基于GPR三維正演技術的路面空洞含水率研究

束 裕，程博文，于曉賀 ，李 沖，羅 蓉

(1.武漢理工大學，湖北 武漢 430063；2.湖北省公路工程技術研究中心，湖北 武漢 430063)

0 引言

自20世紀80年代起步以來，伴隨我國經濟的增長，公路干線網迅速發(fā)展升級。隨著公路總里程的增加，道路在表面和內部都將出現(xiàn)不同形式的損傷，如表面裂縫、車轍、基層反射裂縫和空洞等病害。相比較來說，路表病害比路面內部病害更容易被檢測出來，但路面內部病害對路面造成損傷更大。路面含水空洞病害是路面早期水損害形式一種，其出現(xiàn)頻率非常高，具有普遍性、難以發(fā)現(xiàn)等特點，常用檢測儀器和評價指標體系無法判斷其發(fā)展、影響程度。因此，需要一種有效檢測手段來判定其損傷程度。

探地雷達(Ground Penetrating Radar，簡稱GPR)檢測是一項用于淺層地質探測的新技術，又稱為地質雷達，具有高效、簡便、分辨率高、無損的特點。GPR圖像正演技術是一種通過計算機模擬電磁波在道路介質中傳播過程的方法[1]。通過模擬電磁波在道路瀝青混合料介質的傳播過程，可以提高對探地雷達探測剖面的認識，提高實際雷達檢測數(shù)據(jù)解譯、分析結果的準確性。

陶連金[2]等采用對離散元軟件對城市道路地下空洞病害進行機理研究，從細觀的角度揭示了地下空洞發(fā)展至路面塌陷的破壞機制；張青山[3]通過現(xiàn)場雷達檢測與室內試驗結合分析瀝青路面水損害的狀況，并提出分級養(yǎng)護措施；劉俊[4]采用二維時域有限差分法對路面雷達電磁波進行模擬，建立了路面脫空病害的二維正演模型；姜守東[5]等通過探地雷達對瀝青路面內部的檢測效果進行研究，發(fā)現(xiàn)探地雷達對材料的孔隙率和含水率反應強烈，對層間積水有良好的檢測效果。目前研究均明確：路面中含水空洞病害對路面的影響較大，但由于路面含水空洞病害為路面內部病害，要實現(xiàn)準確測量其含水率比較困難。

經研究發(fā)現(xiàn)，含水空洞中的含水率與雷達波形圖之間存在著定量關系。因此，本文通過分析實際雷達數(shù)據(jù)，建立不同含水率空洞模型，建立含水率與反射波形的數(shù)值關系，進而通過峰值反向計算空洞含水率，為分析典型病害發(fā)展趨勢和高速公路預防性養(yǎng)護提供數(shù)據(jù)支撐，這對于精細化分析路面內部含水空洞病害等瀝青路面早期水損害問題具有較大的實際工程意義。

1 理論推導

1.1 探地雷達在道路結構中的傳播規(guī)律

在確定路面空洞含水率的研究中，構建典型病害識別圖譜是第1步，而其基礎便是通過程序準確模擬電磁波在三維介質中的傳播過程。模擬電磁波在瀝青混合料面層的傳播過程則是通過有限元法求解基于電磁場參數(shù)的Maxwell方程組。

根據(jù)電磁波理論，高頻電磁波在介質中的傳播規(guī)律服從Maxwell方程組[6]，該方程組用于描述磁場和電場相互激發(fā)、相互聯(lián)系形成電磁場中的關系，并結合介質的本構方程可得到式(1)。式(1)滿足電磁波在介質傳播規(guī)律，被稱為電磁場的Helmholtz方程[7]?；谑?1)可知：①發(fā)射天線在瀝青混合料中形成的電磁場以波的形式運動；②電磁波是可以脫離波源獨立傳播的。

(1)

式中：E為電場強度；H為磁感應強度；μ為磁導率，由于瀝青混合料是非磁性路面材料，因此瀝青混合料的磁導率μ為0；δ為電導率，其物理意義為瀝青混合料中的自由電荷在外加電場作用下產生瞬變電流的能力；ε為介電常數(shù)，表示為瀝青混合料在外部電場的作用下電能存儲、損耗的能力。

1.2 激勵源的設置

有限元模型的后續(xù)迭代計算需要選取合適的入射波與其數(shù)值變化規(guī)律。本文將選取1 GHz的雷克子波作為本次正演過程的激勵源。雷克子波被廣泛應用于地表淺層探測工作中。在實際檢測過程中，初始場值始終為零，因此在雷達波數(shù)值模擬過程中，激勵源的初始值為零。為使雷克子波波形的初始值為零，通常在時域中保持其頻譜不變條件下，通過移動雷克子波來實現(xiàn)。延時雷克子波的表達式如下式所示[8]：

(2)

式中：t0代表延遲時間。一般認為t0=1/fm。

圖1為探地雷達天線的中心頻率為1GHz的雷克子波時域波形圖。

圖1 1 GHz雷克子波的時域波形圖

1.3 三維GPR波動方程有限元求解

本文選取基于單行波算子的吸收邊界條件(ABC)作為本文正演的邊界條件。ABC吸收邊界是通過在網格剖分外部添加一層具有與邊界散射電磁波頻率入射角無關的波阻抗的媒質。與傳統(tǒng)的分裂式PML吸收邊界條件相比，ABC邊界具有計算量小，算法穩(wěn)定和吸收效果好等優(yōu)點，可以提高三維波動方程數(shù)值模擬的計算效率[9]。

本文將采用伽遼金法[10]推導電磁波在瀝青混合料中探地雷達有限元方程GPR波動方程把場矢量隨空間、時間的變化聯(lián)系在一起，說明電磁場是以波動方式在空間的傳播的。式(3)表示為GPR的波動方程的余量。

(3)

(4)

式中：R為加權余量;v和v1為權函數(shù)；n為電場的切線方向向量，公式中其他含義與上式相同。將公式(4)中的右邊第1項展開為笛卡爾坐標系的表示方法，并利用函數(shù)乘積的分部積分公式進行化簡得到式(5)：

(5)

將式(5)代回式(4)，選擇試函數(shù)v=-v1，得到式(6)，再通過正六面體將三維區(qū)域劃分成多個單元，得到單元矩陣方程。

(6)

假設網格區(qū)域有N個節(jié)點，采用六面體單元將計算區(qū)域進行結構化網格劃分，設置插值函數(shù)后，進行化簡，得到求解方程，再將方程進行擴展至整體區(qū)域、所有節(jié)點，得到式(7)：

(7)

將式(7)采用中心差分法進行求解，得到可以依次遞推電磁任意時間的電場值的式(8)：

(8)

2 數(shù)據(jù)采集

路面結構層的厚度參數(shù)和混合料的相對介電常數(shù)是進行計算的重要參數(shù)。為了使構建的模型符合路面結構真實情況，保證驗證計算模型的真實性，因此采用真實路面結構層的厚度參數(shù)構建模型，采用瑞利(Rayleigh)模型來計算相對介電常數(shù)。

秦明月正要猶豫著要不要告訴她所敬愛的毛德君已經死掉的事實時，正在檢查辦公室的趙大剛指著房間角落內一個紙箱說：“這是什么？”

本文的數(shù)據(jù)采集地點為湖北省漢十高速公路孝襄段，主要進行數(shù)據(jù)采集的3個部分：首先，通過探地雷達檢測設備對漢十高速公路孝襄段進行雷達檢測，以獲取道路縱向雷達檢測二維剖面圖像和所有檢測點的單道反射波形數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)；其次，本文對漢十高速公路孝襄段開展鉆芯取樣工作，測量面層芯樣結構層厚度，以建立更加符合實際路況的道路三維模型；最后，由于相對介電常數(shù)測量的不穩(wěn)定性，本文需要通過計算模型進行計算混合料的相對介電常數(shù)。由于介電常數(shù)數(shù)值較大，并且難以準確得到，因此通常采用介電常數(shù)ε與真空介電常數(shù)ε0的比值表示，即相對介電常數(shù)ε1=ε/ε0。該參數(shù)是描述材料的極化特性的物理參數(shù)，即材料在外加電場的作用下，材料在電場中存儲電荷的能力。

2.1 路面雷達檢測

本次檢測使用的是由武漢理工大學和美國德克薩斯農機大學聯(lián)合開發(fā)的WB1-21型路用探地雷達檢測設備，如圖2所示。本文設計的探地雷達檢測設備的參數(shù)如下：①工作頻率：1 GHz；②探測深度：0～60 cm；③豎向分辨率0.1 mm；④發(fā)射點間距：0.5 m。由于探地雷達檢測深度為60 cm，此次檢測目標為道路面層和基層。并通過設備等距發(fā)射電磁波，接受道路反射的回波，以得到道路雷達檢測數(shù)據(jù)。

圖2 WB1-21型探地雷達檢測裝置

2.2 現(xiàn)場鉆芯取樣

路面取芯作為傳統(tǒng)的檢測手段，鉆取的芯樣不僅可以進行病害判斷，還可以在路面使用中準確的得到路面各結構層的厚度，為后續(xù)建立道路三維模型奠定基礎[11]。由于本文鉆芯的目的是得到各結構層的厚度，因此本次所取芯樣厚度為整個瀝青面層。為了不影響高速公路的正常運營，本次取芯選擇慢車道進行取芯，取芯過程如圖3所示，一共取了8個芯樣(見圖4)，芯樣的厚度數(shù)據(jù)如表1所示。2.3相對介電常數(shù)的計算

圖3 漢十高速公路現(xiàn)場取芯

圖4 現(xiàn)場芯樣圖

采用儀器所測量的相對介電常數(shù)具有不穩(wěn)定性，因此采用計算的方法得到相對介電常數(shù)。本文采用的相對介電常數(shù)的計算模型為瑞利(Rayleigh)模型，該模型相對于線形模型、均方根模型等復合材料介電模型來說誤差較小，比較適用于計算路面各結構層的相對介電常數(shù)[12]。

表1 芯樣厚度數(shù)據(jù)Table 1 Core sample thickness datacm上面層中面層下面層總厚度芯樣一3.64.77.916.2芯樣二3.44.38.215.9芯樣三3.84.68.016.4芯樣四3.65.17.916.6芯樣五3.65.58.217.3芯樣六3.16.17.516.7芯樣七3.666.616.2芯樣八3.86.28.218.2平均3.65.37.816.7

瀝青混合料是由空氣、瀝青結合料和骨料組成的三相復合介質，其瑞利(Rayleigh)模型可表示為：

(9)

式中：θa、θas、θs分別為空氣、瀝青、集料的體積率；εac、εa、εas、εs分別為混合料試件、空氣、瀝青、集料的相對介電常數(shù)。

表2為常用路面使用材料的相對介電常數(shù)值，表3為漢十高速公路孝襄段所取的芯樣各結構層的材料體積率的平均值，將其代入到式(9)中，可以得到各結構層瀝青混合料的相對介電常數(shù)。

表2 常用路用材料介電常數(shù)范圍Table 2 Dielectric constant range of common circuit materials路面材料介電常數(shù)范圍空氣1水81瀝青5.1石灰?guī)r8.4

表3 各結構層的平均材料體積率和相對介電常數(shù)Table 3 Mean material volume ratio and relative dielectric constant of each structure laye結構層厚度/cm組成材料體積率/%空氣瀝青集料相對介電常數(shù)上面層(SUP-12.5)3.604.711.284.16.90中面層(AC-20C)5.304.49.286.47.03下面層(AC-25C)7.805.59.586.07.00

由分析可知：上面層的厚度為3.60 cm，相對介電常數(shù)平均值為6.90；下面層的厚度為5.30 cm，相對介電常數(shù)平均值為7.03，下面層的厚度為7.80 cm，相對介電常數(shù)平均值為7.00。

3 基于GPR正演技術的道路空洞含水率計算

3.1 網格劃分

根據(jù)前文各結構層厚度、相對介電常數(shù)的結果，構建真實道路三維模型，并將模型導入程序中計算含水率與雷達反射波形的數(shù)學關系。由于瀝青混合料試件由瀝青和集料拌和而成，因此將模型中的每一層的瀝青混合料視為定值。所建立的道路三維模型是一個10 m×0.22 m×1 m的長方體，如圖5所示。上部為空氣層，厚度為3.30 cm，相對介電常數(shù)為1.00；第1層介質為上面層，厚度為3.60 cm，相對介電常數(shù)為6.90；第2介質為中面層，厚度為5.30 cm，相對介電常數(shù)7.03；第3層介質為下面層，厚度為7.80 cm，相對介電常數(shù)為7.00。整個區(qū)域用單元1 cm×0.1 cm×1 cm的矩形單元進行單元劃分，共劃分為1 000×220×100的網格空間。

圖5 真實道路三維模型

3.2 構建模型

將上述真實路面三維模型導入MATLAB計算程序中，將數(shù)值結果圖像化處理，可得到單道反射波形圖，如圖6所示。

圖6 單道反射波形圖

圖中A1為空氣層與上面層產生的反射波幅；A2為上面層與中面層交界處產生的反射波幅；A3為中面層與下面層交界處產生的反射波幅。

由于雨水會從路表滲入和道路基層的水氣會向上擴散，會導致在空洞處存在積水現(xiàn)象，且不易消除。由于水與空氣的相對介電常數(shù)有這較大的差異，導致雷達在發(fā)射高頻電磁波時會在兩者接觸面發(fā)生反射與折射現(xiàn)象[13]。因此，本文建立了不同含水率的三維空洞模型，來確定典型含水空洞雷達檢測特征圖像和單道反射波形圖，從而得到含水率與反射波幅間的模型。

3.3 不同含水率空洞病害正演模擬

通過查閱歷年工程養(yǎng)護情況和相關文獻，可以得到漢十高速公路孝襄段的空洞病害一般出現(xiàn)在層間交界處，其中下面層的空洞病害最嚴重。因此本文為了提高空洞識別能力，假設空洞形狀為5 cm×5 cm×2 cm的長方體空洞，且位于道路三維模型的中面層與下面層的交界處，其中心點空間坐標為(5 m，0.5 m，0.078 m)。同時選取了10%、20%、35%、50%、75%、100%的6種不同的含水率來建立三維空洞模型，如圖7所示。

(a)10%含水空洞

將模型導入到MATLAB中，并將模擬結果進行圖像處理，可得到電磁波在空洞正上方發(fā)射、接收所得的中心單聲道反射波形圖，由于該模型反射波峰較多，但在400 ps至450 ps內僅存在1個反射波峰，因此提取400 ps至450 ps間反射波谷進行繪圖，如圖8所示。將反射波谷的峰值與含水率進行線性擬合，如圖9所示。

圖8 反射波谷變化圖

圖9 空洞含水率與反射波谷擬合

根據(jù)含水率和該處的峰值可建立如下關系，即X表示含水率，Y表示該處峰值，單位為V，擬合公式為式(7)，相應R2=0.992 2。該式可以反映反射波谷峰值隨空洞含水率變化的數(shù)學關系，可通過峰值反算空洞含水率的大小。

y=176.83x-121.6

(10)

3.4 實際應用

根據(jù)現(xiàn)有的研究表明，存在含水空洞的雷達檢測二維剖面圖容易在中下面層反射界面出現(xiàn)“紅+藍+紅”特征圖像，藍色部分代表空洞中水的位置，紅色部分代表空洞中上部的空氣，通過“紅+藍”的位置準確定位空洞位置，與此同時隨著這空洞含水率的增加，下部分紅色線條將不斷遠離中下面層反射界面[14]。含水空洞病害的典型雷達檢測二維剖面圖見圖10。

圖10 含水空洞病害的典型雷達檢測二維剖面圖

基于這個典型特征，通過對照漢十高速公路實際雷達檢測二維剖面圖，發(fā)現(xiàn)漢十高速公路路面存在較多的含水空洞典型病害。圖11、圖12分別為漢十高速公路孝襄段實際含水空洞病害的雷達檢測二維剖面圖和反射波形圖。

圖11 實際雷達檢測二維剖面圖

圖12 雷達檢測反射波形圖

通過反射波形圖可以得到反射波谷峰值為-50.15 mV，代入之前所得到的反射波谷峰值與含水率的計算模型中，可以得到該處的含水空洞的含水率為：40.41%，其余含水空洞病害的圖像所在位置和含水率的大小如表4所示。

從表4可知，漢十高速公路孝襄段含水空洞病害共有6處，病害程度中等，特別是在K1156～K1158路段，如圖13所示。該路段可能出現(xiàn)連續(xù)病害，養(yǎng)護部門應重點關注，及時養(yǎng)護，減少對路面造成的損傷。

表4 孝襄段隱藏含水空洞病害含水率Table 4 Moisture content of hidden water-bearing cavity disease in Xiaoxiang section樁號反射波谷峰值/mV含水率/%K1068+466-50.1540.41K1143+442-62.3733.50K1156+135-41.2345.45K1157+227-49.6240.71K1158+932-38.9446.75K1162+664-51.4739.66

(a) 雷達二維剖面圖

4 結語

本文通過對典型路面含水空洞模型的雷達正演模擬，得到典型含水空洞病害的雷達檢測反射波形圖，探究路面空洞病害含水率與反射波谷峰值之間的數(shù)學關聯(lián)。主要結論如下：

a.本文通過推導求解電磁場的Maxwell方程組，并設置激勵源和邊界條件，得到GPR三維波動方程?；谠摲匠踢M行編寫MATLAB代碼，并將路面結構層厚度和混合料的相對介電常數(shù)導入，得到了真實道路三維模型。本正演模型是基于漢十高速公路實際路面數(shù)據(jù)建立的，但本文所提供的模型構建方法仍適用于其他高速公路，推動了探地雷達無損檢測技術在道路結構病害的精細化檢測的應用，為道路無損檢測技術的未來發(fā)展奠定了基礎。

b.本文發(fā)現(xiàn)在道路中下面層層間黏結處易含水空洞，因此在此處插入含水空洞模型，通過分析不同含水率的漢十空洞模型對電磁波在路面結構傳播的影響，發(fā)現(xiàn)路面含水空洞含水率與反射波谷峰值呈線性關系，具體關系如式(10)所示，此數(shù)學關系式可以應用于漢十高速公路路面空洞病害含水率的計算。這對其他高速公路準確測量路面空洞含水率提供了參考依據(jù)，為路面雷達回波的正演模擬提供了一個有效的方法，也為進一步開展路面雷達電磁波反演打下了理論基礎，具有極大的工程實際價值。