跑步荷載模型試驗(yàn)建模與實(shí)測(cè)對(duì)比

陳 雋， 周戈杰， 王鵬程

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

單人、人群完成步行、跳躍、跑步、踏步、原地屈伸、跳舞、瞬時(shí)起立或坐下等動(dòng)作時(shí)通過雙足對(duì)支撐結(jié)構(gòu)施加的動(dòng)力作用稱為人致荷載，由此導(dǎo)致的工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)稱為人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)。振動(dòng)幅度過大時(shí)會(huì)造成結(jié)構(gòu)上的使用者對(duì)振動(dòng)有感、頭暈、心慌等振動(dòng)舒適度問題，或者影響對(duì)振動(dòng)敏感的高精密設(shè)備的正常使用，嚴(yán)重時(shí)則可能造成結(jié)構(gòu)局部構(gòu)件破壞甚至整體破壞、人員傷亡等安全問題[1-6]。

跑步運(yùn)動(dòng)是極為常見的一種運(yùn)動(dòng)形式，尤其隨著近年來的全民健身熱，參加5 km、馬拉松之類的體育活動(dòng)的人數(shù)迅速增加。據(jù)報(bào)道，2014年我國(guó)馬拉松賽事運(yùn)營(yíng)的收入就達(dá)到20億元，市場(chǎng)規(guī)模超百億元，2015年又增了近50%，2019年更是達(dá)到了1 828場(chǎng)次，如表1所示。此外，一些多層體育場(chǎng)館室內(nèi)、高層建筑的內(nèi)部以及建筑屋頂?shù)纫查_始設(shè)計(jì)有跑道，方便建筑使用者就近開展跑步活動(dòng)，如圖1所示。

在跑步運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)人的跑步頻率與支撐結(jié)構(gòu)的自振頻率接近時(shí)，支撐結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)，可能造成振動(dòng)舒適度問題，嚴(yán)重時(shí)甚至可能誘發(fā)公共安全事件。尤其伴隨著建筑材料輕質(zhì)化、建筑功能多樣化的需求，以及開敞、輕盈建筑美學(xué)的普及，建筑樓蓋、人行橋等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)向著大跨度、輕柔方向發(fā)展。此類結(jié)構(gòu)自振頻率與人的跑步頻率范圍重合，容易出現(xiàn)人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題。例如：美國(guó)舊金山金門大橋曾由于大量人群跑步過橋造成大幅振動(dòng)，引起橋上行人的不適；成都某理工大學(xué)校園內(nèi)一跨度不大的混凝土人行橋，在學(xué)生早操跑步通過時(shí)劇烈振動(dòng)，造成了人群的恐慌[7]。上述例子表明，在大跨度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中有必要進(jìn)行人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。

表1 近年來我國(guó)馬拉松賽事舉辦場(chǎng)次與參賽人次

(a)(b)

正確的荷載取值是分析跑步荷載所引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)的基本前提，然而，我國(guó)目前關(guān)于跑步荷載模型的研究工作甚少，沒有可用的跑步荷載模型，相關(guān)的基礎(chǔ)性試驗(yàn)研究工作也非常缺乏。國(guó)外有學(xué)者采用類似跳躍荷載的“半正弦波”模型建立了跑步荷載模型[8]，但跑步荷載在頻率、幅值、空間移動(dòng)特性上與跳躍荷載有明顯的區(qū)別，不宜直接使用。工程設(shè)計(jì)中常常用“有節(jié)奏荷載”的模型代表跑步荷載，然而“有節(jié)奏運(yùn)動(dòng)荷載”一般指健美操、舞蹈、節(jié)奏性跳躍或Bounce等，其對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)也與跑步荷載不同。

因此，本文通過試驗(yàn)收集了一批單人跑步荷載時(shí)程，建立了跑步荷載的傅里葉級(jí)數(shù)模型，給出了模型參數(shù)取值方法。進(jìn)而開展了實(shí)際連廊結(jié)構(gòu)跑步作用下的振動(dòng)實(shí)測(cè)，對(duì)荷載模型的應(yīng)用效果進(jìn)行了檢驗(yàn)。

1 跑步荷載試驗(yàn)

大量跑步荷載實(shí)測(cè)時(shí)程是建立荷載模型的前提。本研究采用Novel公司的Pedar高精度無線測(cè)力鞋墊技術(shù)開展了跑步荷載試驗(yàn),如圖2所示。測(cè)力鞋墊用于測(cè)量人在跑步時(shí)的足底壓力，通過鞋墊內(nèi)的分布式壓力傳感器實(shí)現(xiàn)，可以連續(xù)實(shí)時(shí)記錄所受壓力，并通過積分獲得整體壓力。測(cè)力鞋墊技術(shù)是一種新型試驗(yàn)手段，解決了傳統(tǒng)固定測(cè)力板方式無法獲得連續(xù)跑步荷載、也無法實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離測(cè)試的問題。

試驗(yàn)共有25名健康成年測(cè)試者參與，均為同濟(jì)大學(xué)學(xué)生。試驗(yàn)前所有測(cè)試者均按照試驗(yàn)倫理要求簽署了知情同意書。每位測(cè)試者共完成7組跑步工況的試驗(yàn)，跑步頻率范圍為2.4～3.6 Hz，間隔為0.2 Hz，對(duì)應(yīng)的跑步速度為2.8～6.6 m/s。測(cè)力鞋墊的采樣頻率為100 Hz，每個(gè)工況重復(fù)兩次。對(duì)于每個(gè)工況，試驗(yàn)志愿者都需在節(jié)拍器的引導(dǎo)下勻速連續(xù)跑步20 s以上，結(jié)束后需休息充分至無疲憊感才可進(jìn)行下一工況的試驗(yàn)。

試驗(yàn)總共收集了345條有效連續(xù)跑步荷載時(shí)程，各工況有效荷載數(shù)據(jù)數(shù)量的統(tǒng)計(jì)信息如表2所示，各個(gè)工況數(shù)據(jù)量的均衡為荷載模型的準(zhǔn)確性提供了保障。

(a) 現(xiàn)場(chǎng)情況

表2 各工況有效荷載數(shù)據(jù)數(shù)量統(tǒng)計(jì)

圖3為某測(cè)試者在低頻(2.4 Hz)、中頻(3.0 Hz)、高頻(3.6 Hz)工況時(shí)的跑步荷載名義力(豎向雙足合力/體重)時(shí)程以及對(duì)應(yīng)的傅里葉幅值譜。由圖3可見，跑步荷載時(shí)程具有顯著的周期性，中頻率時(shí)頻譜上前4～5階峰值明顯，分別對(duì)應(yīng)于設(shè)定的跑步頻率及其倍頻。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，在低頻和高頻工況，荷載的頻譜有一定的“雜化”現(xiàn)象，各階波峰呈現(xiàn)一定的寬度和“毛刺”，其對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)現(xiàn)象和背景是：受人體生理機(jī)能的限制，較低或較高頻率，跑步者很難長(zhǎng)時(shí)間準(zhǔn)確按照節(jié)拍器的節(jié)奏跑動(dòng)。

2 跑步荷載模型

2.1 傅里葉級(jí)數(shù)模型

基于第1章的觀察，可將人的連續(xù)跑步過程視作為周期性過程，并采用傅里葉級(jí)數(shù)模型，即

(1)

式中：F(t)為豎向跑步荷載時(shí)程；G為人的靜止重力；N為模型截?cái)嚯A數(shù)；t為時(shí)間；rn為第n階傅里葉系數(shù)，也稱為動(dòng)載因子(dynamic loading factor，DLF)；fp為跑步頻率；φn為第n階相位角。

可見，跑步荷載傅里葉級(jí)數(shù)模型是正弦函數(shù)的疊加，其用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析是十分方便的。此外，現(xiàn)有很多設(shè)計(jì)規(guī)范中所推薦的人致荷載模型均為傅里葉級(jí)數(shù)模型。綜上，本文采用傅里葉級(jí)數(shù)建立跑步荷載的模型。

2.2 模型階數(shù)

合理的模型截?cái)嚯A數(shù)N，即需要保證包含荷載的絕大部分能量，也應(yīng)避免因階數(shù)過高造成的模型參數(shù)取值困難和使用不便?；谏鲜鲈瓌t，經(jīng)綜合分析全部的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，建議取N=5，即考慮荷載的前5階的貢獻(xiàn)。這一取值與已有跳躍荷載(N=3)[9]和步行荷載(N=5)[10]，具有可比性。

(a) 跑步頻率2.4 Hz

2.3 動(dòng)載因子計(jì)算原則

建立荷載模型的關(guān)鍵在于動(dòng)載因子的取值，計(jì)算動(dòng)載因子最常用的方法是峰值法和等效能量法(簡(jiǎn)稱能量法)。峰值法是取跑步荷載傅里葉幅值譜上各階諧波峰值處的幅值作為該階動(dòng)載因子FDL,n。由于測(cè)試者的連續(xù)跑步過程并非嚴(yán)格意義上的周期性過程，其傅里葉幅值譜上峰值附近范圍內(nèi)存在能量泄漏現(xiàn)象。峰值法忽略了泄漏的能量，僅僅考慮各階諧波處的最大峰值，低估了跑步荷載值；而能量法將各階諧波峰值附近所有能量集中在諧波頻率作為動(dòng)載因子，又高估計(jì)跑步荷載。因此，有學(xué)者[11]提出介于這兩種方法之間的窄帶分析方法，即將各階諧波附近能量限制在一定帶寬范圍內(nèi)計(jì)入模型計(jì)算，不考慮距離較遠(yuǎn)的能量，相對(duì)合理。因此，本文采用限定帶寬的分析方法，并將各階諧波附近能量擴(kuò)散的范圍取為(1.00±0.05)fp[12]。則第n階主頻附近計(jì)算范圍內(nèi)的能量為

(2)

式中：En為跑步荷載幅值譜的第n階諧波附近計(jì)算帶寬內(nèi)的能量；fp為跑步荷載的頻率；An(f)為跑步荷載傅里葉幅值譜的第n階諧波附近計(jì)算帶寬內(nèi)的傅里葉幅值。則第n階FDL為

(3)

2.4 動(dòng)載因子計(jì)算結(jié)果

依據(jù)2.3節(jié)原則，首先將跑步荷載時(shí)程的長(zhǎng)度截取為跑步周期的整數(shù)倍再求其傅里葉幅值譜，利用上述限制帶寬法計(jì)算所有實(shí)測(cè)跑步荷載時(shí)程的前5階動(dòng)載因子如圖4所示。

圖4顯示DLF隨頻率的變化比較離散。從與步行、跳躍等現(xiàn)有荷載模型一致的角度，計(jì)算7個(gè)頻率工況下DLF的均值，并對(duì)其隨頻率的變化進(jìn)行線性擬合，結(jié)果見圖4。表3為前5階動(dòng)載因子在各個(gè)頻率下的變化范圍(括號(hào)內(nèi)為均值標(biāo)準(zhǔn)差)，所得線性回歸方程如表4所示。結(jié)果顯示第1、第4階DLF隨頻率增加而增加，第2、第3、第5階DLF隨頻率增加而減小，與陳雋等研究中跳躍荷載DLF的變化趨勢(shì)類似。

由于DLF的離散性較大，設(shè)計(jì)時(shí)可選用表4中的DLF均值回歸方程進(jìn)行初步分析，或表3中的DLF變化范圍、均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行精細(xì)化分析。

2.5 相位角取值

同樣的，可采用2.4節(jié)研究各階相位角隨跑步頻率的變化規(guī)律，圖5所示為前5階相位角隨跑步頻率的變化趨勢(shì)。數(shù)據(jù)顯示，各階相位角的試驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)離散。由于人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)通常是單模態(tài)主導(dǎo)，DLF值對(duì)響應(yīng)最大值起決定性作用，相位角只影響最大值出現(xiàn)(或相對(duì)于外激勵(lì)滯后)的時(shí)間。因此，本文采用目前常用的直接對(duì)各階相位角取均值的方式，得第1、第3、第5階相位角取π/12，第2、第4階相位角取0°。

3 結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)對(duì)比

3.1 連廊結(jié)構(gòu)

某連廊結(jié)構(gòu)如圖6(a)所示，在該結(jié)構(gòu)上進(jìn)行單人跑步試驗(yàn)，將實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)與采用第2章跑步荷載模型的計(jì)算響應(yīng)進(jìn)行比較，來檢驗(yàn)荷載模型用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可行性。該連廊為鋼結(jié)構(gòu)，材料強(qiáng)度等級(jí)為Q345，彈性模量Es=2.06×105N/mm2，平面尺寸為24.0 m×4.5 m，高度300 mm，連廊兩端簡(jiǎn)支。經(jīng)測(cè)試，結(jié)構(gòu)自振頻率為6.6 Hz，阻尼比為0.025。

(c)

(e)

表3 前5階動(dòng)載因子在各個(gè)頻率下的變化范圍和均值、標(biāo)準(zhǔn)差

3.2 試驗(yàn)過程

測(cè)試者穿戴好測(cè)力鞋墊后，按照節(jié)拍器引導(dǎo)頻率(如2 Hz，則為120 beat/min)在連廊上沿環(huán)形連續(xù)跑步30 s以上，以激發(fā)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。同時(shí)，采用5個(gè)高靈敏度加速度傳感器(LC0132T)記錄連廊跨中等位置處的響應(yīng)。測(cè)力鞋墊采樣頻率為100 Hz，加速度傳感器采樣頻率為200 Hz[13-14]。試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)和跑步路徑見圖6。

(a) 1階相位角

(d) 4階相位角

表4 各階動(dòng)載因子回歸方程

(a) 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

(b) 跑步路徑及檢驗(yàn)點(diǎn)

某測(cè)試者的體重為50 kg。按上述試驗(yàn)要求完成了5種跑步頻率共12組的試驗(yàn)。圖7為兩次跑步頻率為3.3 Hz時(shí)的跨中加速度響應(yīng)時(shí)程，各工況結(jié)構(gòu)跨中加速度峰值見表5。可以看出，當(dāng)測(cè)試者的跑步頻率為3.3 Hz時(shí)，荷載時(shí)程的第2階諧波分量引發(fā)結(jié)構(gòu)共振，此時(shí)的最大加速度是所有工況下的最大值，并且跑步頻率越接近3.3 Hz，結(jié)構(gòu)跨中加速度響應(yīng)峰值越大。

(a) 第一次

(b) 第二次

表5 不同頻率跑步激勵(lì)下連廊結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)最大加速度響應(yīng)

3.3 數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證所建荷載模型，首先對(duì)比模擬荷載時(shí)程與實(shí)測(cè)荷載時(shí)程。如圖8所示，可見荷載時(shí)程的形狀相似，幅值相差也較小。為進(jìn)一步驗(yàn)證，建立連廊的有限元模型并計(jì)算結(jié)構(gòu)在模擬荷載作用下的加速度響應(yīng)，圖9為連廊有限元模型及跑步路線示意圖。模型基頻為6.65 Hz，與實(shí)測(cè)基頻6.6 Hz相近。計(jì)算不同跑步頻率下DLF分別取均值、均值±標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)連廊在模擬荷載作用下的跨中加速度響應(yīng)峰值[15-18]，跑步頻率增量取0.1 Hz，計(jì)算結(jié)果如圖10所示，結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)峰值與DLF取均值時(shí)的計(jì)算結(jié)果大體接近，且?guī)缀醵悸湓诎j(luò)線(DLF取均值±標(biāo)準(zhǔn)差)內(nèi)。

(a) 模擬3.0 Hz跑步荷載時(shí)程

(c) 實(shí)測(cè)3.0 Hz跑步荷載時(shí)程

圖9 連廊有限元模型和荷載布置

圖10 模型峰值加速度響應(yīng)包絡(luò)線與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)比

此外，如果采用美國(guó)鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會(huì)AISC規(guī)范Design Guide 11-1997所推薦的節(jié)奏性荷載，則對(duì)于2.75 Hz(該規(guī)范給出的荷載頻率的上限值)，計(jì)算結(jié)果見圖10中星號(hào)，比實(shí)測(cè)值大很多。對(duì)本例而言采用節(jié)奏性荷載代替跑步荷載是不合適的。由上述分析可得，本文提出的跑步荷載模型與實(shí)測(cè)荷載較為吻合，所引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)大體一致，可用于相關(guān)工程的設(shè)計(jì)與分析。

4 結(jié) 論

跑步荷載是室內(nèi)、屋頂運(yùn)動(dòng)場(chǎng)以及人行橋等結(jié)構(gòu)振動(dòng)舒適度設(shè)計(jì)需要考慮的重要荷載類型。我國(guó)目前尚無跑步荷載模型。本研究利用高精度無線測(cè)力鞋墊技術(shù)開展了單人跑步荷載試驗(yàn)，并提出了傅里葉級(jí)數(shù)的荷載模型，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)給出了連續(xù)跑步荷載的前5階動(dòng)載因子和相位角的建議值。通過將數(shù)值模擬與實(shí)際結(jié)構(gòu)的響應(yīng)對(duì)比表明，本文所建議的跑步荷載模型可供相關(guān)人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)的工程設(shè)計(jì)與分析使用。