先若φ是(m,n)導(dǎo)子，則滿足mφ(AB)+nφ(BA)=mφ(A)B+mAφ(B)+nφ(B)A+nBφ(A)，當(dāng)A,B=0時(shí)其中m+n≠0，有φ(0)=0.

對(duì)于冪等元eii,當(dāng)A,B=eii,由φ是(m,n)導(dǎo)子，則有mφ(eiieii)+nφ(eiieii)=mφ(eii)eii+meiiφ(eii)+nφ(eii)eii+neiiφ(eii),將其化簡(jiǎn)為(m+n)φ(eii)=(m+n)φ(eii)eii+(m+n)eiiφ(eii)，其中m+n≠0且R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán)，則有φ(eii)=φ(eii)eii+eiiφ(eii),可得對(duì)于冪等元eii,φ是導(dǎo)子.

對(duì)于eij,當(dāng)A=eii,B=eij,由φ是(m,n)導(dǎo)子，則有mφ(eiieij)+nφ(eijeii)=mφ(eii)eij+meiiφ(eij)+nφ(eij)eii+neijφ(eii)，將其化簡(jiǎn)為

mφ(eij)=mφ(eii)eij+meiiφ(eij)+nφ(eij)eii+neijφ(eii).

(7)

當(dāng)A=eij,B=eii,由φ是(m,n)導(dǎo)子，則有mφ(eijeii)+nφ(eiieij)=mφ(eij)eii+meijφ(eii)+nφ(eii)eij+neiiφ(eij)，將其化簡(jiǎn)為

nφ(eij)=mφ(eij)eii+meijφ(eii)+nφ(eii)eij+neiiφ(eij).

(8)

(7)、(8)相加得(m+n)φ(eij)=(m+n)φ(eii)eij+(m+n)eiiφ(eij)+(m+n)φ(eij)eii+(m+n)eijφ(eii),其中m+n≠0且R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán)，則有

φ(eij)=φ(eii)eij+eiiφ(eij)+φ(eij)eii+eijφ(eii),

(9)

由卷積定義將其化簡(jiǎn)為

(10)

(11)

同樣地，當(dāng)A=eij、B=ejj,由φ是(m,n)導(dǎo)子，則有mφ(eijejj)+nφ(ejjeij)=mφ(eij)ejj+meijφ(ejj)+nφ(ejj)eij+nejjφ(eij)，將其化簡(jiǎn)

mφ(eij)=mφ(eij)ejj+meijφ(ejj)+nφ(ejj)eij+nejjφ(eij).

(12)

當(dāng)A=ejj，B=eij,由φ是(m,n)導(dǎo)子，則有mφ(ejjeij)+nφ(eijejj)=mφ(ejj)eij+mejjφ(eij)+nφ(eij)ejj+neijφ(ejj)，將其化簡(jiǎn)為

nφ(eij)=mφ(ejj)eij+mejjφ(eij)+nφ(eij)ejj+neijφ(ejj).

(13)

(12)和(13)相加得(m+n)φ(eij)=(m+n)φ(eij)ejj+(m+n)eijφ(ejj)+(m+n)φ(ejj)eij+(m+n)ejjφ(eij)，其中m+n≠0且R是具有單位元的|(m+n)(m-n)|-扭自由的交換環(huán)，則有

φ(eij)=φ(eij)ejj+eijφ(ejj)+φ(ejj)eij+ejjφ(eij).

(14)

由卷積定義將其化簡(jiǎn)為

(15)

3 結(jié)論

本文主要研究了關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的(m,n)-Jordan導(dǎo)子和(m,n)導(dǎo)子.本文利用組合方法研究算子代數(shù)，為后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的研究提供新的方法.