次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)

王竟莘，王欣怡，郭志東

(安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133)

0 引言

期權(quán)定價(jià)一直是金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題.自經(jīng)典定價(jià)模型Black-Scholes模型被BLACK和SCHOLES[1]提出以來(lái)，研究者們通常用幾何布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為驅(qū)動(dòng)源驅(qū)動(dòng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，取得了大量研究成果.韓利華等[2]基于幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，利用保險(xiǎn)精算方法求得亞式期權(quán)定價(jià)公式.于文明等[3]建立混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和不變方差彈性的亞式期權(quán)定價(jià)模型，利用漸進(jìn)展開(kāi)方法給出了期權(quán)定價(jià)公式，對(duì)赫斯特指數(shù)和漸進(jìn)逼近值進(jìn)行數(shù)值分析.陳聰?shù)萚4]給出了在幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的算數(shù)平均半亞式期權(quán)定價(jià)的近似半解析法，進(jìn)一步利用對(duì)偶變量技術(shù)減少該方法的計(jì)算時(shí)間.KAHALé[5]運(yùn)用多層次蒙特卡洛方法計(jì)算到期日的亞式期權(quán)價(jià)格，并將此方法與Milstein格式(由標(biāo)量隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的過(guò)程)、Euler格式(由多維隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的過(guò)程)相結(jié)合，數(shù)值結(jié)果表明該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的蒙特卡洛算法.LU等[6]研究了基于不確定理論的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，利用期望值和樂(lè)觀值給出了亞式期權(quán)的定價(jià)公式，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)果的有效性.王偉[7]建立分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的亞式期權(quán)定價(jià)模型，利用無(wú)套利原理，經(jīng)過(guò)Markov調(diào)制求得具有固定敲定價(jià)格的亞式看漲和看跌期權(quán)定價(jià)公式.沈明軒[8]建立了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的冪型幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)模型，利用擬條件期望給出其定價(jià)公式并推廣到支付紅利情況下.ZHANG[9]建立了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下帶有交易費(fèi)和支付紅利的亞式期權(quán)定價(jià)模型，利用無(wú)套利原理和分?jǐn)?shù)公式，給出了幾何亞式期權(quán)的定價(jià)公式和看漲-看跌平價(jià)公式，通過(guò)數(shù)值計(jì)算討論赫斯特指數(shù)和到期日對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.

2004年，BOJDECKI等[10]提出次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，相較分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有協(xié)方差隨時(shí)間的增加而迅速衰減、增量在非重疊區(qū)間內(nèi)的相關(guān)性較弱、同樣具備相似性和長(zhǎng)程相關(guān)性的特點(diǎn)，因此次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更適合應(yīng)用于金融市場(chǎng).許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，程潘紅等[11]建立了該環(huán)境下支付連續(xù)紅利的可分離交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型，利用Mellin變換得到了顯示公式，通過(guò)數(shù)值模擬分析交易可轉(zhuǎn)債價(jià)格隨參數(shù)變化的趨勢(shì).梁喜珠等[12]利用隨機(jī)分析理論和保險(xiǎn)精算方法，建立該環(huán)境下的最值期權(quán)定價(jià)模型并求得定價(jià)公式，通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)市場(chǎng)不同的分形結(jié)構(gòu)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響進(jìn)行分析.劉曉敏[13]建立了單資產(chǎn)多噪聲的最優(yōu)投資組合模型，利用隨機(jī)分析理論給出了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下最優(yōu)投資組合的顯示公式.然而，上述研究并未探討次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，本文將對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行研究.

1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和亞式期權(quán)

(i)自相似性：當(dāng)a>0時(shí)，有{ξH(at),t≥0}{aHξH(t),t≥0}；

2 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)

基于偏微分方法，討論次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.考慮Black-Scholes模型的次分?jǐn)?shù)形態(tài)，即簡(jiǎn)單金融市場(chǎng)模型下，其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St滿(mǎn)足：

(1)

引理2.1[15]若函數(shù)f(t,ξH(t))為一個(gè)二元微分，則次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)有It公式:

(2)

證明

定理2.1 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St符合(1)給出的模型，則該亞式期權(quán)的V(t,S,J)價(jià)格滿(mǎn)足偏微分方程

(3)

且終值條件滿(mǎn)足：

V(T,S,J)=(S-J)+,0

(4)

證明 考慮一個(gè)復(fù)制的投資組合Π包含一份期權(quán)Vt(t,St,Jt)和Δ份股票.在t時(shí)刻這個(gè)投資組合的價(jià)值為Π=V-ΔS.

假設(shè)Δ在時(shí)間區(qū)間(t,t+Δt)內(nèi)沒(méi)有變化，則我們選擇合適的Δ，使Π在時(shí)間區(qū)間(t,t+dt)內(nèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn).

dΠ=dV-ΔdS=

(5)

dΠ=rΠdt=r(V-ΔS)dt,

可得

(6)

(7)

替換(7)到(6)中，可得

(8)

則定理2.1得證.

若求解偏微分方程(3)和終值條件(4)，可得如下定理.

定理2.2 若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St遵循(1)，則該亞式期權(quán)的Vf(t,S,J)價(jià)格為

(9)

其中，函數(shù)Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率函數(shù)，J為路徑變量，且

證明 令

x=lnS,

(10)

V=U(x,y,t).

有偏微分：

(11)

將(11)帶入(3)(4)，可得

(12)

U(T)=(ex-ey)U0(x,y).

(13)

(14)

(15)

求解微分方程(14)(15)，得到

(16)

其中，

h4=r(T-t)-h1,

h6=r(T-t),

利用傅里葉逆變換，可得

(17)

其中，

U0(μ,k)=(eμ-ek)+,

(18)

最終由公式(10)(17)(18)，定理2.2得證.

定理2.3 幾何平均亞式期權(quán)看漲-看跌平價(jià)關(guān)系式為

C(S,J,t)-P(S,J,t)=

證明 令

W(S,J,t)=C(S,J,t)-P(S,J,t),

在{0≤S<∞,0≤J<∞,0≤t≤T}上，W滿(mǎn)足：

(19)

考慮Cauchy問(wèn)題：

(20)

(21)

W(x,y)=a(t)ex-b(t)ey.

(22)

帶入(20)(21)，經(jīng)比較系數(shù)得

(23)

且有

(24)

求解(23)(24)，得到

(25)

將(25)代入(22),并考慮(10)，定理2.3得證.

3 數(shù)值計(jì)算

基于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型，以具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的亞式期權(quán)為例，用數(shù)值模擬計(jì)算探究Hurst指數(shù)H對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.

已知t=0時(shí)，有幾何平均亞式看漲期權(quán)Vf(0,S,J).

Vf(0,S,J)=S0Φ(-d1)-S0exp(ρ1-ρ2)Φ(-d2).

假設(shè)模型相應(yīng)參數(shù)為T(mén)=0.5，r=0.05，σ=0.8，Hurst指數(shù)H分別為0.5、0.6、0.8、0.9時(shí)，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下，具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)的計(jì)算結(jié)果如表1所示，比較圖如圖1所示.

表1 r=0.05,H取不同值時(shí)幾何平均亞式看漲期權(quán)計(jì)算結(jié)果

圖1 H取不同值時(shí)幾何平均亞式看漲期權(quán)計(jì)算結(jié)果比較

T=0.5，H=0.7，σ=0.8，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r分別為0.02、0.04、0.06、0.08時(shí)，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下，具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)的計(jì)算結(jié)果如表2所示，比較圖如圖2所示.

圖2 r取不同值時(shí)幾何平均亞式看漲期權(quán)計(jì)算結(jié)果比較

表2 H=0.7, r取不同值時(shí)幾何平均亞式看漲期權(quán)計(jì)算結(jié)果

由表1和圖1可知，H固定時(shí)，隨著股票價(jià)格S0增加，期權(quán)價(jià)格V逐漸增加；S0固定時(shí)，隨著H增加，期權(quán)價(jià)格V逐漸減小.

由表2和圖2可知，r固定時(shí)，隨著股票價(jià)格S0增加，期權(quán)價(jià)格V逐漸增加；S0固定時(shí)，隨著r增加，期權(quán)價(jià)格V也逐漸增加.

比較圖1和圖2可發(fā)現(xiàn)，從整體趨勢(shì)來(lái)看，期權(quán)價(jià)格V受Hurst指數(shù)H的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)較大，受無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)較小.

4 結(jié)語(yǔ)

求得期權(quán)的顯示表達(dá)式是研究期權(quán)定價(jià)問(wèn)題非常重要的一步.本文運(yùn)用傅里葉變換方法給出了具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)顯示表達(dá)式，進(jìn)而探究了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下具有浮動(dòng)敲定價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，Hurst指數(shù)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率固定時(shí)，股票初始價(jià)格與該期權(quán)價(jià)格呈正比；股票初始價(jià)格固定時(shí)，Hurst指數(shù)與該期權(quán)價(jià)格呈反比，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與該期權(quán)價(jià)格呈正比.