一類帶有偏差量的任意分?jǐn)?shù)階非線性微分方程邊值問(wèn)題唯一正解的存在性

段永紅, 王文霞

(1.太原學(xué)院數(shù)學(xué)系, 太原 030032； 2.太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系, 山西 晉中 030619)

分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題無(wú)論是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在力學(xué)、電子學(xué)等眾多工程技術(shù)領(lǐng)域都已經(jīng)獲得了廣泛深入的研究，研究成果非常豐富，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-5]及其參考文獻(xiàn).積分邊值問(wèn)題是流體力學(xué)、工程學(xué)等諸多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，因此分?jǐn)?shù)階微分方程的積分邊值問(wèn)題近年來(lái)受到極大的關(guān)注，獲得了很多有價(jià)值的研究成果，見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8]及其參考文獻(xiàn).其中，文獻(xiàn)[8]利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了如下分?jǐn)?shù)階積分邊值問(wèn)題的正解的存在性：

另一方面，帶有偏差量的微分方程在物理、力學(xué)、工程學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，也是微分方程理論中重要的研究領(lǐng)域.近年來(lái)，許多專家學(xué)者對(duì)帶有偏差量的任意分?jǐn)?shù)階微分方程的正解問(wèn)題進(jìn)行了研究，成果不斷涌現(xiàn).比如文獻(xiàn)[9]研究了帶有時(shí)滯量的邊值問(wèn)題正解的存在性，文獻(xiàn)[10-12]研究了帶有超前量的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題或積分邊值問(wèn)題正解或多重正解的存在性，這些文獻(xiàn)使用的主要工具為Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，Leray-Schauld非線性抉擇，不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論以及Legget-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理.文獻(xiàn)[13]研究了如下帶有偏差量的Caputo型任意分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問(wèn)題：

其中，f：[0，1]×R×R→R，g：[0，1]×R→R，τ：[0，1]→[0，1]皆為連續(xù)函數(shù)，λ≥0.使用單調(diào)迭代技術(shù)及上下解方法獲得了上述問(wèn)題存在極值解的充分條件.據(jù)筆者所知，這類帶有偏差量的任意分?jǐn)?shù)階非線性微分方程唯一正解的存在性研究尚不多見(jiàn)．

基于上述原因，并受文獻(xiàn)[7，10-13]的啟迪，本文研究如下任意分?jǐn)?shù)階非線性微分方程積分邊值問(wèn)題(BVP)唯一正解的存在性：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)及引理

定義1[1-2]設(shè)p>0，函數(shù)x：(0，+∞)→R的p階Riemann-Liouville型積分定義為

只要上式右端在(0，+∞)上有定義；連續(xù)函數(shù)x：(0，+∞)→R的p階Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)定義為

只要上式右端在(0，+∞)上有定義，n-1

考慮如下分?jǐn)?shù)階線性邊值問(wèn)題，

(2)

其中，y，z∈C[0，1]．

引理1BVP(2)有唯一解

其中，

G(t，s)=G1(t，s)+G2(t，s)，

c2tα-2+…+cn+1tα-n-1，

其中，ci∈，i=1，2，…，n+1.由邊界條件x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0可知ci=0，i=3，4，…，n+1.于是，

進(jìn)而有

故

(3)

將上式兩邊從0到η積分可得

將其代入(3)式，

證畢．

容易證明如下結(jié)論成立．

引理2引理1中定義的函數(shù)G(t，s)，G1(t，s)，G2(t，s)具有如下性質(zhì):

1)G1(t，s)，G2(t，s)及G(t，s)在[0，1]×[0，1]上都是非負(fù)連續(xù)函數(shù)；

給定e>0(i.e，e∈P，e≠θ)，令

Pe=

{x∈E|?l1=l1(x)>0，l2=l2(x)>0 s.t.

l1e≤x≤l2e}.

(4)

引理3[15]設(shè)P是E中的正規(guī)錐，δ∈(0，1).A：P×P→P是混合單調(diào)算子且滿足

A(rx，r-1y)≥rA(x，y)，r∈(0，1)，x，y∈P．

B：P→P是增算子且滿足

B(rx)≥rδB(x)，r∈(0，1)，x∈P．

若下列條件成立，

1)存在u0∈Pe使得A(u0，u0)∈Pe及Bu0∈Pe；

2)存在ε0>0使得A(x，y)≤ε0Bx，?x，y∈P．

則A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且對(duì)任意的x0，y0∈Pe，令

xn=A(xn-1，yn-1)+Bxn-1，

yn=A(yn-1，xn-1)+Byn-1，n=1，2，…，

那么有xn→x*，yn→x*(n→+∞).

引理4[15]設(shè)P是E中的正規(guī)錐，δ∈(0，1).A：P×P→P是混合單調(diào)算子且滿足

A(rx，r-1y)≥rδA(x，y)，r∈(0，1)，x，y∈P．

B：P→P是增算子且滿足

B(rx)≥rB(x)，r∈(0，1)，x∈P．

若下列條件成立:

1)存在u0∈Pe使得A(u0，u0)∈Pe及Bu0∈Pe；

2)存在ε0>0使得A(x，y)≥ε0Bx，?x，y∈P．

則A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且對(duì)任意的x0，y0∈Pe，令

xn=A(xn-1，yn-1)+Bxn-1，

yn=A(yn-1，xn-1)+Byn-1，n=1，2，…，

那么有xn→x*，yn→x*(n→+∞).

2 主要結(jié)果

P={x∈X|x(t)≥0，t∈[0，1]}，

為X中的正規(guī)錐．

為了方便，記

以及

h(t)=h1(t)+h2(t)，t∈[0，1]，

并定義Pe如(4)式．

(H1)f(t，x，y)關(guān)于第二個(gè)變量不減，關(guān)于第三個(gè)變量不增，且對(duì)任意的r∈(0，1)有

f(t，rx，r-1y)≥rf(t，x，y)，

x∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H2)g(t，x)關(guān)于第二個(gè)變量不減，且對(duì)任意的r∈(0，1)存在δ∈(0，1)使得

g(t，rx)≥rδg(t，x)，

x∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H3)存在ε>0使得g(t，x)≥εf(t，x，0)，t∈[0，1]，x∈[0，+∞)．

則BVP(1)有唯一正解x*，進(jìn)而，對(duì)任意的x0，y0∈P，令

(5)

(6)

n=1，2，…，有

(7)

證明定義算子A和B如下：

y(τ(s)))ds，t∈[0，1]，x∈P，

t∈[0，1]，x∈P．

根據(jù)引理1，x是BVP(1)在P中的解當(dāng)且僅當(dāng)x是算子方程A(x，x)+Bx=x在P中的解.由函數(shù)f(t，x，y)，g(t，x)和τ(t)的非負(fù)連續(xù)性以及引理2可知：A：P×P→P，B：P→P．

由條件(H1)和(H2)易知：A：P×P→P是混合單調(diào)算子，B：P→P是增算子，且對(duì)任意的r∈(0，1)，x，y∈P有

此即A(rx，r-1y)≥rA(x，y)，B(rx)≥rδBx.

下面證明引理3中的條件 1)及條件 2)成立.通過(guò)計(jì)算可得

進(jìn)而有

于是根據(jù)引理2以及f(t，x，y)關(guān)于x，y的單調(diào)性有

A(e，e)(t)=

A(e，e)(t)=

注意到f(t，0，1)≠0，故有A(e，e)∈Pe.類似可得

取ε0=βε.根據(jù)f和g的單調(diào)性以及條件(H3)和引理2，對(duì)任意的x，y∈P有

此即Bx≥ε0A(x，y)，?x，y∈P.因此引理3中的條件 2)成立．

既然引理3的所有條件都滿足，根據(jù)引理3可知A(x，x)+Bx=x在Pe中有唯一解x*，且對(duì)任意的x0，y0∈Pe，令

xn=A(xn-1，yn-1)+B(xn-1)，

yn=A(yn-1，xn-1)+B(yn-1)，n=1，2，…，

有xn→x*，yn→x*(n→+∞).

再注意到對(duì)任意的x∈P有A(x，x)+Bx∈Pe，故x*為BVP(1)的唯一正解，且做迭代列(5)及(6)，則有(7)式成立.證畢．

定理2設(shè)g(t，0)≠0，且下列條件成立：

(H4)f(t，x，y)關(guān)于第二個(gè)變量不減，關(guān)于第三個(gè)變量不增，且對(duì)任意的r∈(0，1)存在δ∈(0，1)使得

f(t，rx，r-1y)≥rδf(t，x，y)，

x，y∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H5)g(t，x)關(guān)于第二個(gè)變量不減，且對(duì)任意的r∈(0，1)有

g(t，rx)≥rg(t，x)，x∈[0，+∞)，t∈[0，1]；

(H6) 存在ε′>0使得ε′g(t，x)≤λ，t∈[0，1]，x≥0.

則BVP(1)有唯一正解x*，進(jìn)而，對(duì)任意的x0，y0∈P，令

有

證明定義算子C和T如下：對(duì)任意的x，y∈P，

顯然x是BVP(1)在P中的解當(dāng)且僅當(dāng)x是算子方程C(x，x)+Tx=x在P中的解．

類似于定理1可證A：P×P→P是混合單調(diào)算子，且B：P→P是增算子，且有

C(rx，r-1y)≥rσC(x，y)，

T(rx)≥rTx，r∈(0，1)，x，y∈P，

此外，根據(jù)算子C的定義可得

t∈[0，1]，

注意到g(t，0)≠0和(H6)可知λ>0，故有C(e，e)∈Pe.類似可證Te∈Pe.

最后，根據(jù)條件(H6)，對(duì)任意的x，y∈P有

此即ε′Tx≤C(x，y)，?x，y∈P.

綜上可知引理4中所有條件皆成立.根據(jù)引理4以及

C(x，x)(t)+T(x)≥Bx(t)≥

(h1(t)+h2(t))λ>0，t∈[0，1]，

可知本結(jié)論成立.證畢．

3 例子

考慮如下分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題

(8)

此外顯然有f∈C([0，1]×[0，+∞)×[0，+∞)，[0，+∞))關(guān)于第二個(gè)變量不減，關(guān)于第三個(gè)變量不增；g∈C([0，1]×[0，+∞)，[0，+∞))關(guān)于第二個(gè)變量不減.又對(duì)任意的r∈(0，1)有

這就證明了條件(H1)和(H2)成立．

取ε=7，于是對(duì)任意的t∈[0，1]，x∈[0，+∞)有

此即條件(H3)成立.

綜上可知定理1的所有條件皆成立，這樣根據(jù)定理1可知：BVP(8)有唯一正解x*，進(jìn)而，對(duì)任意的x0，y0∈P，令

n=1，2，…，有