MPCK下的“二次函數(shù)與一元二次方程”教學

西華師范大學 阮雯婧 孫 海

1 引言

20世紀80年代，美國教育家Shulman意識到了當?shù)亟處熧Y格認證的缺失，在這一問題的催促下，“學科教學知識”(簡稱PCK)這一概念問世.Shulman對PCK的最初定義：教師如何將自己頭腦中的學科專業(yè)知識以各種巧妙方式呈現(xiàn)給學生，又便于學生理解的教育形態(tài)的知識，也包括清楚學生在學習某節(jié)內(nèi)容時所產(chǎn)生的疑難和困惑.在Shulman提出的PCK理論基礎(chǔ)之上，我國著名教育學家黃毅英教授于2009年提出了MPCK理論.對于更具體的數(shù)學教師來說，黃毅英教授提出一個數(shù)學教師所應具備的教學知識包括三部分：數(shù)學學科知識(簡稱 MK)、一般教學法知識(簡稱 PK)以及學生數(shù)學學習的知識(簡稱 CK)，而這三者的交集便是MPCK[1].在教師的教學經(jīng)驗層層累積下，教師的MK，PK，CK慢慢增加，相應地，MPCK就越來越豐富.下面就根據(jù)黃毅英教授提出的MPCK理論，從MK，PK，CK三個維度分析“二次函數(shù)與一元二次方程”的有關(guān)教學.

2 從MK維度分析

MK(即數(shù)學學科知識)指數(shù)學學科自身的知識，教師不僅要知曉屬于數(shù)學學科的知識，還要將之與其他學科聯(lián)系起來.總的來說，就是教師要“教什么”的知識.

在義務教育數(shù)學課程標準中，二次函數(shù)這一章的學習目標除卻二次函數(shù)本身的性質(zhì)知識，還要求學生將其與一元二次方程建立聯(lián)系，利用二次函數(shù)的圖象求對應一元二次方程的近似解.隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的實施，在2017版高中數(shù)學新課程標準中，將原人教A版必修一第3章第1節(jié)的“函數(shù)與方程”部分的內(nèi)容前置，放在新人教A版必修一第2章第3節(jié)“一元二次函數(shù)、方程和不等式”的位置，將其作為高中數(shù)學的預備知識進行學習[2].二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系在初中高中都有設(shè)置，體現(xiàn)了其重要地位，這也是由學生認知發(fā)展決定的.這就要求教師在初中階段講授此內(nèi)容時，不能只傳授給學生這兩塊內(nèi)容的表面聯(lián)系，更重要的是要教會學生從整個數(shù)學知識體系以聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的思想看待各知識點.

從教材的編寫來看，編寫者有意在本節(jié)內(nèi)容多處滲透數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合實例引導學生從數(shù)和形兩個方面分析、解決問題，自然地理解它，并逐步加以靈活運用.教材(這里說的是新人教版)十分注意數(shù)與形的互補作用，突出兩者間的轉(zhuǎn)化對分析問題、解決問題的特殊作用.因此，本節(jié)內(nèi)容對教師的MK有以下幾點要求：

(1)建立正確的數(shù)學觀念，認清本節(jié)內(nèi)容在整個數(shù)學體系中所處的地位及其重要性，理解其對發(fā)展學生思想方法、思維能力的影響；

(2)對二次函數(shù)與一元二次方程之間聯(lián)系的理解不能浮于表面，要從一元二次方程和二次函數(shù)這兩章的高度進行教學；

(3)能夠提煉出其中蘊含的數(shù)學思想方法(包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、類比、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化思想).

3 從PK維度分析

PK(即一般教學法知識),具體來說就是教師根據(jù)MK確定教學目標、教學重點之后，依據(jù)CK確定教學難點，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)教學情境，做好相關(guān)知識點對學生來說自然而有效的呈現(xiàn)，做好學生知識體系的建構(gòu).

3.1 二次函數(shù)與一元二次方程的教學問題串設(shè)計

問題1：y=kx+b(k≠0)與kx+b=0(k≠0)中字母x的意義有什么區(qū)別？

解：y=kx+b(k≠0)中x表示的是某個變量，其描述的是變量x對變量y的作用規(guī)律.而kx+b=0(k≠0)中的x是滿足此方程對應數(shù)量關(guān)系的一個確定的值，也就是方程的解.

問題2：y=kx+b(k≠0)與kx+b=0(k≠0)之間的關(guān)系是什么？

解：二者能夠互相轉(zhuǎn)化，一元一次方程就是一次函數(shù)圖象與x軸的交點滿足的方程.而使得一次函數(shù)的函數(shù)值為0的自變量x的值即此函數(shù)對應的一元一次方程的解.

設(shè)計意圖：這兩個問題是人教版八年級下冊的內(nèi)容，放在正式講解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系之前，加深函數(shù)和方程中各自的x的認識與辨析，為學生下一步探究正式內(nèi)容提供了參考.問題1與問題2起點低、坡度緩，聚焦學生的生長點，突出新課注重基礎(chǔ)、關(guān)注聯(lián)系的特點.

問題3：分別判斷方程x2-2x-3=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0根的情況，并求解出來.

問題4：x分別取何值時，函數(shù)y=x2-2x-3，y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的值為0？

問題5：畫出函數(shù)y=x2-2x-3，y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象，分別指出拋物線與x軸的位置關(guān)系和交點情況.你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)和其對應的方程之間的聯(lián)系嗎？

問題6：更一般地，函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與方程ax2+bx+c=0(a≠0)之間有何聯(lián)系呢？

本節(jié)課從一次函數(shù)與一元一次方程聯(lián)系的回顧問題出發(fā)，讓學生在類比中探究新知.問題3與問題4，設(shè)計出發(fā)點是啟發(fā)學生從數(shù)的角度認識求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是求對應函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)取特殊值0值時x的值；從問題3、問題5與問題6來看，設(shè)計出發(fā)點是方便學生從形的角度了解一元二次方程的根的幾何意義，同時總結(jié)歸納出第二點：二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的三種位置關(guān)系(兩個交點、一個交點、沒有交點)對應著一元二次方程ax2+bx+c=0根的三種情況(兩個不等實數(shù)根、兩個相等實數(shù)根、沒有實數(shù)根).

為了更好地幫助學生理清知識間的聯(lián)系，以上所有問題都在幻燈片上展示.對于和學生一起總結(jié)出來的兩點結(jié)論，教師也應該提前準備，將其轉(zhuǎn)換成更直觀的表格形式，以圖表的形式幫助學生進行知識表征，加深印象.

出于“體驗并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想”的能力目標，本節(jié)課的設(shè)計關(guān)注教學內(nèi)容“數(shù)”與“形”融合這一特點，也注重學生的自主探究與教師引導相結(jié)合.從拋物線與x軸交點情況出發(fā)設(shè)計問題，通過在幻燈片上移動拋物線，自然而然地展示出拋物線與x軸的交點從兩個到一個，再到?jīng)]有交點的情形，讓學生動態(tài)地感受拋物線與x軸的交點變化，引導學生對函數(shù)圖象進行再認識,自主探究二次函數(shù)圖象與x軸的交點的幾何特征，領(lǐng)悟一元二次方程的根會出現(xiàn)三種情況的原因，建立二次函數(shù)與一元二次方程的橫向聯(lián)系，學會用函數(shù)圖象的視角去分析問題和解決問題，也讓學生認識到對問題的分析不僅可以從“數(shù)”到“形”，還可以從“形”到“數(shù)”，真正體會數(shù)形結(jié)合的思想.

4 從CK維度分析

CK(即有關(guān)數(shù)學學習的知識)包含3個維度：有關(guān)學生發(fā)展的知識、學生學習的影響因素以及有關(guān)學生學習環(huán)境的知識[1].其要求教師要從知識、思維方法和能力素養(yǎng)方面分析學生的現(xiàn)有水平，同時分析學生在學習新內(nèi)容時可能遇到的阻礙和困難.

4.1 知識、思想方法層面

在八年級下冊，學生已經(jīng)經(jīng)歷過結(jié)合一次函數(shù)圖象探究一次函數(shù)與一元一次方程及一次不等式之間的聯(lián)系，對數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般的思想方法已經(jīng)有自己的體會.本節(jié)內(nèi)容鼓勵學生將之前分析一次函數(shù)與一元一次方程聯(lián)系的方法遷移過來，類比學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般的思想方法.

4.2 學生可能共同存在的阻礙和困難點

學生可能共存的困難是：有些學生往往對單純求解一元二次方程或二次函數(shù)的基礎(chǔ)題型是沒有問題的，但對一些有關(guān)一元二次方程的題目，雖然表面看起來跟二次函數(shù)沒關(guān)系，本質(zhì)卻是用二次函數(shù)解決的題型難以下手(對于看起來是二次函數(shù)實際上應用一元二次方程的題型同樣如此).其原因在于學生對一元二次方程與二次函數(shù)之間的聯(lián)系的認識不夠深入，以致于在解決具體的數(shù)學問題時難以將二者靈活轉(zhuǎn)換、加以運用，教師可以從例1幫助學生突破.

例1若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”.

(1)判斷方程x2-6x+8=0是否是“2倍根方程”，并說明理由；

(2)若關(guān)于x的方程ax2-3ax+c=0是“2倍根方程”，拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=ax-2有且只有一個交點，求該點坐標.

解：(1)略；

(2)因為方程ax2-3ax+c=0是“2倍根方程”，設(shè)方程的兩根為x1,2x1，由韋達定理可得c=2a，所以有y=ax2-3ax+2a.聯(lián)立y=ax2-3ax+2a與y=ax-2,得ax2-4ax+2a+2=0.因為拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=ax-2有且只有一個交點，所以Δ=(-4a)2-4a(2a+2)=0，解得a=1.聯(lián)立y=x2-3x+2與y=x-2，解得交點坐標為(2，0).

這道題第(2)問的難點在于：如何將“拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=ax-2有且只有一個交點”這一函數(shù)條件轉(zhuǎn)化為方程條件，也可以說是如何將文字語言轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)字語言.

在具體實施教學時，還有些學生對于3.1中的問題3～5有疑問：“之前已經(jīng)解出了問題3和問題4的答案，并且得出了一元二次方程的根其實就是對應的二次函數(shù)取特殊值0值時自變量x的取值，為什么問題5還要研究函數(shù)圖象，得出‘拋物線與x軸的三種位置關(guān)系對應著一元二次方程的根的判別式的三種情況’這個結(jié)論呢？此結(jié)論有什么用？”對于學生提出的疑問，教師可以從具體的題目進行闡釋.

例2已知m>0，關(guān)于x的一元二次方程(x+1)·(x-2)-m=0的解為x1,x2(x1

A.x1<-1<2

C.-1

解：如圖1，函數(shù)y=(x+1)·(x-2)的圖象與x軸的交點坐標為(-1，0)，(2，0).方程(x+1)(x-2)-m=0的解為x1,x2，從圖象來看就是直線y=m(m>0)與二次函數(shù)y=(x+1)·(x-2)交點的橫坐標，由圖象可知x1<-1，x2>2，所以，x1<-1<2

圖1

如果不從函數(shù)的角度出發(fā)，是很難下手的，而從二次函數(shù)圖象分析，可以一眼看出答案.將這道題目呈現(xiàn)給學生，可以讓學生體會到從函數(shù)角度考慮問題的極大優(yōu)越性，并再次感受函數(shù)在代數(shù)領(lǐng)域的統(tǒng)領(lǐng)地位.

5 結(jié)束語

總之，幫助學生建構(gòu)起良好的知識體系是教師永恒的任務.以MPCK理論角度出發(fā)，就幫助學生建構(gòu)好一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系來說，教師應當清楚認識、熟練掌握兩者之間的聯(lián)系、地位，通過教師掌握的CK知識預想學生的學習過程及可能遇到的障礙困難，結(jié)合自身PK知識、設(shè)計出合適的教學情境，做好相關(guān)知識自然而有效地呈現(xiàn)，同時在授課過程中，也應實時觀察學生，獲取學生遇到的知識表征障礙，及時解疑.教師若能在MK，PK，CK三個方面同時發(fā)力，才能達到滿意的教學效果.