具有部分缺失數(shù)據(jù)混合幾何分布總體的參數(shù)估計(jì)

王敏會(huì)

(青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266109)

0 引 言

幾何分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種重要的離散型概率分布，在生產(chǎn)實(shí)踐中有著較為廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[1-3]對(duì)幾何分布的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了研究.在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到缺失數(shù)據(jù)的情形，對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷是一個(gè)重要的問題，文獻(xiàn)[4-6]討論了在缺失數(shù)據(jù)情況下多種常見分布的參數(shù)估計(jì)問題.混合分布用于描述不同分布按照一定的比例混合所構(gòu)成的總體，混合分布模型在臨床試驗(yàn)、可靠性分析等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，對(duì)混合分布總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)是很有意義的.文獻(xiàn)[7-9]對(duì)混合指數(shù)分布、混合泊松分布、混合瑞利分布的總體參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，李建麗等在文獻(xiàn)[10]中運(yùn)用EM算法對(duì)混合幾何分布的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì).對(duì)缺失數(shù)據(jù)的混合幾何分布總體的參數(shù)估計(jì)目前還沒有研究結(jié)果，本文運(yùn)用矩估計(jì)法給出其滿足強(qiáng)相合性及漸近正態(tài)性的估計(jì)量，并利用隨機(jī)模擬說明此估計(jì)的可行性.

1 矩法估計(jì)及其漸近性質(zhì)

假設(shè)存在一個(gè)混合幾何分布總體，其概率函數(shù)為

其中：θ1、θ2為未知參數(shù)；q(0

首先考慮混合幾何總體參數(shù)θ1、θ2的矩估計(jì).對(duì)于觀測(cè)(Xi，δi)，i=1，2，…，n，建立矩估計(jì)方程：

其中

解方程組并整理，得

證明：因{δi，1≤i≤n}與{δiXi，1≤i≤n}均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，由強(qiáng)大數(shù)定律知

因此

令Σ=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，則由多元中心極限定理可知

記

其中

a11=p(1-p) ，

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

令

進(jìn)而可知

(7)

(8)

(9)

證明：令

進(jìn)而可知

(10)

(11)

(12)

2 隨機(jī)模擬

下面通過隨機(jī)模擬說明本文所給出的估計(jì)方法具有較好的估計(jì)效果.

我們對(duì)缺失概率p=0.05和p=0.1兩種情形進(jìn)行模擬.樣本量n分別取為100、300和500，混合概率q分別取為0.2和0.4，變化參數(shù)θ1和θ2計(jì)算1 000次估計(jì)的均方誤差.表1給出了混合概率q為0.2時(shí)的模擬結(jié)果，表2給出了混合概率q為0.4時(shí)的模擬結(jié)果.

表1 q=0.2時(shí)參數(shù)估計(jì)的均方誤差

表2 q=0.4時(shí)參數(shù)估計(jì)的均方誤差

從表1和表2中的模擬結(jié)果可以看出，對(duì)于不同的參數(shù)、不同的樣本量、缺失概率以及混合概率，本文所給出的估計(jì)具有較小的均方誤差，并且隨著樣本量的增加，估計(jì)的均方誤差有減小的趨勢(shì).說明此估計(jì)方法具有可行性，且估計(jì)方法較穩(wěn)健.

3 結(jié) 論

本文研究了在數(shù)據(jù)具有部分缺失情形下的混合幾何分布總體參數(shù)的估計(jì)問題，證明了此估計(jì)量的完全相合性與漸近正態(tài)性.隨機(jī)模擬結(jié)果能夠說明此估計(jì)方法是可行的，因此具有一定的應(yīng)用價(jià)值.