電路量子電動(dòng)力學(xué)中基于超絕熱捷徑的控制相位門實(shí)現(xiàn)*

王雪梅 張安琪 趙生妹

(南京郵電大學(xué),信號(hào)處理與傳輸研究院,南京 210003)

針對(duì)絕熱算法在系統(tǒng)演化過程中需要較長操作時(shí)間的問題,本文提出了電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中基于超絕熱捷徑的兩量子比特控制相位門的快速制備方案.首先將量子比特的能級(jí)進(jìn)行編碼,針對(duì)不同初始態(tài)分類討論,獲得系統(tǒng)的有效哈密頓量.通過反絕熱驅(qū)動(dòng),推導(dǎo)出系統(tǒng)有效哈密頓量的修正項(xiàng),以抑制不同本征態(tài)之間不必要的躍遷,從而獲得了高保真度的基于超絕熱捷徑控制相位門.數(shù)值模擬驗(yàn)證了本方案的有效性,最終保真度為0.991.所提方案可以加速演化,并且比絕熱通道更有效.此外,本方案對(duì)諧振器的衰減和超導(dǎo)量子比特的退相干具有魯棒性.通過對(duì)諧振腔的泄漏、量子比特的自發(fā)輻射和退相位的影響分析,得到的系統(tǒng)最終保真度始終保持在0.984 以上.

1 引言

量子門的制備依賴于物理實(shí)現(xiàn)系統(tǒng).常用的物理系統(tǒng)有離子阱系統(tǒng)、核磁共振系統(tǒng)、腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和電路量子電動(dòng)力學(xué)(QED)系統(tǒng)[5?14].電路QED 系統(tǒng)是由超導(dǎo)量子比特和超導(dǎo)諧振腔組成[15,16],其中超導(dǎo)諧振腔主要包括中心導(dǎo)體和兩邊的地(中心導(dǎo)體的長度決定了諧振腔的模式頻率),超導(dǎo)量子比特由約瑟夫森結(jié)構(gòu)成,超導(dǎo)量子比特作為人工原子與超導(dǎo)諧振腔電磁耦合在一起[17].2019 年,具有量子優(yōu)越性的量子計(jì)算模型首次在超導(dǎo)量子系統(tǒng)得到證明[18].基于其可設(shè)計(jì)性、易擴(kuò)展性、長相干性,以及與其他物理系統(tǒng)易耦合等特性,電路QED 系統(tǒng)現(xiàn)已成為實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算最有前途的系統(tǒng)之一[19].在電路QED 系統(tǒng)中,廣泛使用的超導(dǎo)量子比特為Transmon.與超導(dǎo)電荷量子比特相比,Transmon 具有對(duì)電荷噪聲敏感度低、退相干時(shí)間長等優(yōu)點(diǎn)[20?22].

早在2005 年,Sangouard 等[23]提出了一個(gè)基于絕熱算法制備SWAP 門的方案.同年,Zheng[24]提出了一個(gè)基于絕熱算法構(gòu)建 π 相位門的方案.在2009 年,Shao 等[25]基于量子芝諾動(dòng)力學(xué)提出了一個(gè)構(gòu)建控制非門(CNOT 門)的方案.到2013 年時(shí),Rousseaux 等[26]則實(shí)現(xiàn)了任意比特門的制備.與此同時(shí),2015 年,Liang 等[27]在腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中提出了快速構(gòu)建控制相位門的方案,利用的是LR 不變量捷徑方法.該方案不僅可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)量子比特的相位門,還可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)量子比特的控制相位門,接著進(jìn)一步推廣到n個(gè)量子比特的控制相位門.2016 年,Liang 等[28]提出了一種基于超絕熱捷徑方法實(shí)現(xiàn)了通用量子門的方案,并基于金剛石氮空中心系統(tǒng)給出了詳細(xì)說明.2018 年,Wang等[29]運(yùn)用超絕熱捷徑方法構(gòu)建了在超導(dǎo)Xmon 量子系統(tǒng)中的高保真度的單比特量子門.2020 年,Chu等[30]提出了一種基于超導(dǎo)電路的兩比特量子門的構(gòu)建方案,結(jié)合參數(shù)調(diào)制和超絕熱捷徑方法,并以SWAP門和控制Z 門為例進(jìn)行了演示.與其他捷徑方法相比,超絕熱捷徑方法能夠?qū)崿F(xiàn)高保真度,并且操作簡單可行.但是,在電路QED 系統(tǒng)中基于超絕熱捷徑方法的相位控制門還未被討論.

因此,本文基于超絕熱捷徑方法,提出一種在電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中快速制備兩比特控制相位門的方案.利用反向?qū)釄鏊枷?獲得哈密頓量的修正項(xiàng),抑制了本征態(tài)間不需要的躍遷.使用第2 次迭代的本征態(tài)為演化路徑,由于不需要初始態(tài)和最終目標(biāo)態(tài)之間的直接耦合,可降低了實(shí)驗(yàn)難度.通過數(shù)值模擬,對(duì)本方案進(jìn)行驗(yàn)證和性能分析.本方案有以下3 個(gè)優(yōu)點(diǎn):1)與絕熱算法相比,本方案不需要嚴(yán)格遵守絕熱近似條件;2)本方案只保留有用的本征態(tài)間的躍遷,節(jié)省了演化時(shí)間;3)本方案給出了初態(tài)與終態(tài)間的直接耦合方案,提高了方案的可行性.總之,本方案縮短了演化時(shí)間、降低了實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)難度,其最終保真度可接近于1,因而具有重要的參考價(jià)值.

2 基于超絕熱捷徑控制相位門制備

首先給出電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),系統(tǒng)中兩個(gè)Transmon 囚禁在一個(gè)傳輸線諧振器中.圖1 是電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中量子比特的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖,每個(gè)量子比特?fù)碛? 個(gè)能級(jí),分別為|L1〉l,|L2〉l,|R〉l和|e〉l,其中|e〉l是輔助激發(fā)態(tài),下標(biāo)lA,B 是區(qū)分不同的量子比特.將有效信息編碼在|L1〉l,|L2〉l和|R〉l這3 個(gè)不同能級(jí)上.量子比特lA 為控制比特,其中|R〉A(chǔ)和|e〉A(chǔ)之間的躍遷是與耦合強(qiáng)度為gA的諧振器發(fā)生的共振耦合,其他能級(jí)之間的躍遷是被禁止的.量子比特lB 為受控比特,|R〉B和|e〉B之間的躍遷是與耦合強(qiáng)度為gB的諧振器發(fā)生的共振耦合,|L1〉B?|e〉B,|L2〉B?|e〉B的躍遷分別是由時(shí)間獨(dú)立的拉比頻率為Ω1(t),Ω2(t)的經(jīng)典脈沖來驅(qū)動(dòng)的,同時(shí)其他能級(jí)之間的躍遷也是被禁止的.

圖1 量子比特能級(jí)結(jié)構(gòu).qubit A 和qubit B 被囚禁在一個(gè)傳輸線性諧振器中,每個(gè)量子比特?fù)碛兴膫€(gè)能級(jí):|L1〉l,|L2〉l,|R〉l和 |e〉l,lA,B,其中 |e〉l 是輔助激發(fā)態(tài).有效信息被編碼在 |L1〉l,|L2〉l和 |R〉l 三個(gè)不同能級(jí)上.qubit A為控制比特,qubit B 為受控比特.Fig.1.Structure of qubit energy level,qubit A and qubit B are fabricated in a transmission line resonator,each has four-level i.e.,|L1〉l,|L2〉l,|R〉land |e〉l,lA,B here,|e〉l is an auxiliary excited state.The information is encoded on the states |L1〉l,|L2〉land |R〉l .Qubit A is a controlling qubit,and qubit B is a controlled qubit.

設(shè)gAgBg,利用超絕熱捷徑方法快速獲得兩比特控制相位量子門.在旋轉(zhuǎn)波近似條件下[31],電路QED 系統(tǒng)的總哈密頓量可寫為

假設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)為|0〉C|R〉A(chǔ)|L2〉B,此時(shí)諧振器處于真空|0〉C態(tài),量子比特A 處于|R〉態(tài),量子比特B 處于|L2〉態(tài).根據(jù)總哈密頓量,系統(tǒng)將會(huì)在由φ1,φ2,···,φ5張成的子空間中進(jìn)行演化,其中,

提升網(wǎng)絡(luò)信息安全就是防范財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的技術(shù)手段，能夠確保金融消費(fèi)者能夠直接選擇進(jìn)入正確的網(wǎng)點(diǎn)，而不是在業(yè)務(wù)開展過程中，被其他的釣魚網(wǎng)站進(jìn)行半路攔截，直接影響到金融消費(fèi)者的第一體驗(yàn)感，甚至就會(huì)造成客戶資本、信息等泄露。因此必須要通過技術(shù)作為支撐，將網(wǎng)絡(luò)信息安全提升到戰(zhàn)略層次，為互聯(lián)網(wǎng)金融的發(fā)展提供保障。

系統(tǒng)總哈密頓量可寫為

因此,(4)式中的哈密頓量可以用HC的本征值、本征態(tài)來表達(dá),系統(tǒng)哈密頓量Htotal可以改寫為

對(duì)系統(tǒng)哈密頓量通過幺正算符UCexp[?iHCt]進(jìn)行繪景變換.在Ω1(t),Ω2(t)?g的條件下,忽略高頻振蕩項(xiàng),利用此繪景變換容易算出系統(tǒng)的有效哈密頓量為

系統(tǒng)有效哈密頓量Heff(t) 的瞬時(shí)本征值,分別為ε00,ε1Ω(t)和ε2?Ω(t),相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)本征態(tài)為

與(6)式的哈密頓量相比,反向?qū)嵝拚?xiàng)哈密頓量需要|φ1〉和|φ3〉之間的直接耦合,但是完成此過程十分困難.所以本文采用參考文獻(xiàn)[33]中提出的方法,通過修改脈沖的形式來獲得修正項(xiàng).

為了與(9)式相等,以{|φ1〉,|φ3〉,|ψ0〉}為基,新的反向?qū)峁茴D量修正項(xiàng)為

3 控制相位門實(shí)例分析

對(duì)基于超絕熱捷徑的控制相位門進(jìn)行分析.設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)為|0〉C|L1〉A(chǔ)|L1〉B,此時(shí)諧振器處于真空態(tài)|0〉C,量子比特A 處于|L1〉態(tài),量子比特B 處于|L1〉態(tài).根據(jù)總哈密頓量,系統(tǒng)會(huì)在由張成的子空間中進(jìn)行演化:

系統(tǒng)總哈密頓量可寫為

進(jìn)一步設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)為|0〉C|L2〉A(chǔ)|L1〉B,此時(shí)諧振器處于真空|0〉C態(tài),量子比特A 處于|L2〉態(tài),量子比特B 處于|L1〉態(tài).根據(jù)總哈密頓量,系統(tǒng)會(huì)在由φ10,φ11,···,φ13張成的子空間中進(jìn)行演化,此時(shí)有

系統(tǒng)總哈密頓量可寫為

綜上所述,在電路QED 系統(tǒng)中,利用超絕熱捷徑方法可以快速制備兩比特的控制相位量子門.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)將對(duì)超絕熱捷徑快速制備兩比特的控制相位量子門方案進(jìn)行數(shù)值模擬.經(jīng)過之前的討論可得,當(dāng)初態(tài)為|0〉C|R〉A(chǔ)|L2〉B時(shí),經(jīng)過演化后,需獲得|0〉C|R〉A(chǔ)|L2〉B|11〉→?|0〉C|R〉A(chǔ)|L2〉B?|11〉,參數(shù)θ0,1(t)應(yīng)滿足邊界條件θ1(0)θ1(tf)0 和θ0(0)?π/2、θ0(tf)π/2,脈 沖Ω1(t)和Ω2(t)可以根據(jù)文獻(xiàn)[14]選擇高斯型脈沖:

其中,Ω0是脈沖振幅,tf是總的演化時(shí)間,τ110.01tf,τ120.8tf,τ130.6tf和τ210.45tf是脈沖時(shí) 延,T0.2tf是脈沖寬度.因此,驅(qū)動(dòng)脈沖Ω1(t)和Ω2(t)可以用來確定θ0(t)和θ1(t) .圖2 為θ0(t)和θ1(t) 隨演化時(shí)間變化的情況,描述了當(dāng)脈沖振幅Ω0作為變量取不同值時(shí)對(duì)θ0(t)和θ1(t) 的影響.通過圖2(a)可以發(fā)現(xiàn),脈沖幅度Ω0的取值大小對(duì)θ0(t)幾乎沒有影響,無論脈沖幅度Ω0取什么值(分別取Ω0和Ω0,兩條曲線重合),在整個(gè)演化過程中均滿足邊界條件θ0(0)?π/2,θ0(tf)π/2 .而圖2(b)是與時(shí)間相關(guān)的參數(shù)θ1(t),可以得到,當(dāng)Ω0的取值越大時(shí)兩邊邊界更趨向于0.但在整個(gè)超絕熱捷徑演化過程中,應(yīng)滿足條件Ωk(t)?g(k1,2),所以Ω0的取值又不能太大.綜上,在后面的討論中選取Ω0和g

圖2 (a) 脈沖幅度取不同值時(shí),參數(shù) θ0(t) 隨時(shí)間的變化情況;Ω0 (黑色虛線),Ω0 (淺綠色實(shí)線);(b) 脈沖幅度取不同值時(shí),參數(shù) θ1(t) 隨時(shí)間的變化情況;Ω0 (藍(lán) 色),Ω0 (紅 色),Ω0 (粉色),Ω0 (淺綠色),Ω0 (綠色).Fig.2.(a) Variation of θ0(t) with time when the amplitude of pulse has different values.Ω0 (black dotted line),Ω0 (light green line);(b) variation of θ1(t) with time when the amplitude of pulse has different values.Ω0 (blue),Ω0 (red),Ω0 (pink),Ω0 (light green),Ω0 (green).

為驗(yàn)證本文方案的有效性,圖3 給出了隨時(shí)間變化的目標(biāo)態(tài)保真度圖.定義態(tài)|Ψ(t)〉為系統(tǒng)隨時(shí)間演化的實(shí)際狀態(tài),求解系統(tǒng)保真度F(t)|〈Ψ(t)|φ1〉|2,其中|φ1〉為上文中提到的初始態(tài)|0〉C|R〉A(chǔ)|L2〉B.在整個(gè)演化過程中,當(dāng)時(shí)間超過0.7t/tf后,保真度逐漸保持穩(wěn)定,最終保真度數(shù)值為0.9914.由此可以得出,本文方案是可行有效的,能夠制備出高保真度的控制相位門.然而,由于在繪景變換時(shí),忽略了高頻振蕩項(xiàng),得到系統(tǒng)的有效哈密頓量;另外,在控制參數(shù)的過程中,量子系統(tǒng)演化時(shí)的期望量子態(tài)會(huì)演化到其他非必要的量子狀態(tài)上.因而最終保真度達(dá)不到1.

圖4 描繪了在整個(gè)演化過程中所有態(tài)的布居數(shù)圖.它表明在系統(tǒng)演化后可得到高保真度的控制相位門.從圖4 可以得出,當(dāng)時(shí)間超過 0.7t/tf以后所有態(tài)趨于穩(wěn)定.中間態(tài)|φ2〉,|φ3〉和|φ5〉只在0.2t/tf到 0.7t/tf時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)且數(shù)值不超過0.5,|φ4〉態(tài)的布居數(shù)在整個(gè)演化過程中幾乎為0.因此,在所提出的方法中,可以忽略諧振器衰減引起的退相干影響.

已知態(tài)|Ψ(t)〉為系統(tǒng)隨時(shí)間演化的實(shí)際演化狀態(tài).實(shí)際演化態(tài)|Ψ(t)〉和初始態(tài)|φ1〉|0〉C|R〉A(chǔ)|L2〉B內(nèi)積,可給出相位的變化情況.圖5 顯示了〈Ψ(t)|φ1〉隨時(shí)間變化情況.當(dāng)演化時(shí)間為 0t/tf時(shí),內(nèi)積值為+1,說明實(shí)際態(tài)|Ψ(t)〉和初始態(tài)|φ1〉重合,沒有相位差;隨著時(shí)間的推移,其內(nèi)積〈Ψ(t)|φ1〉值逐漸變小;當(dāng)演化時(shí)間為tf時(shí),內(nèi)積值為–1,說明此時(shí)實(shí)際態(tài)|Ψ(t)〉和初始態(tài)|φ1〉的相位已經(jīng)相差180°,即實(shí)際態(tài)變?yōu)閨Ψ(t)〉?|φ1〉.這驗(yàn)證了相位的變化,實(shí)現(xiàn)了控制相位門的制備.

考慮諧振器衰減和量子比特退相位率,并分析兩者對(duì)控制相位門產(chǎn)生的影響.退相干過程可以用主方程來描述,可以寫成:

其中bk為耗散項(xiàng),表示為

其中,γn(n1,2,···,4)表示第l個(gè)量子比特從能級(jí)態(tài)|R〉l(|e〉l)到能級(jí)態(tài)|e〉l(|L1〉l,|L2〉l)的自發(fā)輻射率;κ表示諧振腔的衰減率;R,L1,L2;lA,B)表示第l個(gè)量子比特的退相位率.為簡化計(jì)算過程,令γnγ和γφ.

為了量化諧振器衰減和量子比特退相干引起的最終保真度變化,圖6 給出了不同的退相干因素對(duì)最終保真度的影響,其中圖6(a)繪制了最終保真度F(tf)與諧振器衰減κ和量子比特自發(fā)輻射率γn的變化關(guān)系圖,圖6(b)與圖6(c)分別繪制了最終保真度F(tf)與γφ和γ、F(tf)與γφ和κ的關(guān)系圖.κ的值從0 到,γ的范圍是從0 到從圖6(a)和圖6(c)可以得到,不同κ值時(shí),最終保真度可以保持在0.985 以上,這表明了所提出的方案對(duì)諧振器衰減是具有魯棒性的.如圖6(b)所示,量子比特退相干對(duì)最終保真度的影響也比較小.即使γ和γφ,最終保真度也超過0.984.因此,該控制相位門對(duì)諧振器衰減和量子比特退相干具有魯棒性.

圖6 不同的退相干因素 κ ,γ 和 γφ 對(duì)最終保真度的影響(a) γ和 κ的影響;(b) γ 和 γφ的影響;(c) 退相干中不含γ時(shí)的影響Fig.6.Influence of different decoherence factors κ ,γ and γφto the final fidelity:(a) The effect of γand κ to fidelity;(b) the effect of γand γφ to fidelity;(c) the effect of κand γφ to fidelity.

5 結(jié)論

本文提出了電路QED 系統(tǒng)中利用超絕熱捷徑方法來快速制備兩比特控制相位量子門的方案.在兩比特信息|0〉,|1〉編碼的基礎(chǔ)上,獲得系統(tǒng)的哈密頓量和有效哈密頓量.運(yùn)用超絕熱捷徑方法進(jìn)行兩次迭代,獲得與系統(tǒng)有效哈密頓量相同形式的修正項(xiàng),以抑制其他本征態(tài)之間的躍遷;根據(jù)演化路徑,求得合適的邊界條件,完成控制相位門的制備.數(shù)值模擬結(jié)果表明,兩比特控制相位量子門可高效制備.當(dāng)初態(tài)為|11〉時(shí),通過系統(tǒng)演化得 ?|11〉;其他態(tài)為初態(tài)時(shí),經(jīng)過演化系統(tǒng)是不會(huì)發(fā)生任何改變.數(shù)值仿真結(jié)果顯示控制相位門最終保真度為0.991.最后對(duì)諧振腔的泄漏、量子比特的自發(fā)輻射和退相位的影響進(jìn)行分析,仿真結(jié)果表明,最終保真度可保持在0.984 以上,所以由此方案制備的控制相位門是魯棒且穩(wěn)定的.但是本方案還存在一定局限性,如圖4 中量子態(tài)|φ2〉,|φ5〉的布居數(shù)高于0.4,比其他系統(tǒng)中相應(yīng)的布居數(shù)大,表明本方案對(duì)激發(fā)態(tài)比較敏感.同時(shí),為了獲得和系統(tǒng)有效哈密頓量具有相同形式的修正項(xiàng),本方案進(jìn)行了兩次迭代,因而計(jì)算量比較大.