基于移動(dòng)荷載傅里葉譜的橋梁共振頻域分析

李錦華，張煥濤，陳水生，劉全民

(華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,江西 南昌 330013)

列車速度是高速鐵路技術(shù)水平的最主要標(biāo)志，然而，列車速度的不斷提升不僅會加劇橋梁動(dòng)力響應(yīng)，還會減少鐵路橋梁壽命。在高速列車作用下，鐵路橋梁除了避免產(chǎn)生過大的變形，還需要滿足乘客舒適度要求。因此，列車荷載作用下高速鐵路橋梁的共振響應(yīng)研究至關(guān)重要[1-2]。

移動(dòng)荷載與車-橋耦合是研究列車作用下橋梁共振響應(yīng)的兩類模型[3]。對于列車激勵(lì)下橋梁共振問題的研究，可通過車-橋耦合模型的數(shù)值模擬進(jìn)行，如橋梁跨徑、荷載速度、間距和荷載數(shù)量等參數(shù)的影響分析[4-6]。蘇木標(biāo)等[5]采用車-橋耦合模型，發(fā)現(xiàn)橋梁共振的發(fā)生和發(fā)展受到許多參數(shù)的影響，如橋梁的跨度、剛度和阻尼，以及車輛的長度、懸掛彈簧剛度等參數(shù)。黃文杰等[6]基于列車-軌道-橋梁系統(tǒng)有限元分析，分析了橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)對橋梁共振的影響，發(fā)現(xiàn)橋梁質(zhì)量、剛度、阻尼比等參數(shù)變化將會對橋梁共振產(chǎn)生重要影響。與移動(dòng)荷載模型相比，車-橋耦合模型計(jì)算得到的橋梁振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果往往偏小[7-8]。因此，對橋梁振動(dòng)響應(yīng)研究時(shí)，可以采用移動(dòng)荷載模型來模擬列車對橋梁的激勵(lì)荷載。呂龍等[9]采用移動(dòng)荷載模型研究了斜拉橋的縱向共振機(jī)理，推導(dǎo)了縱向共振速度。高傳偉等[10]通過移動(dòng)荷載模型對軌道交通橋梁進(jìn)行了共振和消振響應(yīng)的研究。文獻(xiàn)[11-14]首先根據(jù)發(fā)生機(jī)理的不同對橋梁共振進(jìn)行了分類，然后分別進(jìn)行單個(gè)移動(dòng)荷載、等間距移動(dòng)荷載、非等間距移動(dòng)荷載作用下的橋梁共振與消振響應(yīng)研究，并在時(shí)域內(nèi)，理論推導(dǎo)了引起橋梁發(fā)生共振及消振的移動(dòng)荷載速度。張鐸等[15]將等間距列車荷載簡化為簡諧移動(dòng)荷載，分析了移動(dòng)荷載的諧振頻率、速度等參數(shù)對橋梁發(fā)生共振響應(yīng)的影響。而實(shí)際上，以共振速度行駛的移動(dòng)荷載，有時(shí)并不能使得橋梁自由振動(dòng)時(shí)期產(chǎn)生最大位移響應(yīng)。對于單個(gè)移動(dòng)荷載從低速到高速勻速通過橋梁后，會使得橋梁振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生一系列極值點(diǎn)，其所對應(yīng)的移動(dòng)荷載速度并不是共振速度[11,16-17]。移動(dòng)列車荷載激勵(lì)下的橋梁振動(dòng)響應(yīng)主要是在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行研究，其相關(guān)理論推導(dǎo)過于復(fù)雜，且不同速度的移動(dòng)荷載所激勵(lì)的橋梁振動(dòng)響應(yīng)需要反復(fù)計(jì)算求解。相對于時(shí)域研究，頻域分析直觀且無需求解微分方程等有諸多優(yōu)勢。

因此，本文將研究建立多個(gè)移動(dòng)荷載激勵(lì)下橋梁共振響應(yīng)的頻域分析法，將對移動(dòng)荷載激勵(lì)下的橋梁運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行傅里葉變換，進(jìn)行多個(gè)移動(dòng)荷載激勵(lì)下的橋梁位移傅里葉譜、移動(dòng)荷載傅里葉譜的理論推導(dǎo)；然后通過引入兩個(gè)參數(shù)(無量綱速度與間跨比)對移動(dòng)荷載傅里葉譜進(jìn)行幅值分析，從而建立移動(dòng)荷載速度與橋梁最大位移響應(yīng)之間的關(guān)系；最后以簡支梁為例來驗(yàn)證理論分析的正確性和移動(dòng)荷載速度公式的有效性。

1 移動(dòng)荷載傅里葉譜

移動(dòng)列車激勵(lì)下的橋梁如圖1所示，橋梁梁體可視為歐拉-伯努利梁，其單位質(zhì)量為m、結(jié)構(gòu)阻尼為c、彎曲剛度為EI；移動(dòng)列車可簡化為等間距排列的移動(dòng)荷載模型，即在每節(jié)車廂形心處簡化為一個(gè)集中力P0，且相鄰集中力的間距d相等，該間距為整節(jié)車廂的長度。因此，對于具有Np節(jié)車廂的列車，可簡化為Np個(gè)集中力Pk(k=1,2,3,…,Np)的移動(dòng)荷載，總長度Lp=(Np-1)·d，如圖1(b)所示。

圖1 列車及移動(dòng)荷載模型

對于Np個(gè)移動(dòng)集中荷載Pk(k=1,2,3，…,Np)以速度v勻速通過跨徑為L的簡支梁橋，在x位置t時(shí)刻的橋梁豎向位移y(x,t)滿足運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

式中：tk為第k個(gè)移動(dòng)集中力上橋的時(shí)間；dk為第k個(gè)集中荷載與第1個(gè)集中荷載的間距；δ為Diarc函數(shù)；S(t-tk)=S0(t-tk)-S0(t-tk-L/v)可確定移動(dòng)荷載是否作用在橋上，其中S0為Heaviside函數(shù)。

根據(jù)振型疊加法，橋梁豎向位移y(x,t)可表示為

(2)

式中：qn(t)為第n階廣義坐標(biāo)；φn(x)為橋梁結(jié)構(gòu)的第n階振型函數(shù)。

將式(2)代入式(1)，進(jìn)一步考慮振型正交性，可將橋梁結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程分解為n個(gè)相互獨(dú)立的微分方程，即

(3)

式中：ωn、ξn分別為橋梁結(jié)構(gòu)的第n階圓頻率、阻尼比。

簡支梁的陣型函數(shù)為正弦函數(shù)，根據(jù)傅里葉變換，運(yùn)動(dòng)微分方程式(3)在頻域內(nèi)的解為

Qn(ω)=Hn(ω)Fn(ω)

(4)

式中：Qn(ω)為廣義坐標(biāo)qn(t)的傅里葉變換；ω為圓頻率；Hn(ω)為傳遞函數(shù)；Fn(ω)為第n階振型的移動(dòng)荷載傅里葉譜。Hn(ω)、Fn(ω)計(jì)算式分別為

(5)

(6)

當(dāng)振型分別為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，則

(7)

于是，對應(yīng)的多個(gè)移動(dòng)集中荷載引起的橋梁位移傅里葉譜為

(8)

2 移動(dòng)荷載激勵(lì)下的橋梁共振分析

文獻(xiàn)[13]研究發(fā)現(xiàn)，簡支梁橋的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算僅考慮第一階豎向振型就可滿足精度要求。因此，為了簡化分析，僅考慮簡支梁第一階陣型，且不計(jì)結(jié)構(gòu)阻尼，對等間距移動(dòng)荷載引起的橋梁位移傅里葉譜進(jìn)行取模，可獲得簡支梁橋位移傅里葉幅值譜，即

|Y1(ω)|=|Q1(ω)·φ1(x)|=|H1(ω)F1(ω)φ1(x)|=

(9)

對于簡支梁橋，其結(jié)構(gòu)第一階振型函數(shù)最大值出現(xiàn)在跨中，即當(dāng)x=0.5L時(shí)，φ1(x)出現(xiàn)最大值。而當(dāng)ω=ω1時(shí)(ω1為基頻)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)傳遞函數(shù)H1(ω)值最大。此時(shí)，橋梁位移傅里葉幅值譜(式(9))是否出現(xiàn)最大值，完全取決于移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜|F1(ω1)|的大小。

|F1(ω1)|=

(10)

由式(10)可知，橋梁跨度L、基頻ω1、移動(dòng)荷載間距d及移動(dòng)荷載個(gè)數(shù)Np都將會影響|F1(ω1)|的大小。為簡化其表達(dá)式，引入兩個(gè)參數(shù)，即移動(dòng)荷載無量綱速度κ=v/ω1L，間跨比(移動(dòng)荷載間距與橋梁跨度的比值)γ=d/L，則式(10)可進(jìn)一步表示為

|F1(γ、κ、Np)|=

(11)

圖2 不同移動(dòng)荷載數(shù)對應(yīng)的曲線

圖3 不同橋梁基頻下的曲線

圖所對應(yīng)的曲線

圖對應(yīng)的曲線擬合

(12)

(13)

3 算例驗(yàn)證

本文針對在高速鐵路中廣泛使用的簡支橋梁進(jìn)行研究。僅考慮第一階模態(tài)即可滿足簡支橋梁的計(jì)算精度要求。為簡化起見，等距移動(dòng)荷載作用下簡支橋的共振分析中不考慮高階模態(tài)和結(jié)構(gòu)阻尼。因此，為了驗(yàn)證移動(dòng)荷載作用下橋梁振動(dòng)響應(yīng)分析，有必要在時(shí)域計(jì)算橋梁在移動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)。首先，采用振型疊加法計(jì)算一個(gè)實(shí)例，橋梁和荷載參數(shù)如表1所示，即文獻(xiàn)[18]在兩個(gè)移動(dòng)荷載作用下簡支梁的振動(dòng)響應(yīng)如圖6所示，對于速度為 100 km/h 的簡支梁橋在移動(dòng)荷載作用下，振型疊加法計(jì)算的位移響應(yīng)與文獻(xiàn)[18]中的位移響應(yīng)一致，這表明本文通過振型疊加法計(jì)算得到的時(shí)域結(jié)果的正確性。

表1 橋梁和荷載參數(shù)[18]

圖6 荷載間距為17.5 m時(shí)的橋梁跨中豎向位移響應(yīng)

為了進(jìn)一步分析橋梁位移傅里葉幅值譜和移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜，通過表1的參數(shù)，d=12 m,ω1=29.15 rad/s從頻域和時(shí)域角度分析不同時(shí)速的移動(dòng)荷載通過橋梁的位移響應(yīng)。最后得到橋梁的自由振動(dòng)極值響應(yīng)、橋梁位移和移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜，如圖7所示。由圖7可知，當(dāng)Np=2時(shí)，|Y1(ω,v)|中出現(xiàn)了很多極值點(diǎn)，并且隨著移動(dòng)荷載速度v的增加，|Y1(ω,v)|曲線的變化規(guī)律與|F1(ω,v)|、|y(L/2,v)|曲線一致。同理，當(dāng)Np=3時(shí)，|Y1(ω,v)|的曲線變化規(guī)律與|F1(ω,v)|、|y(L/2,v)|也相同，這說明通過移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜來分析橋梁振動(dòng)最大位移響應(yīng)是可行的。

圖7 不同移動(dòng)荷載數(shù)下的橋梁位移傅里葉幅值譜、移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜、橋梁位移響應(yīng)幅值

圖8 不同間跨比γ的移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜

為了從時(shí)域角度驗(yàn)證上述分析計(jì)算的正確性，移動(dòng)荷載分別以圖8中移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜最大值對應(yīng)的荷載速度通過橋梁時(shí)，橋梁跨中位置位移時(shí)程曲線如圖9所示。觀察圖9(a)可知，移動(dòng)荷載分別以992.65、63.31 m/s速度通過橋梁時(shí)，引起橋梁受迫振動(dòng)時(shí)期的位移最大幅值存在明顯差異：

圖9 考慮不同間跨比γ的跨中豎向位移時(shí)程曲線

max{y(L/2,t)force}v1

為驗(yàn)證式(13)的有效性，橋梁自由振動(dòng)位移最大幅值響應(yīng)對應(yīng)的移動(dòng)荷載速度與式(13)計(jì)算速度如表2所示。經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，由式(13)所得的移動(dòng)荷載速度與時(shí)域計(jì)算所得結(jié)果非常接近，誤差在5%以內(nèi)。

表2 橋梁自由振動(dòng)最大響應(yīng)對應(yīng)的移動(dòng)荷載速度

4 結(jié)論

為分析等距移動(dòng)荷載作用下簡支橋梁的共振，利用傅里葉變換推導(dǎo)了橋梁在移動(dòng)荷載作用下的位移響應(yīng)傅里葉譜和移動(dòng)荷載傅里葉譜。并提出了基于移動(dòng)荷載傅里葉譜的橋梁共振頻域分析方法。最后通過時(shí)域分析對實(shí)際的橋梁參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)論如下：

(1)移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜可以有效反映橋梁自由振動(dòng)的位移幅值。并且移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜隨荷載移動(dòng)速度的變化規(guī)律與橋梁位移響應(yīng)幅值的變化規(guī)律是一致的。因此，可以通過移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的最大值對應(yīng)的速度來確定導(dǎo)致橋梁位移響應(yīng)最大值的移動(dòng)載荷的速度。

由于橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)與荷載數(shù)Np有關(guān)，因此，本文僅根據(jù)實(shí)際情況分析了8節(jié)車廂作用下的橋梁振動(dòng)位移響應(yīng)最大值時(shí)的情況，而對于其他移動(dòng)荷載數(shù)Np作用下，橋梁振動(dòng)位移響應(yīng)最大值所對應(yīng)的速度，也可基于該分析方法進(jìn)行分析求解。