空間繩網(wǎng)捕獲動(dòng)力學(xué)仿真

周 挺, 胡偉鵬, 2, 翟 喆, 張 帆

(1. 西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，西安 710048;2. 西安理工大學(xué)西部旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710048;3. 中國(guó)兵器科學(xué)研究院，北京 100089)

0 引言

隨著空間技術(shù)與應(yīng)用的發(fā)展，在軌補(bǔ)給、維修、營(yíng)救和空間碎片處理已經(jīng)成為航天領(lǐng)域非常重要的前沿問題，引領(lǐng)著空間系統(tǒng)體系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型和空間基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的發(fā)展方向。其中安全且自主的空間非合作目標(biāo)捕獲是解決上述問題的重要基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)瓶頸，也是體現(xiàn)當(dāng)今航天技術(shù)發(fā)展水平的重要標(biāo)志之一[1]。

目前衛(wèi)星發(fā)射數(shù)量的增加和空間碎片的積累，導(dǎo)致碰撞或老化產(chǎn)生碎片的概率增加[2]。在近地軌道，碎片和軌道垃圾可以隨著時(shí)間的推移逐步落入大氣層被燒毀，而在較高的軌道上，碎片只會(huì)發(fā)生軌道自然漂移而擴(kuò)散到附近軌道，因而太空垃圾的捕獲成為了將來航天工作不可避免的重要任務(wù)[3]。相對(duì)于剛性捕獲而言，柔性繩網(wǎng)捕獲是以面對(duì)點(diǎn)的捕獲方式，所以通過增加飛網(wǎng)面積來補(bǔ)償捕獲時(shí)的誤差，這樣就可以有效降低對(duì)系統(tǒng)姿態(tài)控制的高要求[4-5]。

翟廣等[6]研究了空間繩網(wǎng)系統(tǒng)在圓軌道上的自由和非自由展開動(dòng)力學(xué)行為，并對(duì)系統(tǒng)在局部垂直和局部水平坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析和仿真，最終證明了在滿足初始臨界條件的情況下，繩網(wǎng)系統(tǒng)部署完成后的動(dòng)力學(xué)行為是臨界穩(wěn)定的。Benvenuto等[7]討論了空間繩網(wǎng)系統(tǒng)在涉及柔性接觸的捕獲和拖拽階段可能遇到的主要困難。Shan[8]和Botta[9]等通過絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)空間繩網(wǎng)捕獲展開的研究，其中Shan著重研究了4個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，最大網(wǎng)面積、部署時(shí)間、移動(dòng)距離和有效周期，仿真結(jié)果表明基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建模方法的結(jié)果與基于質(zhì)量-彈簧建模方法的結(jié)果吻合較好。Botta驗(yàn)證了繩網(wǎng)的彎曲剛度對(duì)繩網(wǎng)動(dòng)力學(xué)特性和計(jì)算效率的影響，當(dāng)考慮繩網(wǎng)彎曲剛度時(shí)，繩網(wǎng)更能抵抗在展開過程中由邊角質(zhì)量和在捕獲過程中與碎片的接觸引起的形狀變化。Eleonora等[10]研究了繩栓驅(qū)動(dòng)閉合機(jī)構(gòu)的可行性，并開發(fā)了一種基于繩栓長(zhǎng)度和捕獲空間碎片時(shí)張力的繩栓纏繞控制策略。張景瑞等[11]研究了繩網(wǎng)發(fā)射子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并建立了一種新的柔性繩網(wǎng)空間機(jī)器人系統(tǒng)用于捕獲空間碎片。翟廣等[12]應(yīng)用拉格朗日方程，在軌道框架下建立了繩網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并證實(shí)前饋控制器能夠有效地抑制平面內(nèi)的振動(dòng)，并使捕獲網(wǎng)能夠按照預(yù)期的軌跡運(yùn)行。Sharf[13]研究了繩網(wǎng)系統(tǒng)中網(wǎng)的閉合機(jī)理，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一機(jī)制，繩網(wǎng)展開的實(shí)驗(yàn)在地面得以實(shí)現(xiàn)[14-15]。黃攀峰等[16]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法，并通過比較接觸參數(shù)的不同找出最優(yōu)初始繩網(wǎng)發(fā)射條件，證實(shí)了本文采用的方形繩網(wǎng)與星形繩網(wǎng)在捕獲過程中均有良好表現(xiàn)。空間碎片[17]的繩網(wǎng)捕獲已經(jīng)引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，但是，對(duì)于繩網(wǎng)的初始釋放條件的研究相對(duì)較少。

為了得到更合理的繩網(wǎng)系統(tǒng)初始釋放條件，以便繩網(wǎng)在接觸目標(biāo)后能成功包裹目標(biāo)，本文開展繩網(wǎng)捕獲仿真分析。在已有研究的基礎(chǔ)上通過ABAQUS軟件進(jìn)行捕獲過程的仿真，對(duì)不同形態(tài)的捕獲目標(biāo)實(shí)施捕捉，并對(duì)同一捕獲目標(biāo)采用不同姿態(tài)進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，從而分析得到使捕獲過程更高效的關(guān)鍵因素。

1 繩網(wǎng)捕獲系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

繩網(wǎng)捕獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究由繩網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與繩網(wǎng)與捕獲目標(biāo)的碰撞動(dòng)力學(xué)建模構(gòu)成[18]。將繩段質(zhì)量等效至相鄰節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力由彈簧和阻尼產(chǎn)生，考慮到繩子本身的屬性，其無法承受壓力，因此節(jié)點(diǎn)內(nèi)力只在受拉時(shí)產(chǎn)生。節(jié)點(diǎn)所受外力源于空間擾動(dòng)、軌道運(yùn)動(dòng)、地球重力與捕獲階段的接觸力。具體動(dòng)力學(xué)模型建立過程如下。

1.1 繩網(wǎng)動(dòng)力學(xué)模型

首先利用有限元法將繩網(wǎng)劃分為多個(gè)細(xì)小的離散單元，將每一個(gè)單元等效為彈簧阻尼模型，如圖1所示。

圖1 繩網(wǎng)單元模型[18]Fig.1 Rope mesh unit model

繩網(wǎng)單元ij兩端點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j，張力Tij大小可以表示為：

(1)

式(1)中，lij表示繩段ij的當(dāng)前長(zhǎng)度，iij表示繩段ij的變化率，kij表示繩段ij的剛度系數(shù)，cij表示繩段ij的阻尼系數(shù)，可分別表示為：

(2)

(3)

lij=‖rj-ri‖

(4)

(5)

節(jié)點(diǎn)i的動(dòng)力學(xué)方程為：

(6)

式(6)中，Ti為節(jié)點(diǎn)i的張力；Fi為節(jié)點(diǎn)i的接觸力。

將Ti和Fi分解為各坐標(biāo)軸分量后得到節(jié)點(diǎn)i的動(dòng)力學(xué)方程為：

(7)

1.2繩網(wǎng)-目標(biāo)碰撞動(dòng)力學(xué)模型

繩網(wǎng)發(fā)射后與被捕獲目標(biāo)發(fā)生的碰撞可簡(jiǎn)化為彈簧模型，采用罰函數(shù)法，當(dāng)繩網(wǎng)節(jié)點(diǎn)與被捕獲目標(biāo)節(jié)點(diǎn)發(fā)生穿透時(shí)，由彈簧彈力描述的法向接觸力會(huì)被引入用以防止穿透。法向接觸力可以表示為：

(8)

式(8)中，K為罰剛度；δ為法向穿透深度。

根據(jù)庫(kù)倫摩擦定律，接觸點(diǎn)切向方向的接觸力可表示為：

Fτ=μFn

(9)

式(9)中，μ為繩網(wǎng)與被捕獲目標(biāo)間的摩擦系數(shù)。

進(jìn)而繩網(wǎng)與被捕獲目標(biāo)發(fā)生碰撞時(shí)的接觸力可表示為：

F=Fnn+Fττ

(10)

式(10)中，n為碰撞時(shí)接觸面的法向單位矢量；τ為碰撞時(shí)接觸面的切向單位矢量。

2 動(dòng)力學(xué)仿真分析

利用ABAQUS有限元軟件處理復(fù)雜的接觸碰撞問題，通過采用相同繩網(wǎng)模型對(duì)不同形狀、姿態(tài)的被捕獲目標(biāo)進(jìn)行仿真，進(jìn)而通過評(píng)價(jià)體系分析出不同目標(biāo)形狀、姿態(tài)在捕獲過程中造成的影響。在進(jìn)行仿真前假設(shè)：1)節(jié)點(diǎn)所受外力只包含繩網(wǎng)與被捕獲目標(biāo)碰撞過程中的接觸力，忽略地球重力、軌道運(yùn)動(dòng)以及太空擾動(dòng)產(chǎn)生的影響；2)繩網(wǎng)在與被捕獲目標(biāo)碰撞前已完全展開，初始狀態(tài)下被捕獲目標(biāo)相對(duì)于繩網(wǎng)靜止；3)繩網(wǎng)捕獲裝置只對(duì)捆綁在繩網(wǎng)四個(gè)角上的牽引球提供初速度；4)被捕獲目標(biāo)質(zhì)量及其在繩網(wǎng)上的投影面積均相同。

2.1 繩網(wǎng)捕獲評(píng)價(jià)指標(biāo)

在捕獲過程中，繩網(wǎng)應(yīng)以最快的速度將目標(biāo)包裹，使?fàn)恳蛳鄬?duì)捕獲目標(biāo)不再產(chǎn)生劇烈碰撞，從而避免捕獲過程中二次產(chǎn)生碎片，對(duì)捕獲目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響應(yīng)降為最低且繩網(wǎng)中產(chǎn)生的應(yīng)力應(yīng)盡量的減小。為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)特采用以下3個(gè)指標(biāo)：

1)牽引球與捕獲目標(biāo)間距Dq：相同仿真時(shí)間下牽引球至捕獲目標(biāo)之間的距離，用以觀察繩網(wǎng)系統(tǒng)包裹程度，距離越近包裹程度越好，理想狀態(tài)為緊貼捕獲目標(biāo)，從而使繩網(wǎng)達(dá)到完全包裹的相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)。

2)網(wǎng)口閉合所需時(shí)間Tc：繩網(wǎng)捕獲過程中由牽引球構(gòu)成的網(wǎng)口面積第一次為零所需的時(shí)間。時(shí)間越短表明包裹該類型目標(biāo)時(shí)效率越高。

3)繩網(wǎng)最大應(yīng)力Fn：捕獲過程中，繩網(wǎng)中出現(xiàn)的最大應(yīng)力越小越好。

2.2 建立模型

如圖2所示，采用方形繩網(wǎng)，繩網(wǎng)邊長(zhǎng)7m，其間方形網(wǎng)格尺寸為0.5m×0.5m，繩網(wǎng)截面為直徑2mm的圓，在繩網(wǎng)四角分別捆綁一個(gè)牽引球，牽引球直徑0.2m，質(zhì)量為4kg。建立慣性參考系，繩網(wǎng)所在平面為XY平面，繩網(wǎng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。被捕獲目標(biāo)質(zhì)心位于Z軸正方向上。被捕獲目標(biāo)為正方體、弧形薄壁體和球體，質(zhì)量均為2 000kg。正方體邊長(zhǎng)為2m，弧形薄壁投影尺寸為3m×1.33m，壁厚0.3m，圓弧半徑50m，球體半徑1.13m。

圖2 繩網(wǎng)系統(tǒng)Fig.2 Tethered-net system

根據(jù)式(1)可知繩網(wǎng)系統(tǒng)中只存在拉力，無法承受壓力，因而選取三維桁架單元對(duì)繩網(wǎng)進(jìn)行建模以展現(xiàn)這一特性。如表1所列，仿真模型中，繩網(wǎng)劃分為8 456個(gè)三維桁架T3D2單元、牽引球劃分為638個(gè)C3D8R六面體單元和290個(gè)C3D6楔形單元、正方體目標(biāo)劃分為4 000個(gè)C3D8R六面體單元、弧形薄壁體目標(biāo)由4 030個(gè)C3D8R六面體單元組成、球體目標(biāo)由2 464個(gè)C3D8R六面體單元和1 120個(gè)C3D6楔形單元組成，且牽引球與捕獲目標(biāo)均設(shè)置為剛體。

表1 模型單元與數(shù)量Tab.1 Model units and quantities

相關(guān)材料參數(shù)如表2所列，繩網(wǎng)材料為Kevlar，其密度為1 440kg/m3，楊氏模量為70Gpa，泊松比為0.36，被捕獲目標(biāo)及牽引球的楊氏模量為210Gpa，泊松比為0.3。

表2 材料參數(shù)Tab.2 Material parameter

2.3 仿真分析

圖3 正方體目標(biāo)繩網(wǎng)捕獲過程Fig.3 Cuboid target capture process

圖4 弧形薄壁體目標(biāo)繩網(wǎng)捕獲過程Fig.4 Arcuate thin-wall target capture process

圖5 球體目標(biāo)繩網(wǎng)捕獲過程Fig.5 Sphere target capture process

如圖6所示，捕獲目標(biāo)為正方體時(shí)，網(wǎng)口閉合所需時(shí)間Tc為1.28s；捕獲目標(biāo)為弧形薄壁體時(shí)，網(wǎng)口閉合所需時(shí)間Tc為1.15s；捕獲目標(biāo)為球體時(shí)，網(wǎng)口閉合所需時(shí)間Tc為1.35s。且在相同的仿真時(shí)間下，根據(jù)繩網(wǎng)位形圖與圖7可以觀察到的捕獲目標(biāo)為正方體時(shí)，在2s時(shí)繩網(wǎng)幾乎已經(jīng)將目標(biāo)完全包裹，牽引球與目標(biāo)距離Dq最近，而捕獲目標(biāo)為球體時(shí)，牽引球距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正方體的距離。仿真結(jié)果表明：當(dāng)捕獲目標(biāo)質(zhì)量與投影面積相同時(shí)，牽引球第一次網(wǎng)口閉合所需時(shí)間較為接近，其中弧形薄壁體所需時(shí)間最短，球體所需時(shí)間最長(zhǎng)，3組對(duì)比整體相差不大。然而正方體在相同時(shí)間內(nèi)的包裹效果遠(yuǎn)好于其他兩組，這表明達(dá)到完全包裹且繩網(wǎng)系統(tǒng)與捕獲目標(biāo)達(dá)到相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)所需時(shí)間最短。

圖6 網(wǎng)口首次閉合所需時(shí)間Fig.6 Required time for tethered-net first closure

圖7 牽引球與捕獲目標(biāo)距離Fig.7 Distance between traction ball and target

考慮到繩網(wǎng)捕獲實(shí)際操作中，無法保證每一次作業(yè)繩網(wǎng)系統(tǒng)與捕獲目標(biāo)都保持理想的捕獲角度，因而在計(jì)算繩網(wǎng)最大應(yīng)力Fn時(shí)，針對(duì)正方體與弧形薄壁體，將目標(biāo)逐步旋轉(zhuǎn)45°與90°，選取若干具有代表性的形態(tài)，如圖8所示，取出同一目標(biāo)下產(chǎn)生最大的繩網(wǎng)內(nèi)的應(yīng)力再進(jìn)行對(duì)比。

圖8 正方體與弧形薄壁體初始位形圖Fig.8 Initial configuration of cuboid target and curved thin-walled target

整個(gè)繩網(wǎng)捕獲過程中，繩網(wǎng)系統(tǒng)產(chǎn)生的最大應(yīng)力如圖9所示，正方體目標(biāo)的最大應(yīng)力為31.20Mpa，弧形薄壁體目標(biāo)的最大應(yīng)力為32.85Mpa，球體目標(biāo)中繩網(wǎng)中的最大應(yīng)力為22.58Mpa。針對(duì)同一捕獲目標(biāo)不同姿態(tài)下最大應(yīng)力數(shù)值稍有區(qū)別，正方體與弧形薄壁體的最大應(yīng)力均為捕獲目標(biāo)旋轉(zhuǎn)45°后取得。

圖9 繩網(wǎng)單元中最大應(yīng)力Fig.9 Maximum stress in tethered-net units

同時(shí)，根據(jù)圖10應(yīng)力云圖所示，網(wǎng)格中的深紅色部分為最大應(yīng)力單元，球體目標(biāo)產(chǎn)生的最大應(yīng)力位于繩網(wǎng)四角處，越靠近牽引球應(yīng)力越大；在正方體與弧形薄壁體中最大應(yīng)力發(fā)生在繩網(wǎng)與捕獲目標(biāo)棱角的接觸處，此處產(chǎn)生的應(yīng)力明顯大于繩網(wǎng)四角牽引球處的應(yīng)力，由此表明：在裝備繩網(wǎng)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)繩網(wǎng)與捕獲目標(biāo)棱角接觸處和繩網(wǎng)邊角處抗拉能力。尤其在捕獲具有明顯棱角的物體時(shí)，更應(yīng)加強(qiáng)被捕獲目標(biāo)投影面積處的繩網(wǎng)抗拉強(qiáng)度。

圖10 應(yīng)力云圖Fig.10 Stress nephogram

3 結(jié)論

采用有限元法，建立繩網(wǎng)系統(tǒng)彈簧質(zhì)點(diǎn)模型，通過ABAQUS有限元軟件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，根據(jù)仿真得出的數(shù)據(jù)以及本文分析的結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1)采用7m×7m方形繩網(wǎng)捕獲重量為2 000kg和投影面積為4m2的物體時(shí)，可以有效包裹目標(biāo)。在相同繩網(wǎng)、捕獲目標(biāo)投影面積比與相同捕獲目標(biāo)質(zhì)量的前提下，對(duì)表面積相對(duì)較大，棱角分明的正方體、弧形薄壁體具有良好的捕獲效果，繩網(wǎng)閉合所需時(shí)間較短，但繩網(wǎng)中產(chǎn)生的最大應(yīng)力同樣有所提升，對(duì)表面相對(duì)光滑的球體捕獲效果較差且達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間較長(zhǎng)。

2)繩網(wǎng)中出現(xiàn)最大應(yīng)力位置與被捕獲目標(biāo)形狀有關(guān)，繩網(wǎng)系統(tǒng)與捕獲目標(biāo)棱角接觸處易產(chǎn)生較大應(yīng)力；與相對(duì)光滑目標(biāo)接觸時(shí)，繩網(wǎng)四周牽引球處易產(chǎn)生較大應(yīng)力；其余位置的繩網(wǎng)單元內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力明顯低于前兩處。因此，繩網(wǎng)需要加強(qiáng)抗拉強(qiáng)度的位置主要為投影面積區(qū)域的棱角處與邊角處和牽引球相接的位置。

3)在捕獲目標(biāo)前應(yīng)盡量調(diào)整捕獲角度，使繩網(wǎng)與投影面保持平行，可有效減少繩網(wǎng)系統(tǒng)中產(chǎn)生的最大應(yīng)力。