變系數(shù)Gordoa-Pickering方程的容許變換與對稱群*

蘇 丹，雍雪林

(1.湛江幼兒師范專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，廣東 湛江 524084；2.華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京102206)

非線性發(fā)展方程，特別是可積方程，無論從數(shù)學(xué)角度還是從物理角度都引起了人們極大的研究興趣[1].近年來，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注變系數(shù)非線性偏微分方程，因?yàn)檫@些方程可以提供更真實(shí)的模型來描述生活中的一些現(xiàn)象，如變系數(shù)非線性薛定諤方程能描述脈沖在非均勻光纖中的傳輸[2-4],變系數(shù)KdV方程能描述非均勻介質(zhì)中的非線性波動現(xiàn)象[5-7].

值得注意的是，變系數(shù)模型都包含以任意常數(shù)或任意函數(shù)形式出現(xiàn)的變量參數(shù).這些參數(shù)也稱為模型中的任意元素，它們往往假定取值在一定范圍內(nèi)(任意常數(shù))或者屬于某些特定類別的函數(shù)(任意函數(shù)).這些任意元素的存在使得變系數(shù)非線性偏微分方程的求解變得十分困難.基于挪威數(shù)學(xué)家Sophus Lie提出的對稱群理論[8-9]，變系數(shù)方程的容許變換被廣泛用于方程的等價分類，從而降低原方程的任意性.筆者從微分方程群理論的角度出發(fā)，擬研究一個含有6個任意函數(shù)的6階變系數(shù)非線性偏微分方程.該方程與包括Kaup-Kupershmidt方程、Sawada-Kotera方程、Boussinesq方程和Hirota-Satsuma方程等在內(nèi)的許多有趣的可積系統(tǒng)密切相關(guān)，研究其對稱群結(jié)構(gòu)對理解這些著名方程及其相關(guān)的物理背景具有重要意義.

1 變系數(shù)Gordoa-Pickering方程

從一個三階散射問題出發(fā)，Gordoa等給出了6階可積的非線性方程[10]

和

并利用達(dá)布變換和貝克隆變換得到了這2個方程的孤立子解[11].筆者將對這2個方程進(jìn)行推廣，給出一個包含6個任意函數(shù)的變系數(shù)Gordoa-Pickering(Variable Coefficient Gordoa-Pickering，VCGP)方程

(1)

其中a(t),b(t),c(t),d(t),e(t),f(t)為任意非零光滑函數(shù).

考慮如下變換：

(2)

如果變換(2)保持方程(1)的形式不變，即

UXXXXXT+A(T)UXXXTUX+B(T)UXXXXUT+C(T)UXXTUXX+D(T)UXXXUXT+

(3)

但可能改變作為系數(shù)的任意函數(shù)，那么稱變換(2)為VCGP方程的容許變換.筆者將采用直接法尋找變換(2)的具體形式.

2 容許變換

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，可以選擇更簡單的形式代替變換(2)，即假設(shè)

(4)

且滿足Tt(XxUu-XuUx)≠0，由此可以得到函數(shù)u=u(x,t)與U=U(X,T)各階導(dǎo)數(shù)之間的變換關(guān)系.例如，

(5)

其中Dt=?t+ut?u+uxt?ux+utt?ut+…和Dx=?x+ux?u+uxx?ux+utx?ut+…是關(guān)于變量t和x的全導(dǎo)數(shù)算子.

將方程組(4)，(5)代入方程(3)，并利用方程(1)進(jìn)行化簡，經(jīng)過一系列分析和計算可得如下結(jié)論：

定理1方程(1)的容許變換為

X=c1x+c2,T=T(t),U=c3u+c4.

其中：ci(i=1,2,3,4)為任意常數(shù)，滿足c1c3≠0；T(t)為任意光滑函數(shù)，滿足Tt≠0，且方程(1)和(3)中的任意系數(shù)變換關(guān)系為

3 李點(diǎn)對稱群與相似約化

由定理1可知方程(1)的容許變換均為局部保纖變換，于是可以從容許變換直接得到該方程保持解不變的李點(diǎn)對稱群.

定理2對于任意系數(shù)a(t),b(t),c(t),d(t),e(t),f(t)，方程(1)的李點(diǎn)對稱變換為

對應(yīng)的群無窮小生成元為

V1=?x,V2=?u,V3=u?u-x?x.

(e+2f)w2-(6a+24b+4c+6d)w+120=0.

上述李點(diǎn)對稱群適用于含有任意系數(shù)且保持系數(shù)不變的方程.特別地，當(dāng)任意系數(shù)均為常數(shù)時，有以下結(jié)論：

定理3當(dāng)方程(1)中的任意系數(shù)均為常數(shù)時，該方程的李點(diǎn)對稱變換為

對應(yīng)的群無窮小生成元為

V1=?x,V2=?u,V3=u?u-x?x,Vα=α(t)?t，

其中T(t),α(t)為任意非零光滑函數(shù).

此時，對應(yīng)生成元V1+V2+Vα的相似約化為

u=F(t)+w(z),z=x-F(t),

(6)

再假設(shè)φ(z)滿足橢圓方程

(7)

將(7)式代入(6)式后得到一個關(guān)于φ(z)的多項(xiàng)式，提取φ(z)各次方的系數(shù)進(jìn)行求解，可得如下4種情況：

根據(jù)以上4種情況，由方程(7)的解φ(z)可以構(gòu)造出方程(1)的精確解.這里以第4種情況為例加以說明.不妨假設(shè)b=4m2(m≥0),k3=1，此時，方程(7)有解

φ(z)=-4m2sech2(mz).

于是，當(dāng)方程(1)中任意系數(shù)滿足

a(t)=a,b(t)=4m2,c(t)=-d-9,d(t)=d,e(t)=-(4m2+3)(4m2+3+a),

f(t)=4m2(4m2+3+a)

時，方程(1)存在扭結(jié)型孤子解

u(x,t)=F(t)-4mtanh(m(x-F(t))).

(11a+35b+11c+17d)wzwzz-(2e+f)wwzwzz=0.

這是一個6階常微分方程，筆者將在以后的工作中對其進(jìn)行深入研究.

4 結(jié)語

利用直接方法找到了一個包含6個任意函數(shù)的6階變系數(shù)偏微分方程的容許變換，該變換保持方程形式不變但可能改變方程中的任意系數(shù).在此基礎(chǔ)上，給出了保持方程系數(shù)不變的李點(diǎn)對稱變換及相應(yīng)的相似約化，并構(gòu)造出特殊的群不變解.利用定理2和定理3，可進(jìn)一步研究包含6個任意函數(shù)的6階變系數(shù)偏微分方程的對稱約化、精確解和守恒律等.