含負(fù)泊松比超材料肋板的雙層板聲振特性分析

張兆龍， 朱 翔,2,3， 李天勻,2,3， 付俊勇

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074; 2.船舶與海洋水動力湖北省重點(diǎn)實驗室，武漢 430074;3.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

負(fù)泊松比超材料具有特殊的“拉脹”[1]效應(yīng)，在受拉時能夠在多個方向同時伸展，宏觀上體現(xiàn)為負(fù)的泊松比值。在航空航天、船舶工業(yè)、汽車制造等領(lǐng)域，負(fù)泊松比超材料因為力學(xué)性能優(yōu)異而極具研究和應(yīng)用價值。

目前大多有關(guān)負(fù)泊松比超材料的研究工作集中于其靜態(tài)力學(xué)性能[2]、沖擊力學(xué)性能[3]、面內(nèi)壓縮性能[4]等的分析，在單胞設(shè)計[5]、制備工藝[6-7]、工程應(yīng)用[8-9]等方面取得諸多成果。在力學(xué)性能方面，Lu等[10]發(fā)現(xiàn)在內(nèi)六角蜂窩構(gòu)型晶胞中添加肋條會顯著提升楊氏模量，結(jié)構(gòu)整體的機(jī)械性能得到明顯改善。Chen等[11]提出了3種新型負(fù)泊松比單胞，該類單胞能夠同時具有較好的承載能力和吸能特性。在胞元設(shè)計方面，Qin等[12]將拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)應(yīng)用于負(fù)泊松比單胞的設(shè)計，將評價點(diǎn)的位移比近似為等效負(fù)泊松比，提出了一種設(shè)計任意負(fù)泊松比單胞的通用方法。在聲振研究方面，Ruzzene等[13]研究了六邊形胞元夾層梁的振動和聲輻射特性，對比分析了不同夾層型式梁的結(jié)構(gòu)響應(yīng)差異和聲壓分布。Idczak等[14]分析了拉脹材料晶格結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，研究了該類材料的頻響特性?？傮w而言，已有的負(fù)泊松比超材料研究中，關(guān)注其振動聲學(xué)特性并將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)減振設(shè)計的工作還相對欠缺。

雙層板結(jié)構(gòu)是工程中廣泛使用的結(jié)構(gòu)類型，對其開展振動噪聲控制研究具有重要意義。本文將含內(nèi)六角負(fù)泊松比胞元的結(jié)構(gòu)用于雙層板的連接肋板中，分析其振動特性，并與常規(guī)平板連接的雙層板結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比，討論負(fù)泊松比層間結(jié)構(gòu)的參數(shù)對聲振特性的影響，這對于將負(fù)泊松比超材料應(yīng)用于工程中聲振控制具有參考意義。

1 內(nèi)六角蜂窩胞元幾何特征與力學(xué)性能

本文分析的內(nèi)六角蜂窩單胞的幾何構(gòu)型，如圖1所示。由參數(shù)底邊長度h、斜腰長度l、特征凹角θ、胞元厚度t確定。單胞的泊松比特性與特征凹角θ有關(guān)，以圖示為例，定義沿豎直線逆時針方向角度為正，則當(dāng)θ<0°時，胞元才具備負(fù)泊松比特性，當(dāng)θ>0°時，胞元變?yōu)橥沽呅?，泊松比恢?fù)為正值。

圖1 內(nèi)六角蜂窩單胞幾何參數(shù)

Gibson等依據(jù)線彈性理論，推導(dǎo)了內(nèi)六角蜂窩單胞的等效泊松比解析式如式(1)，該理論忽略了t/l這一小量，且不考慮軸向變形和剪切變形，僅關(guān)注起主要作用的彎曲變形。

(1)

等效楊氏模量、等效剪切模量、相對密度的計算式分別為

(2)

(3)

(4)

式中：Es為胞元本體構(gòu)造材料的楊氏模量；ρ*為不考慮孔隙的材料真實密度；ρs為單胞圍壁面密度。

2 含負(fù)泊松比超材料肋板的雙層板聲振特性

2.1 含負(fù)泊松比超材料肋板的雙層板模型

本文設(shè)計的雙層板尺寸為長1 500 mm、寬1 030 mm、上、下面板的間距150 mm。連接上、下面板間的肋板間距為500 mm，肋板寬度為20 mm，負(fù)泊松比胞元層數(shù)為5層。負(fù)泊松比肋板示意圖、內(nèi)六角單胞尺寸和肋板分布示意圖如圖2所示。

(a) 負(fù)泊松比肋板示意圖

(b) 單胞尺度

采用2D殼單元建立的雙層板有限元模型，如圖3所示。上、下面板的厚度設(shè)置為6 mm，肋板的胞元板厚設(shè)置為3 mm。材料參數(shù)包括：楊氏模量E=210 GPa、泊松比μ=0.3、密度ρ=7 850 kg/m3。邊界條件設(shè)定為約束上、下面板四邊節(jié)點(diǎn)三向位移。

圖3 雙層板有限元模型

由式(1)～式(4)，可得單胞的等效力學(xué)性能參數(shù)，如表1所示。

2.2 模態(tài)分析

對有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，可得雙層板前5階固有頻率如表2所示，部分振型云圖如圖4所示。

表1 內(nèi)六角蜂窩單胞的力學(xué)性能參數(shù)

表2 雙層板前5階固有頻率

(a) 第1階云圖(48.56 Hz)

(c) 第60階云圖(526.97 Hz)

從結(jié)構(gòu)固有頻率與振型云圖分布規(guī)律來看，由于負(fù)泊松比肋板的剛度值較低，與肋板連接的面板局部區(qū)域剛度的增強(qiáng)并不顯著，所以在低頻范圍內(nèi)，雙層板以整體的垂向彎曲模態(tài)為主，上、下面板的振型與單層板結(jié)構(gòu)的振型基本一致，且上、下面板之間的振動差異性也并不顯著，表明負(fù)泊松比肋板在低頻時具有較好的振動傳遞特性。

隨著頻率的提升，負(fù)泊松比肋板的局部模態(tài)特征會逐漸凸顯，除了垂向彎曲振動，負(fù)泊松比肋板在中高頻段還出現(xiàn)了明顯的橫向和縱向上的耦合振動模態(tài)。該現(xiàn)象表明在中高頻范圍內(nèi)負(fù)泊松比肋板局部模態(tài)特征更容易被激發(fā)，局部變形會更加顯著，能夠更好地發(fā)揮多孔結(jié)構(gòu)易于轉(zhuǎn)化和衰減振動能量的性能優(yōu)勢。

2.3 雙層板面板振動響應(yīng)特性

對上面板施加100 Pa的均布動壓載荷，選用模態(tài)疊加法進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，計算頻段為1～2 000 Hz，步長為2 Hz?？紤]到結(jié)構(gòu)的對稱性，在上、下面板平面內(nèi)選取的評價點(diǎn)位置分布如圖5所示。

提取各組評價點(diǎn)加速度，按式(5)和式(6)分別計算上、下面板評價點(diǎn)的加速度級及平均振級。

(5)

(6)

圖5 評價點(diǎn)位置分布

定義上、下面板間的平均加速度級之差為上、下面板的振級落差。得到上、下面板的平均加速度級曲線和振級落差曲線分別如圖6和圖7所示。

圖6 上、下面板平均加速度級曲線

圖7 上、下面板振級落差曲線

從圖6可見，上、下面板的加速度級差異與結(jié)構(gòu)的諧振頻率關(guān)系密切。在1～2 000 Hz內(nèi)，上、下面板的平均加速度級曲線存在多個響應(yīng)峰值，在諧振頻率處，上、下面板的平均加速度級差異較小。在相鄰諧振頻率之間，上、下面板響應(yīng)加速度級的差異明顯，大部分下面板響應(yīng)值均低于對應(yīng)頻率的上面板響應(yīng)值，體現(xiàn)出較為理想的減振效果。

從圖7可見，在大多數(shù)頻段內(nèi)，上、下面板之間的振動響應(yīng)存在比較明顯的傳遞衰減，下面板的振動響應(yīng)得到了有效控制。

2.4 肋板阻尼對振動特性的影響

提升結(jié)構(gòu)阻尼是工程中減振降噪的常用方法之一，多孔結(jié)構(gòu)因為存在更多可利用的孔隙空間，為實施阻尼措施提供更多便利。通過在胞元孔隙間填充輕質(zhì)橡膠或PUR泡沫[15]、在胞元壁面貼附粘彈性阻尼材料等方法可以有效提升負(fù)泊松比肋板的結(jié)構(gòu)阻尼。

本研究中將負(fù)泊松比肋板的材料阻尼系數(shù)設(shè)置為0.5，用于模擬阻尼材料對負(fù)泊松比肋板結(jié)構(gòu)阻尼的提升。對比得到肋板有、無阻尼時的上面板平均加速度級、下面板平均加速度級、振級落差曲線分別如圖8～圖10所示。

圖8 上面板平均加速度級對比曲線

圖9 下面板平均加速度級對比曲線

圖10 振級落差對比曲線

從圖8和圖9可見，結(jié)構(gòu)阻尼對振動響應(yīng)的主要作用體現(xiàn)在大幅削減響應(yīng)峰值，該“削峰”作用的效果與頻率有一定關(guān)聯(lián)，500～2 000 Hz的中高頻段“削峰”效果相比500 Hz之前的低頻段會更加突出，低頻段多以降低響應(yīng)峰值為主，而中高頻段則能夠大幅削弱絕大多數(shù)的響應(yīng)峰。在整個計算頻段內(nèi)，在阻尼的“削峰”作用下，整個加速度級響應(yīng)曲線變得平穩(wěn)，有效提升了振動控制效果。

從圖10可見，阻尼對提升上、下面板間振級落差具有積極作用，且隨著頻率值的提升，振級落差提升效果更明顯。在500 Hz之后的中高頻段內(nèi)，振級落差曲線的大幅振蕩現(xiàn)象得到了很有效的控制，在900～1 300 Hz內(nèi)，有阻尼振級落差值相比無阻尼情形得到了更加明顯的提升。

對上、下面板的測點(diǎn)平均加速度在計算頻段內(nèi)計算加速度總級，得到在肋板有、無阻尼兩種情形下，上、下面板評價點(diǎn)的加速度總級，如表3所示。由表3可見，增大負(fù)泊松比肋板的結(jié)構(gòu)阻尼能夠有效控制上、下面板的響應(yīng)加速度總級，有助于增強(qiáng)負(fù)泊松比肋板對振動的損耗衰減能力。

表3 肋板有、無阻尼情形下上、下面板加速度總級

3 肋板剛度對聲振特性的影響

本章主要分析負(fù)泊松比肋板胞元的厚度與寬度變化對雙層板的聲振特性的影響。

3.1 對比算例結(jié)構(gòu)參數(shù)

保持肋板結(jié)構(gòu)總質(zhì)量不變，以肋板中心線為基準(zhǔn)，調(diào)整負(fù)泊松比肋板寬度與胞元壁厚，并與等質(zhì)量的平板構(gòu)成的實肋板模型對比，設(shè)計了4個對比模型，其各自肋板參數(shù)如下：① 對比模型1，肋板寬度20 mm、胞元壁厚3 mm；② 對比模型2，肋板寬度40 mm、胞元壁厚1.5 mm；③ 對比模型3，肋板寬度60 mm、胞元壁厚1 mm；④ 對比模型4，6.31 mm厚的等質(zhì)量平板肋板。

對比模型中負(fù)泊松比肋板的胞元層數(shù)均為5層，單胞的結(jié)構(gòu)尺寸為底邊寬度30 mm、高度30 mm、特征角-34°。

按照式(1)～式(4)計算得到的不同模型內(nèi)六角蜂窩胞元的力學(xué)參數(shù)如表4所示。

表4 內(nèi)六角蜂窩單胞的力學(xué)性能參數(shù)

3.2 肋板結(jié)構(gòu)參數(shù)對靜力學(xué)性能的影響

考慮使用負(fù)泊松比超材料肋板后雙層板的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度問題，在上面板施加大小為100 Pa的均布壓力載荷，肋板參數(shù)改變時靜力學(xué)分析結(jié)果，如表5所示。

從表5可見，超材料肋板雙層板結(jié)構(gòu)剛度相比于實肋板雙層板結(jié)構(gòu)有一定削弱，在靜壓力作用下，其最大位移與最大應(yīng)力均大于常規(guī)實肋板雙層板結(jié)構(gòu)。隨著肋板寬度的增大，超材料肋板的剛度因板厚減小而受到相應(yīng)削減，最大靜位移逐步提升。對于超材料肋板雙層板而言，肋板寬度變小時，在肋板與面板連接區(qū)域、面板約束邊界附近更容易產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，因此其最大應(yīng)力值會偏大。

表5 不同肋板形式雙層板結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析結(jié)果

3.3 肋板剛度對面板振動特性的影響

使用模態(tài)疊加法進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，計算頻段為1～3 500 Hz，步長為2 Hz，計算得到各對比模型的上面板加速度級、下面板加速度級、振級落差曲線分別如圖11～圖13所示。

圖11 上面板評價點(diǎn)平均加速度級曲線

圖12 下面板評價點(diǎn)平均加速度級曲線

從圖11和圖12可見，負(fù)泊松比肋板與實肋板雙層板之間的振動響應(yīng)差異與頻率有關(guān)。由于實肋板剛度較大，其第一階響應(yīng)峰頻率相比負(fù)泊松比肋板的雙層板要高。在110 Hz以下的低頻區(qū)間內(nèi)，提升肋板剛度可以有效減小振動響應(yīng)，但對比響應(yīng)峰值，高剛度的實肋板沒有體現(xiàn)出類似優(yōu)勢。隨著頻率增大，負(fù)泊松比肋板的作用會逐漸凸顯。在110～500 Hz間，負(fù)泊松比肋板與實肋板模型的上面板響應(yīng)曲線基本類似，但是下面板響應(yīng)差異較大，含負(fù)泊松比肋板的雙層板上、下面板響應(yīng)峰值均比實肋板雙層板響應(yīng)小。在500 Hz以上的頻率區(qū)間，負(fù)泊松比肋板模型的響應(yīng)峰值相比于實肋板模型明顯減小，平均加速度級曲線更加平穩(wěn)。這說明負(fù)泊松比肋板在這些頻段對振動能量有良好的吸收和衰減功能，能更好地控制面板的振動響應(yīng)。

圖13 上、下面板振級落差曲線

對比不同厚度的含負(fù)泊松比肋板的雙層板的振動響應(yīng)，可見負(fù)泊松比肋板的胞元厚度越小，面板的響應(yīng)峰值也越小。從表4可見，厚度越小的負(fù)泊松比肋板，其等效彈性模量和剪切模量越低，因此剛度越低，可以更好地發(fā)揮低剛度多孔肋板的減振性能。

從圖13可見，在1 500 Hz之前的頻段范圍內(nèi)，實肋板的振級落差在多數(shù)情況下會更大，尤其是在面板響應(yīng)谷值附近的頻段，實肋板算例的上、下面板間加速度響應(yīng)差異會更顯著。由于實肋板剛度大，上面板上有、無肋板支撐的兩類區(qū)域剛度差異明顯，上面板無肋骨支撐區(qū)域振動能量在總能量占比較高，通過實肋板傳遞至下面板的振動能量較少，導(dǎo)致振動能量在上、下面板間的分配不均衡。相比之下，負(fù)泊松比肋板剛度較小，上面板有、無肋骨支撐區(qū)域剛度差異沒有實肋板顯著，振動能量經(jīng)由負(fù)泊松比肋板傳遞后，上、下面板的振動能量分配的更均衡。在1 500 Hz以后的頻段范圍內(nèi)，實肋板在振級落差上已經(jīng)沒有明顯優(yōu)勢，負(fù)泊松比肋板因為能夠更好地分擔(dān)與吸收振動能量，從而表現(xiàn)出更穩(wěn)定的減振效果，振級落差曲線的波動相比實肋板更加平緩。

依據(jù)式(7)計算4個對比模型上、下面板評價點(diǎn)在1～3 500 Hz內(nèi)的加速度總級，具體結(jié)果如表6所示。

分析表6中數(shù)據(jù)，在控制質(zhì)量和激勵不變時，負(fù)泊松比肋板模型的上、下面板的加速度總級均顯著低于實肋板模型，實肋板不能夠像多孔的負(fù)泊松比肋板一樣易于產(chǎn)生形變，導(dǎo)致振動能量主要集中在兩個面板上，同時實肋板算例的上面板振動要比下面板振動劇烈更多，加速度總級在計算頻段內(nèi)差異更明顯。

表6 對比模型上、下面板加速度總級表

對比不同參數(shù)的負(fù)泊松比肋板算例，在總質(zhì)量不變的條件下，當(dāng)負(fù)泊松比肋板的剛度減小時，上、下面板的加速度總級隨之同時減小，負(fù)泊松比肋板以應(yīng)變能的形式吸收轉(zhuǎn)化的振動能量會更多。同時低剛度有利于增大上、下面板加速度總級的差值，提升減振性能表現(xiàn)，更好地達(dá)到減振的設(shè)計目的。

3.4 肋板剛度對面板聲學(xué)特性的影響

使用直接邊界元法計算3.1節(jié)各對比算例面板聲輻射，將Patran中面板所有節(jié)點(diǎn)的速度響應(yīng)以op2文件格式導(dǎo)出至LMS Virtual.Lab中作為聲學(xué)邊界條件，計算所得的4個對比算例在1～3 500 Hz內(nèi)的輻射聲功率曲線如圖14所示。

圖14 雙層板輻射聲功率對比曲線

從圖14可見，與面板振動響應(yīng)曲線類似，實肋板與負(fù)泊松比肋板對比算例的輻射聲功率曲線差異主要體現(xiàn)在峰值位置附近，且隨著頻率值的提升，這種差異性表現(xiàn)得更加明顯。在1～200 Hz內(nèi)，由于負(fù)泊松比肋板剛度小，各階固有頻率整體偏低，輻射聲功率曲線先出現(xiàn)峰值。在200～1 500 Hz內(nèi)，實肋板算例的輻射聲功率曲線具有更多的峰值，而負(fù)泊松比肋板算例的曲線則相對平緩，且肋板剛度越小，輻射聲功率曲線峰值越小。在1 500～3 500 Hz頻段的大部分頻點(diǎn)上，實肋板算例的輻射聲功率明顯高于負(fù)泊松比肋板算例。該頻段內(nèi)負(fù)泊松比肋板算例的輻射聲功率維持在80 dB附近，肋板剛度削弱時，曲線更平穩(wěn)。整體上負(fù)泊松比肋板構(gòu)成的雙層板輻射聲功率比實肋板結(jié)構(gòu)要低，且負(fù)泊松比肋板的板厚越小，層間結(jié)構(gòu)的等效模量越低，輻射聲功率也越低。

4 結(jié) 論

本文主要研究了含內(nèi)六角形負(fù)泊松比超材料肋板的雙層板振動與聲輻射特性，探討了結(jié)構(gòu)阻尼、肋板剛度等參數(shù)對聲振特性的影響，主要結(jié)論包括：

(1) 雙層板上、下面板間采用負(fù)泊松比肋板連接后，下面板響應(yīng)相比上面板有一定的衰減。在負(fù)泊松比肋板中增加阻尼后能起到較好削弱面板響應(yīng)峰的效果，且在高頻范圍內(nèi)更加明顯，同時上、下面板之間的振級落差也有一定的增大。

(2) 控制肋板總質(zhì)量不變時，負(fù)泊松比肋板構(gòu)成的雙層板結(jié)構(gòu)上、下面板加速度均顯著低于傳統(tǒng)實肋板結(jié)構(gòu)，實肋板不能像多孔的負(fù)泊松比肋板一樣易于吸收轉(zhuǎn)化振動能量。對于負(fù)泊松比肋板構(gòu)成的雙層板而言，增大肋板寬度、減小肋板厚度可以降低等效模量，更好地削減雙層板面板的振動響應(yīng)峰值，有助于提升雙層板減振效果。

(3) 不同肋板參數(shù)的輻射聲功率曲線與振動響應(yīng)曲線有類似規(guī)律特征，負(fù)泊松比肋板構(gòu)成的雙層板輻射聲功率比實肋板結(jié)構(gòu)要低，且負(fù)泊松比肋板的板厚越小，層間結(jié)構(gòu)的等效模量越小，輻射聲功率也越低。