基于非線性理論的接觸網(wǎng)找形方法研究

羅 群，梅桂明，趙 晨，王江文，邱江洋，韓寶峰

(1.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610031；2.廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510650；3.中車青島四方機(jī)車車輛研究所 重慶研發(fā)中心，重慶 401133；4.保德利電氣設(shè)備有限責(zé)任公司，陜西 寶雞 721000)

高速列車通過車頂受電弓與接觸網(wǎng)穩(wěn)定接觸以獲取電能，進(jìn)行電力牽引，其運(yùn)行性能很大程度上取決于受電弓與接觸網(wǎng)之間的動(dòng)態(tài)相互作用[1-2]。而深入開展受電弓與接觸網(wǎng)動(dòng)態(tài)相互作用的仿真計(jì)算研究，對(duì)高速列車運(yùn)行性能的提升有著重要作用[3]。近年來，針對(duì)這一課題，建立了不同的仿真計(jì)算模型用來模擬受電弓與接觸網(wǎng)的動(dòng)態(tài)相互作用關(guān)系，其建模方法主要分為兩種：基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(ANCF)的有限元方法[4-7]以及空間有限元法[8-10]。但無論是仿真模型還是建模方法的選擇，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的初始平衡構(gòu)型將會(huì)對(duì)仿真結(jié)果產(chǎn)生極大的影響[11-12]。因此，仿真前準(zhǔn)確獲得接觸網(wǎng)系統(tǒng)的初始平衡構(gòu)型顯得尤為重要。

通過坐標(biāo)系描述的接觸網(wǎng)系統(tǒng)幾何形貌稱為接觸網(wǎng)構(gòu)型[13]，接觸網(wǎng)系統(tǒng)在其自身重力、張力體系以及邊界條件的約束下將形成預(yù)設(shè)弛度的內(nèi)應(yīng)力平衡的初始構(gòu)型[14]，而確定這一滿足平衡的初始構(gòu)型的過程，稱為找形[13]。目前，找形中使用較多的分析方法為非線性位移法[15]和力密度法[16]。非線性位移法即在所求結(jié)構(gòu)的幾何變化的基礎(chǔ)上，尋找達(dá)到規(guī)定力分布的平衡構(gòu)型。該方法從初始力分布、懸索之間的連續(xù)性以及邊界條件，獲得初始應(yīng)力構(gòu)型和內(nèi)應(yīng)力分布。而力密度法，則是通過規(guī)定力密度，將懸索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的非線性平衡方程轉(zhuǎn)換為線性方程組。

在上述分析方法的基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種具體的接觸網(wǎng)找形方法。文獻(xiàn)[4]提出利于求解懸索等大變形結(jié)構(gòu)的ANCF方法進(jìn)行接觸網(wǎng)找形，其考慮了接觸網(wǎng)兩節(jié)點(diǎn)有限元單元的軸向和彎曲變形，并通過分段方程控制張力。文獻(xiàn)[12]提出懸鏈線方程找形法，通過懸鏈線一般表達(dá)式，建立接觸網(wǎng)整體力平衡式求解其初始構(gòu)型。文獻(xiàn)[17]采用拋物線找形，將接觸網(wǎng)離散為拋物線單元，建立承力索力矩平衡方程式求解承力索初始構(gòu)型。文獻(xiàn)[9]采用有限元法找形，使用歐拉-伯努利梁?jiǎn)卧x散接觸網(wǎng)，通過吊弦張力的最小誤差確定吊弦長(zhǎng)度，最終得到接觸網(wǎng)的初始平衡構(gòu)型。

對(duì)比上述方法，ANCF法找形結(jié)果雖然具有良好的計(jì)算精度，但單元數(shù)較多且涉及高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，有限元法單元數(shù)也較多，求解規(guī)模均較大；對(duì)于拋物線法找形，計(jì)算過程中只考慮其線性項(xiàng)而忽略了非線性項(xiàng)，導(dǎo)致跨中部分吊弦長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差較大；而懸鏈線方程找形方法，其基于非線性理論，充分考慮了計(jì)算過程的非線性項(xiàng)，能夠準(zhǔn)確表示吊弦與吊弦間的接觸網(wǎng)單元，且該方法求解規(guī)模取決于吊弦數(shù)量與控制張力數(shù)量，求解規(guī)模小，即該方法同時(shí)具有計(jì)算精度高、求解快速等優(yōu)點(diǎn)。因此，本文將使用非線性理論下的懸鏈線方程計(jì)算獲取接觸網(wǎng)初始平衡構(gòu)型。與文獻(xiàn)[12]不同地是，本文將使用懸鏈線方程的精確解析式，并結(jié)合分模法[18]的思想進(jìn)行接觸網(wǎng)找形，即先分離求得接觸線初始平衡構(gòu)型，再基于懸鏈線方程和初始構(gòu)型下的單元節(jié)點(diǎn)力平衡關(guān)系得到承力索、彈性吊索等結(jié)構(gòu)的初始平衡構(gòu)型，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，簡(jiǎn)化了求解形式并降低了求解規(guī)模。

1 非線性基本理論

纜索的受力計(jì)算理論主要有線性理論和非線性理論，其中線性理論假定垂向載荷沿著索跨度均布，推導(dǎo)得到拋物線方程，而非線性理論假定垂向載荷沿著索長(zhǎng)度均勻分布，推導(dǎo)得到懸鏈線方程，同時(shí)，在推導(dǎo)過程中假設(shè)纜索為理想柔性且其材料符合胡克定律[19]。

高速鐵路接觸網(wǎng)系統(tǒng)中接觸線、承力索以及彈性吊索均為纜索結(jié)構(gòu)，重力荷載沿索長(zhǎng)均勻分布，彎曲剛度可忽略，與非線性理論相契合。同時(shí)，文獻(xiàn)[20]也驗(yàn)證了懸鏈線單元對(duì)含有初始彎曲的電纜建模的可靠性以及實(shí)用性。因此，可將非線性理論應(yīng)用于接觸網(wǎng)找形，并通過懸鏈線方程表示離散的接觸網(wǎng)懸鏈線單元，其中包括了不等高與等高懸鏈線方程。

不等高懸索計(jì)算簡(jiǎn)圖見圖1。圖1(a)表示荷載q沿索長(zhǎng)均勻分布且兩端分別懸掛于AB兩點(diǎn)的不等高懸索，AB兩點(diǎn)間距為L(zhǎng)，高度為h，索兩端張力分別為T1、T2，其分量為T1x、T1y、T2x、T2y。該懸索的任意微分單元dx受力分析見圖1(b)，Tx為索張力的水平分量。

圖1 不等高懸索計(jì)算簡(jiǎn)圖

根據(jù)微分單元的靜力平衡條件，有

( 1 )

式( 1 )可化簡(jiǎn)為

( 2 )

式中：Tx為恒定值，并進(jìn)一步的可以得到

( 3 )

求解式( 3 )可以得到坐標(biāo)系oxy中懸索AB的懸鏈線方程。滿足邊界條件的解為

( 4 )

式中：D1、D2為由其余參數(shù)計(jì)算得到的常數(shù)項(xiàng);C為常數(shù)，計(jì)算式為

( 5 )

同時(shí)，為便于描述各接觸網(wǎng)單元，并根據(jù)A、B兩端點(diǎn)坐標(biāo)值，D1、D2又可分別定義為

( 6 )

D2=-C·coshD1

( 7 )

式中：ρ為索的線密度；g為重力加速度；(x1,y1)、(x2,y2)分別為A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。

注意到式( 4 )為坐標(biāo)系oxy中的懸鏈線方程，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可得到全局坐標(biāo)系OXY中的懸鏈線方程為

( 8 )

式( 8 )即為全局坐標(biāo)系下，表示懸索AB在重力荷載沿索長(zhǎng)分布作用下的不等高懸鏈線方程。

當(dāng)A、B兩端點(diǎn)等高時(shí)，y1=y2，代入式( 6 )有

( 9 )

將式( 9 )代入式( 8 )則可得等高懸鏈線方程。

2 接觸網(wǎng)找形研究

2.1 接觸網(wǎng)模型

接觸網(wǎng)系統(tǒng)的懸掛導(dǎo)線主要由接觸線、承力索以及吊弦組成，我國(guó)高速鐵路常用的兩種結(jié)構(gòu)[21]見圖2。圖2(a)為簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)，主要結(jié)構(gòu)為承力索、接觸線和吊弦，長(zhǎng)度不等的吊弦通過線夾將承力索與接觸線進(jìn)行連接。與簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)相比，彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)則在承力索的兩跨之間增加了結(jié)構(gòu)彈性吊索，見圖2(b)。

圖2 簡(jiǎn)單鏈型、彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)示意

本文將使用基于非線性理論的懸鏈線單元對(duì)接觸線、承力索以及彈性吊索進(jìn)行離散，以吊弦數(shù)為nd的單跨彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例，將相鄰吊弦間、吊弦與定位點(diǎn)間的承力索、接觸線以及彈性吊索均離散為懸鏈線單元，則對(duì)應(yīng)單元總數(shù)N=2(nd+1)+4。

此時(shí)考慮左右各2個(gè)彈性吊索懸鏈線單元，若計(jì)算多跨則應(yīng)減去重復(fù)計(jì)算的單元數(shù)。而對(duì)于簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)，減去彈性吊索的懸鏈線單元數(shù)即可。

2.2 接觸網(wǎng)找形流程

本文使用非線性理論對(duì)接觸網(wǎng)進(jìn)行找形，流程見圖3。由于接觸網(wǎng)在鋪架的過程中，吊弦數(shù)量以及接觸線的初始構(gòu)型具有預(yù)設(shè)條件，即接觸線的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)已知。根據(jù)此結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將接觸網(wǎng)離散為懸鏈線單元后，先分離并求解接觸線平衡構(gòu)型，并計(jì)算出各節(jié)點(diǎn)的吊弦力；然后整體求解承力索、彈性吊索和吊弦的平衡構(gòu)型，利用懸鏈線方程式( 8 )初步表示平衡構(gòu)型下各結(jié)構(gòu)的懸鏈線單元，并確定其中未知參數(shù)數(shù)量Nx，通過吊弦力平衡關(guān)系以及承力索、彈性吊索端部張力平衡關(guān)系，建立求解未知參數(shù)方程組；最后根據(jù)方程組的非線性，使用牛頓-拉夫森法迭代求解。解出未知參數(shù)后，進(jìn)一步可得到初始平衡構(gòu)型下承力索和彈性吊索各懸鏈線單元解析式，從而完成接觸網(wǎng)找形。

圖3 接觸網(wǎng)找形流程

2.3 接觸網(wǎng)找形理論

以彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例進(jìn)行接觸網(wǎng)找形計(jì)算，其主要結(jié)構(gòu)為接觸線、承力索、彈性吊索以及吊弦。含有吊弦數(shù)為nd的彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)分析示意圖見圖4，采用下標(biāo)cw、sw、ms、mw分別表示與接觸線、彈性吊索、彈性吊索上方承力索部分(A′C、DA″段)、承力索中間部分(CD段)的相關(guān)參數(shù)，如Tcw、Tsw、Tms、Tmw表示接觸線、彈性吊索、彈性吊索上方承力索部分、承力索中間部分的控制張力。需要注意地是，由于存在彈性吊索，一跨內(nèi)的承力索控制張力不再相等，此時(shí)，設(shè)計(jì)要求的承力索張力Tmw控制在圖4中CD段，而A′C、DA″段的控制張力Tms則需根據(jù)力平衡關(guān)系求解出。

圖4 彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)分析

2.3.1 接觸線計(jì)算

將接觸網(wǎng)系統(tǒng)離散為懸鏈線單元后，先對(duì)接觸線的初始平衡構(gòu)型進(jìn)行計(jì)算。其中，接觸線的定位點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間均離散為懸鏈線單元，由式( 8 )可得各單元方程為

k=0,1,2,…,nd

(10)

(11)

(12)

(13)

表示出接觸線的懸鏈線方程組后即確定了接觸線的初始平衡構(gòu)型。此時(shí)，還需求出接觸線對(duì)吊弦的作用力，為承力索、彈性吊索和吊弦的求解做準(zhǔn)備。接觸線對(duì)第i吊弦作用力可表示為

(14)

(15)

2.3.2 承力索、彈性吊索與吊弦整體計(jì)算

彈性吊索上方承力索部分(A′C、DA″段)、承力索中間部分(CD段)、彈性吊索的控制張力不同，但每部分的水平張力為恒定值，可以分別對(duì)其建立懸鏈線單元方程。彈性吊索的B′B、EE′對(duì)應(yīng)的懸鏈線單元分布在兩跨之間，在對(duì)單跨模型找形時(shí)將其考慮在內(nèi)，即單跨模型考慮左右各2個(gè)彈性吊索懸鏈線單元。

通過式( 8 )分別建立承力索、彈性吊索的懸鏈線單元方程為

k=1,2,…,nd-1

(16)

k=0,nd

(17)

n=1,2,4,5

(18)

同時(shí)，Cmw、Cms以及Csw可表示為

(19)

連接承力索和接觸線的nd-2個(gè)吊弦力平衡方程、連接彈性吊索和接觸線的2個(gè)吊弦力平衡方程分別為

i=jj=2,…,nd-1

(20)

i=1,ndn=1,4

(21)

(22)

(23)

式(20)可由式(14)求得，表達(dá)式為

(24)

(25)

式(21)中其求解形式與式(14)、式(24)一致，即

(26)

其中

(27)

接著，建立承力索以及吊弦端部張力平衡方程為

(28)

(29)

(30)

以上已建立方程數(shù)為nd+3，還需補(bǔ)充3個(gè)方程才能求解。承力索單元A′C的端部張力Tms未知，點(diǎn)C為連接三部分的節(jié)點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)C建立力平衡方程可得

(31)

(32)

注意到節(jié)點(diǎn)D也為承力索與彈性吊索的連接點(diǎn)，建立節(jié)點(diǎn)D垂向力平衡方程為

(33)

聯(lián)合式(20)～式(33)可以建立含有Nx個(gè)方程的非線性方程組，采用牛頓-拉夫森法對(duì)該非線性方程組進(jìn)行求解，可將其未知數(shù)全部求解出，即將承力索與彈性吊索的初始平衡構(gòu)型以及吊弦長(zhǎng)度求解出。至此，彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)的找形計(jì)算全部完成。

對(duì)于簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)，見圖2，承力索的定位點(diǎn)下方未設(shè)有彈性吊索。此時(shí)，Tms=Tmw，即整根承力索控制張力為恒定值，同樣可以通過上述彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)找形計(jì)算過程完成接觸網(wǎng)找形。

2.3.3 迭代算法

由于牛頓-拉夫森迭代法具有收斂的快速性和準(zhǔn)確性等優(yōu)點(diǎn)[22]，本文將使用該方法對(duì)2.3.2節(jié)組建的非線性方程組進(jìn)行求解，求解流程見圖5。

圖5 非線性方程組求解流程

設(shè)置未知參數(shù)的迭代初值，組成初值矩陣X；將對(duì)應(yīng)初值代入各方程中組建非線性方程組F=0；計(jì)算出Jacobi矩陣J，并由H=-J-1F得出校正矩陣H；判斷校正矩陣H的二范數(shù)是否滿足預(yù)設(shè)條件，若不滿足，則使用校正后矩陣X=X+H再次計(jì)算，若滿足，則輸出矩陣X。此時(shí)，輸出的X為未知參數(shù)的數(shù)值解，將其代入式(16)～式(18)中可將承力索、彈性吊索以及吊弦的平衡構(gòu)型表示出，即完成接觸網(wǎng)的找形。

3 模型驗(yàn)證

上述方法將用于不同接觸網(wǎng)模型的找形，確定模型的初始平衡構(gòu)型。接觸網(wǎng)的找形結(jié)果可通過吊弦的長(zhǎng)度以及接觸線的平衡構(gòu)型來評(píng)估[23]，因此，將算例相關(guān)計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)或已發(fā)表文獻(xiàn)中相同邊界條件的模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，用于驗(yàn)證本文找形方法的準(zhǔn)確性、有效性和工程實(shí)用性。

3.1 簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型

模型1選擇歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN 50318—2018中簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)的參考模型[23]，該模型參數(shù)用于檢查接觸網(wǎng)的新生產(chǎn)線是否合格，也可用于對(duì)仿真模型的初步檢查。文獻(xiàn)[3]中將該模型用于現(xiàn)有10家機(jī)構(gòu)開發(fā)使用的不同模擬軟件找形結(jié)果對(duì)比。該接觸網(wǎng)模型的幾何參數(shù)見表1，該接觸網(wǎng)模型的物理參數(shù)見表2。

表1 模型1接觸網(wǎng)幾何參數(shù)

表2 模型1接觸網(wǎng)物理參數(shù)

本文方法得到的模型1接觸網(wǎng)模型初始平衡構(gòu)型見圖6。將計(jì)算所得吊弦長(zhǎng)度與標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比，結(jié)果見表3，由于該模型具有對(duì)稱性，只將前5吊弦進(jìn)行對(duì)比，由表3可知，吊弦長(zhǎng)度結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值非常接近，最大相對(duì)誤差為0.34%，說明了本文找形方法的準(zhǔn)確性。

圖6 簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型初始平衡構(gòu)型

表3 吊弦長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果對(duì)比

同時(shí)，對(duì)找形結(jié)果中接觸線初始構(gòu)型進(jìn)行評(píng)估。文獻(xiàn)[3]中各家機(jī)構(gòu)由于邊界條件考慮不一致，其所得的接觸線初始構(gòu)型雖存在差異，但結(jié)果基本一致。將本文找形方法所求構(gòu)型與其中一家機(jī)構(gòu)PACDIN[24]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見圖7。將吊弦力與該機(jī)構(gòu)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見表4，雖然結(jié)果存在一定差異，但最大相對(duì)誤差為1.720%，未超過2%，可認(rèn)為利用本文方法找形結(jié)果正確，且準(zhǔn)確性好。

圖7 接觸線初始構(gòu)型對(duì)比

表4 吊弦力計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.2 京津城際鐵路接觸網(wǎng)模型

模型2實(shí)際設(shè)計(jì)京津城際鐵路接觸網(wǎng)模型，文獻(xiàn)[17]根據(jù)京津線設(shè)計(jì)要求通過拋物線找形法完成標(biāo)準(zhǔn)跨距接觸網(wǎng)的找形，本文將使用文獻(xiàn)中相關(guān)參數(shù)進(jìn)行找形計(jì)算，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的精確性。模型2的幾何參數(shù)見表5，物理參數(shù)見表6。

表5 模型2接觸網(wǎng)幾何參數(shù)

表6 模型2接觸網(wǎng)物理參數(shù)

京津線接觸網(wǎng)單跨模型找形結(jié)果見圖8，提取吊弦長(zhǎng)度以及吊弦力等相關(guān)參數(shù)與文獻(xiàn)[17]參考值進(jìn)行對(duì)比，見表7。

圖8 京津城際鐵路接觸網(wǎng)模型初始平衡構(gòu)型

表7 吊弦長(zhǎng)度及吊弦力計(jì)算結(jié)果對(duì)比

從表7中可以看出，在吊弦力計(jì)算方面，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[17]的計(jì)算值、仿真值基本一致；而在吊弦長(zhǎng)度上，本文計(jì)算結(jié)果較文獻(xiàn)[17]的計(jì)算值更接近于其仿真值，最大相對(duì)誤差僅為0.4%，即本文方法較拋物線找形法能夠更精準(zhǔn)地計(jì)算接觸網(wǎng)模型吊弦長(zhǎng)度。

3.3 彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型

模型3選擇標(biāo)準(zhǔn)EN 50318—2018中彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)的實(shí)測(cè)線路模型[23]，對(duì)該接觸網(wǎng)模型中錨段關(guān)節(jié)進(jìn)行找形，與前幾個(gè)算例不同地是，本算例接觸網(wǎng)模型帶有坡度，且含有彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)、過渡跨以及簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)等常用接觸網(wǎng)模型，具有代表性。該接觸網(wǎng)模型的幾何參數(shù)見表8，該接觸網(wǎng)模型的物理參數(shù)見表9。

表8 模型3接觸網(wǎng)幾何參數(shù)

表9 模型3接觸網(wǎng)物理參數(shù)

通過本文方法對(duì)接觸網(wǎng)模型3進(jìn)行找形，所得到的接觸網(wǎng)初始平衡構(gòu)型見圖9。由于本模型第一跨為無預(yù)弛度的彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)，第二跨(錨段關(guān)節(jié)過渡跨)中，左側(cè)含有彈性吊索而右側(cè)為簡(jiǎn)單鏈型，且整垮具有一定坡度，涵蓋了現(xiàn)有接觸網(wǎng)不同結(jié)構(gòu)、邊界條件。因此，提取第一、二跨吊弦長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)EN 50318—2018中實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，其結(jié)果見表10、表11。

圖9 接觸網(wǎng)錨段關(guān)節(jié)處初始平衡構(gòu)型

表10 模型3第一跨吊弦長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表11 模型3第二跨吊弦長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果對(duì)比

通過以上對(duì)比可知，本文計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)實(shí)測(cè)值非常接近，最大相對(duì)誤差僅為0.668%，說明了本文方法找形結(jié)果準(zhǔn)確性好，且證明了方法的工程實(shí)用性。

4 結(jié)論

本文進(jìn)行了一種基于非線性理論的接觸網(wǎng)找形方法研究，并以彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例建立了接觸網(wǎng)求解模型。將接觸網(wǎng)相鄰吊弦間、吊弦與定位點(diǎn)間的承力索、接觸線以及彈性吊索均離散為基于非線性理論的懸鏈線單元后，先分離求解接觸線初始構(gòu)型；再通過力平衡關(guān)系搭建用于求解承力索、彈性吊索以及吊弦平衡構(gòu)型的非線性方程組，其中包括吊弦力平衡關(guān)系以及結(jié)構(gòu)控制張力平衡關(guān)系；最后使用牛頓-拉夫森迭代法求解，得到接觸網(wǎng)初始平衡構(gòu)型，從而完成找形。通過三個(gè)算例驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

(1)接觸網(wǎng)找形過程的求解規(guī)模取決于吊弦數(shù)量與控制張力數(shù)量，求解規(guī)模相對(duì)較小，并能快速求解。

(2)對(duì)歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN 50318—2018中簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)的參考模型進(jìn)行找形計(jì)算，結(jié)果對(duì)比表明，吊弦長(zhǎng)度的計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值對(duì)比，最大僅相差0.34%。接觸線初始平衡構(gòu)型與某機(jī)構(gòu)找形結(jié)果具有良好的一致性，所得吊弦力與其最大相差1.720%，滿足工程應(yīng)用要求，證明了本文找形方法的準(zhǔn)確性和有效性。

(3)對(duì)京津城際鐵路接觸網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)跨進(jìn)行找形計(jì)算，結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比顯示，吊弦力計(jì)算基本一致，而吊弦長(zhǎng)度計(jì)算更接近文獻(xiàn)仿真計(jì)算值，驗(yàn)證了本文找形方法的精確性。

(4)對(duì)歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN 50318—2018中彈性鏈型懸掛接觸網(wǎng)的實(shí)測(cè)線路模型進(jìn)行找形計(jì)算，結(jié)果對(duì)比顯示，吊弦長(zhǎng)度的計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值對(duì)比，最大僅相差0.668%，驗(yàn)證了本文找形方法的工程實(shí)用性。

(5)已實(shí)現(xiàn)對(duì)簡(jiǎn)單鏈型、彈性鏈型、錨段關(guān)節(jié)等接觸網(wǎng)模型找形，也適用于其他類型、不同邊界條件的接觸網(wǎng)找形。同時(shí)，找形結(jié)果可作為初始條件用于受電弓與接觸網(wǎng)的動(dòng)態(tài)仿真計(jì)算，也可為實(shí)際線路的接觸網(wǎng)設(shè)計(jì)提供參考。