強(qiáng)夯加固飽和軟土地基的數(shù)值模擬方法及算例

左大偉

（天津津港建設(shè)有限公司，天津 300456）

引言

強(qiáng)夯的設(shè)計(jì)[1-2]、試驗(yàn)[3-8]及實(shí)際施工過(guò)程[9-12]比較復(fù)雜，夯錘質(zhì)量、夯錘直徑、夯擊能、夯擊次數(shù)、夯坑深度、隆起高度、夯擊遍數(shù)、夯錘間距、每遍時(shí)間間隔等均會(huì)影響強(qiáng)夯的效果，甚至很多飽和軟黏土地塊內(nèi)需要回填雜填土，回填土厚度亦是影響因素。難以進(jìn)行全程的模擬計(jì)算。但通過(guò)對(duì)理想狀態(tài)下建立的物理模型進(jìn)行模擬，對(duì)強(qiáng)夯的機(jī)理和對(duì)強(qiáng)夯效果的影響因素分析是有益的，本文在前人工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合天津沿海地區(qū)的一些具體工程地質(zhì)條件進(jìn)行了一些探索分析。

1 強(qiáng)夯的數(shù)值模擬方法

錢家歡[13]最早借助Cruse和Rizzo所獲得的經(jīng)過(guò)拉氏變換后的彈性體運(yùn)動(dòng)微分方程的基本解，用加權(quán)余量法導(dǎo)出彈性振動(dòng)問(wèn)題的邊界積分方程，并將其應(yīng)用于邊界元解強(qiáng)夯問(wèn)題。該方法比較老舊，目前較少采用。有研究者[14]采用FLAC3D有限差分法來(lái)評(píng)估強(qiáng)夯的效果。另一個(gè)流派以Biot固結(jié)理論[15-16]，對(duì)強(qiáng)夯的過(guò)程進(jìn)行模擬計(jì)算，與一般固結(jié)理論的區(qū)別是荷載非為靜荷載，而是與時(shí)間有關(guān)系的沖擊荷載。該理論的優(yōu)點(diǎn)是能夠考慮地基中孔隙水壓力的產(chǎn)生和消散過(guò)程，缺點(diǎn)是不能考慮強(qiáng)夯過(guò)程中土體的動(dòng)力特征。動(dòng)力有限元也是比較常用的方法。該方法首先對(duì)空間域進(jìn)行離散化，然后再對(duì)時(shí)間域進(jìn)行離散，然后采用多場(chǎng)耦合進(jìn)行分析。本文重新探討這種分析方法，首先描述固體單元的動(dòng)態(tài)平衡特性。

1.1 微分體的運(yùn)動(dòng)特征量

有限元是將研究的整體分割成有限個(gè)微分體（以下簡(jiǎn)稱單元），假設(shè)微分體以速度[v]移動(dòng)。則在dt時(shí)間內(nèi)，第i個(gè)微分體的應(yīng)變的改變量是[v]dt,相應(yīng)的應(yīng)變率張量表示如下

式中張量ξij表示變形速率。忽略單元所發(fā)生的轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2 運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程

由動(dòng)量原理的連續(xù)形式可得柯西運(yùn)動(dòng)方程：

1.3 本構(gòu)方程

本構(gòu)方程描述了土體屈服面的變化過(guò)程，其形式如下：

其中是共同轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)力率張量，[H]是給定的硬化函數(shù)，κ是考慮了加載歷史的參數(shù)。

1.4 數(shù)值解法

根據(jù)初始條件和邊界條件，計(jì)算過(guò)程采用以下方法來(lái)實(shí)現(xiàn)：

1）幾何離散方法（將連續(xù)體劃分為離散的單元體；所有的力（外力和重力、孔隙水壓力等）都集中在三維網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)上。

2）時(shí)間離散方法采用有限差分方法（一個(gè)變量的空間和時(shí)間的微分由有限差分去逼近，假定變量在有限空間和時(shí)間間隔內(nèi)的變化是線性的）；

3）動(dòng)態(tài)求解方法（動(dòng)態(tài)方程中的慣性量作為系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的數(shù)值量度）。

這樣一般的微分方程就可以及時(shí)運(yùn)用顯式有限差分方法求解。

1.5 應(yīng)變率計(jì)算

根據(jù)上一步計(jì)算得到的速度場(chǎng)，有限差分方程得出單元中每一個(gè)微分體的應(yīng)變率張量的分量。

式中V為單元體的體積；上標(biāo)l表示該單元體作用的總和；n為法線向量；S為微分體的總面積。運(yùn)用混合離散技術(shù)，可知

假定ξZ是單元的第一應(yīng)變率不變量的平均值

nt是參與計(jì)算的單元的總數(shù)，V[k]是編號(hào)為k的單元體的體積。

1.6 應(yīng)力計(jì)算

本構(gòu)方程的增量形式H*ij用來(lái)計(jì)算單元中每個(gè)微分體的應(yīng)力增量：

其中

應(yīng)變用下式計(jì)算

即可求得新的應(yīng)力。

運(yùn)用混合離散技術(shù)，調(diào)整應(yīng)力張量分量的對(duì)角線分量：

且

1.7 節(jié)點(diǎn)不平衡力計(jì)算

在節(jié)點(diǎn)l處，與該節(jié)點(diǎn)相連的四面體對(duì)該節(jié)點(diǎn)的不平衡力的貢獻(xiàn)是應(yīng)力和體力兩方面得到的

該點(diǎn)總的不平衡力就是將所有與該點(diǎn)相連的四面體對(duì)該點(diǎn)的不平衡離相加。如果必要的話用兩種離散所得平均值。所加外荷載在該點(diǎn)的貢獻(xiàn)[P]＜l＞和集中荷載相加，得到節(jié)點(diǎn)處的不平衡力：

2 流固耦合

2.1 基本概念

根據(jù)式(14)計(jì)算的各單元節(jié)點(diǎn)的不平衡力，根據(jù)土力學(xué)的原理計(jì)算由強(qiáng)夯引起的節(jié)點(diǎn)孔隙水壓力，然后根據(jù)固結(jié)理論計(jì)算孔壓的消散過(guò)程。在軟土的強(qiáng)夯過(guò)程中，應(yīng)該考慮土體滲透系數(shù)和其他土性指標(biāo)的變化。

2.2 數(shù)學(xué)描述

假定土體飽和。根據(jù)平衡方程及達(dá)西定律，形成差分方程，該差分方程在給定幾何形狀，屬性，邊界條件以及初始條件以后即可求解。

1）規(guī)定及定義

xi、ui、vi和(dvi/dt)i=1,3分別代表介質(zhì)中一點(diǎn)的位置、位移、速度和加速度。愛因斯坦求和約定只實(shí)用于下標(biāo)i、j、k，取值范圍是1，2，3。假定Lc=流域的體積/流域的面積，定義流體擴(kuò)散率c：

其中k是表觀滲透系數(shù)，比奧模數(shù)M=kf/n，a是比奧系數(shù)，a=K+4/3G，K是排水體積模量，G是剪切模量。

2）流動(dòng)方程

a）滲流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

流體的運(yùn)動(dòng)用達(dá)西定律來(lái)描述。對(duì)均勻的各向同性的固體和密度為常數(shù)的流體，達(dá)西定律的形式如下：

b）體積平衡假定：

對(duì)小變形問(wèn)題，流體質(zhì)量守恒可以表述如下

其中qv是體積流體源強(qiáng)度[1/s]，ζ是單位體積的多孔介質(zhì)中流體體積的改變量。

3）初始條件和邊界條件

初始條件對(duì)應(yīng)已知的孔壓和飽和度與上一次的計(jì)算結(jié)果有關(guān)。滲透性邊界的表達(dá)符合達(dá)西定律：

其中qn=邊界外發(fā)線方向上的比流量;

h=表觀滲透系數(shù)，每一級(jí)強(qiáng)夯應(yīng)根據(jù)固結(jié)情況取不同值;

p=邊界處的孔壓;

pe=引起滲流的孔壓。

3 數(shù)值解法過(guò)程

3.1 基本假定

耦合流體力學(xué)靜態(tài)模擬涉及一系列步驟，每一步都包含一個(gè)或多個(gè)流動(dòng)步，由足夠多的力學(xué)平衡步跟隨從而保持準(zhǔn)靜態(tài)平衡。

由于流動(dòng)引起的孔壓的改變是在流動(dòng)步中計(jì)算，而體應(yīng)變引起的孔壓的改變則在力學(xué)計(jì)算步中計(jì)算。（該值是一個(gè)針對(duì)單元的值，然后分配到各個(gè)節(jié)點(diǎn)）。對(duì)有效應(yīng)力計(jì)算，由體應(yīng)變引起的孔壓改變而導(dǎo)致的總應(yīng)力增量在力學(xué)平衡步中計(jì)算，由流體流動(dòng)引起的則在流動(dòng)步中計(jì)算。

對(duì)于一個(gè)演員來(lái)講，塑造良好的身體形態(tài)是非常重要的。演員可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)，如慢跑、游泳來(lái)增強(qiáng)身體的協(xié)調(diào)性，這有助于演員在表演的時(shí)候表現(xiàn)得輕盈、靈活。良好的身體形態(tài)還能夠使人變得自信，有助于唱歌發(fā)聲，塑造一個(gè)完美的舞臺(tái)形象。通過(guò)不同的身體姿態(tài)能夠表現(xiàn)出不同的美，有的聲樂(lè)演唱要表現(xiàn)得端莊、典雅，有的則需要表現(xiàn)出輕盈、靈活。通過(guò)身體姿態(tài)的變換，向觀眾傳達(dá)出不同的情感、不同的美感，或?yàn)t灑豪放，或秀麗甜美。值得注意的是，無(wú)論作品本身要表現(xiàn)的情感是悲傷還是愉快，演員本身都要表現(xiàn)出一種莊重的氣質(zhì)，不能夠使身體松懈，從而影響表演。

3.2 時(shí)間步長(zhǎng)的確定

顯式有限差分必須保證時(shí)間步小于某個(gè)限定值才能保證數(shù)值上的穩(wěn)定。這個(gè)限定值就是特征時(shí)間步

其中c是流體擴(kuò)散度，a是大于1的常數(shù)，取決于幾何離散方法。例如，當(dāng)單元為立方體時(shí)a=6。

4 強(qiáng)夯數(shù)值模擬分析

4.1 建模過(guò)程

1）計(jì)算參數(shù)的選取

計(jì)算中土體采用摩爾庫(kù)侖模型，夯錘用線彈性模型。土體物理力學(xué)參數(shù)及夯錘物理力學(xué)參數(shù)如圖1所示。

2）有限差分網(wǎng)格的刨分見圖1。土體尺寸為10 m×10 m×12 m，為滿足波的傳播需要，單元最大尺寸應(yīng)該有上限，據(jù)此各個(gè)方向單元個(gè)數(shù)分別取為19、19、12。

圖1 有限差分網(wǎng)格的刨分

3）計(jì)算分三步進(jìn)行

包括自應(yīng)力平衡；加入地下水（與地表齊平）；及施加樁體沖擊荷載。（選取局部阻尼作為動(dòng)力計(jì)算中的力學(xué)阻尼，阻尼系數(shù)取0.125。）

在前兩個(gè)步驟計(jì)算中，除上表面是自由面外其余各面都采用固定約束。在第三步動(dòng)力計(jì)算時(shí)模型采用了粘滯性邊界和自由場(chǎng)邊界來(lái)降低人工邊界對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

4）計(jì)算結(jié)果及結(jié)果分析

圖2、圖3展示的是計(jì)算到5秒時(shí)孔壓和土體豎向位移云圖。由圖可見，對(duì)計(jì)算采用的這種土，負(fù)孔壓出現(xiàn)在夯錘附近一定范圍內(nèi)。從位移云圖上可以清晰看見夯擊作用力對(duì)土體的影響深達(dá)3.8 m左右。

圖2 孔壓分布云圖

圖3 豎向變形圖

圖4記錄了從中心對(duì)稱軸到邊界區(qū)域的跟蹤點(diǎn)的孔壓隨時(shí)間變化曲線，如圖所示，最大正孔壓隨距夯錘中心的橫向距離增大而減小?？梢杂^測(cè)到，由于夯錘作用，地表產(chǎn)生較大正孔壓，在短時(shí)間內(nèi)快速消散，并在靠近夯錘中心位置產(chǎn)生了較大負(fù)孔壓，經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間消散。

圖4 落錘附近區(qū)域孔壓消散曲線

在橫向，離夯錘中心點(diǎn)1.84 m之內(nèi)，正孔壓的最大值變化比較快，1.84 m以外趨于平緩；而負(fù)孔壓絕對(duì)值的最大值則是在0.79 m處達(dá)到最大值。在縱向，由于受靜水壓力初始值的影響，曲線基本呈一平緩直線，只是在地表以下1.5 m的地方有個(gè)突起；負(fù)孔壓絕對(duì)值的最大值則是在1.5 m以上隨著深度加深呈直線下降，但在1.5 m以下就沒有出現(xiàn)負(fù)孔壓。

4.2 參數(shù)分析

本節(jié)主要考慮滲透系數(shù)、落距和土體彈性模量對(duì)土體孔壓響應(yīng)的影響。分析中為確定單因素的影響，因此研究中固定其他項(xiàng)，只改變單一變量分析其對(duì)結(jié)果的影響。

圖5為不同滲透性（滲透速度為0.0001 cm/s、0.001 cm/s、0.01 cm/s、0.1 cm/s、1 cm/s）對(duì)落錘區(qū)域孔壓消散曲線的影響?？梢钥吹?，滲透系數(shù)對(duì)最大正孔壓和最大負(fù)孔壓的數(shù)值沒有影響。滲透系數(shù)對(duì)消散過(guò)程起決定性影響。當(dāng)滲透速度在0.01～1 cm/s范圍內(nèi)，孔壓消散速度受滲透性影響明顯；而當(dāng)滲透速度在0.0001～0.001 cm/s，曲線受滲透性影響較小。

圖5 滲透性對(duì)孔壓消散曲線的影響

圖6主要考慮落距的大小對(duì)孔壓數(shù)值大小的影響。落距大小對(duì)最大正孔壓影響不明顯，對(duì)最大負(fù)孔壓影響較為明顯。當(dāng)落距在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，落距對(duì)孔壓消散速度沒有影響。

圖6 落距對(duì)孔壓消散曲線的影響

圖7主要考量不同土體彈模對(duì)孔壓變化的影響彈模越小，在落距相同的夯錘作用下土體產(chǎn)生的最大正孔壓和最大負(fù)孔壓數(shù)值越大。同時(shí)，彈模越小，在此基礎(chǔ)上改變彈模量值對(duì)結(jié)果影響較大。

圖7 土體彈模對(duì)孔壓消散曲線的影響

5 工程實(shí)例

本文考慮天津港某工程的情況，地表有2 m左右的碎石層，下面為淤泥層、細(xì)砂層和邊界土層，如圖8所示。夯錘模型與前述相同

5.1 建模過(guò)程

計(jì)算參數(shù)選擇如圖8所示。邊界條件設(shè)置如前節(jié)所述，地下水位先設(shè)置在地表。

圖8 有限差分網(wǎng)格的刨分

5.2 結(jié)果分析

天津港某工程中分層土在夯錘作用下的孔壓曲線，在成層土夯錘作用下隨著土體分布呈差異性響應(yīng)：

1）細(xì)砂層中沒有負(fù)孔壓出現(xiàn)，孔壓震蕩幅度的最大和最小值都是在夯錘中心的土體單元中，隨著橫向距離不斷增大，孔壓幅值逐漸減?。?/p>

2）淤泥層中離夯錘較近處有負(fù)孔壓出現(xiàn)，較遠(yuǎn)處（1.2m）沒有負(fù)孔壓產(chǎn)生，孔壓的震蕩幅值隨距離夯錘的間距增大而減??；

3）夯錘底部縱向不同位置處，淤泥層中的孔壓震蕩幅值最大，且有負(fù)孔壓，而在細(xì)砂層中沒有負(fù)孔壓。在表層碎石層中離夯錘較近處有負(fù)孔壓出現(xiàn)，較深處沒有。

6 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)理論分析、數(shù)值模型并與工程實(shí)例計(jì)算相結(jié)合的方法，對(duì)天津地區(qū)強(qiáng)夯加固飽和土體進(jìn)行了動(dòng)力條件下的耦合固結(jié)數(shù)值模擬。著重分析了強(qiáng)夯條件下孔壓的影響區(qū)域范圍及消散曲線，并考量了強(qiáng)夯實(shí)施過(guò)程中，表層土體滲透性、落距及土體彈性模量對(duì)土體中孔壓消散曲線的影響。本文最后結(jié)合天津港某工程地質(zhì)條件論述了強(qiáng)夯工程中土層分布對(duì)孔壓及消散規(guī)律的影響。