一類分?jǐn)?shù)階四點邊值問題正解的存在性*

潘欣媛,何小飛

(1.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)張家界學(xué)院，湖南 張家界 427000)

1 問題的提出

近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題引起了許多學(xué)者的關(guān)注[1-10].分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性的研究方法，主要有不動點理論、上下解法、單調(diào)迭代法和變分法等[3-10].Tian等[7]利用格林函數(shù)和單調(diào)迭代法研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性:

(1)

2 預(yù)備知識

定義1[1]函數(shù)y:[0,+∞)→R的α(α>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2[1]?t>0,連續(xù)函數(shù)y:[0,+∞)→R的α(α>0)階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為

其中N是大于或等于α的最小正整數(shù).

引理2[1]設(shè)y∈L(0,1):

(1)若ρ>σ>0,則DσIρy(t)=Iρ-σy(t),DσIσy(t)=y(t);

引理3[1](Arzela-Ascoli定理) 集合G?PC([0,T],Rn)相對緊當(dāng)且僅當(dāng)G一致有界且等度連續(xù).

定理1若h∈C[0,1],3

(2)

證明由引理1及u(j)(0)=0，可得

(3)

由(3)式及引理2，可得

由此可知，邊值問題(2)有唯一解

證畢.

定理2若h∈C[0,1],3

(4)

由此可知，

于是

證畢.

定理3函數(shù)G(t,s),H(t,s)∈C([0,1]×[0,1])有以下性質(zhì):

(1)對于?t,s∈[0,1],有G(t,s)≥g(t,s)≥0,H(t,s)≥h(t,s)≥0,其中

證明由G(t,s),H(t,s)的定義可知G(t,s),H(t,s)∈C([0,1]×[0,1]).

當(dāng)0≤s≤t≤1,s≤ξ時,

那么對于?t,s∈[0,1],有G(t,s)≥g(t,s)≥0.

當(dāng)0≤s≤t≤1,s≤η時,

那么對于?t,s∈[0,1],有H(t,s)≥h(t,s)≥0.

顯然,對于?t,s∈[0,1],有

證畢.

3 主要結(jié)果及其證明

(5)

定理4T:P→P是全連續(xù)算子.

證明對于?u∈P,由f的定義、(5)式及定理3,有

于是T:P→P.又由f,G(t,s),H(t,s)的連續(xù)性可知T:P→P是連續(xù)的.

其中B(p,q)為Beta函數(shù),從而T(Ω)一致有界.

當(dāng)t2→t1時,|Tu(t1)-Tu(t2)|→0,即T(Ω)等度連續(xù).由引理3可知T:P→P是全連續(xù)算子.證畢.

定理5設(shè)f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),存在正常數(shù)r1,r2(r1≠r2)使得以下假設(shè)成立:

(H1)對于?(t,u)∈(0,1)×[0,r1],有f(t,u)≤φp(Mr1);

(H2)對于?(t,u)∈(0,1)×[r1,r2],有f(t,u)≥φp(Nr2).

那么,邊值問題(1)至少存在1個正解u,使得min{r1,r2}≤‖u‖≤max{r1,r2}.

證明由定理4可知T:P→P全連續(xù).設(shè)Ω1={u∈P:‖u‖

對于?u∈?Ω1,有0≤u(t)≤r1,t∈[0,1].由(H1)，可得

于是‖Tu‖≤‖u‖.

對于?u∈?Ω2,有0≤u(t)≤r2,t∈[0,1].由(H2)，可得

于是‖Tu‖≥‖u‖.