一類含平均曲率算子的擬線性微分方程Dirichlet問(wèn)題3個(gè)正解的存在性①

苗亮英， 馮登娟

青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 西寧 810007

近年來(lái)， 許多學(xué)者[1-13]研究了如下微分方程Dirichlet問(wèn)題

(1)

正解的存在性和多解性， 并取得了許多深刻的結(jié)果． 這里Ω為Rn，n≥2空間中的有界區(qū)域． 值得注意的是， 當(dāng)κ=0時(shí)， 問(wèn)題(1)退化為半線性Dirichlet問(wèn)題； 而當(dāng)κ≠0時(shí)， 上述問(wèn)題為擬線性微分方程Dirichlet問(wèn)題． 特別地， 當(dāng)κ=-1時(shí)， 問(wèn)題(1)退化為Minkowski空間中給定平均曲率方程Dirichlet問(wèn)題； 當(dāng)κ=1時(shí)， 問(wèn)題(1)退化為Euclidean空間中給定平均曲率方程Dirichlet問(wèn)題． 本文主要考察κ=1的情形． 需要說(shuō)明的是， 當(dāng)κ=1時(shí)， 給定平均曲率問(wèn)題(1)有重要的應(yīng)用背景， 例如可刻畫可壓縮流體的毛細(xì)現(xiàn)象以及人類角膜的幾何形狀[4-5]．

研究Euclidean空間中給定平均曲率方程Dirichlet問(wèn)題有很大的挑戰(zhàn)性． 如文獻(xiàn)[9-11]中所示， 當(dāng)κ=1時(shí)， 問(wèn)題(1)為一類擬線性非一致橢圓問(wèn)題， 研究這類問(wèn)題最大的障礙是缺乏梯度估計(jì)． 例如， 即便在最簡(jiǎn)單的一維空間下， 問(wèn)題(1)解的梯度也會(huì)出現(xiàn)爆破現(xiàn)象．

最近， 一些學(xué)者[6-13]分別利用變分法、 上下解方法、 時(shí)間映像法、 不動(dòng)點(diǎn)理論研究了一維給定平均曲率方程Dirichlet問(wèn)題

(2)

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)， 本文將利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究問(wèn)題(2)更為廣泛的情形， 確切地說(shuō)， 我們研究問(wèn)題

(3)

令

本文總假定

(H)f∈C([0， 1]×[0， ∞)， [0， ∞))且f(x，s)>0，s>0，x∈[0， 1]．

本文的主要結(jié)果

定理1假設(shè)f滿足條件(H)． 若f0=f∞=0， 則存在λ*，λ*>0 使得當(dāng)λ*<λ<λ*時(shí)， 問(wèn)題(3)至少存在3個(gè)正解．

注1在文獻(xiàn)[14]中， 我們構(gòu)造了一個(gè)合適的錐研究了Minkowski空間中一維給定平均曲率方程Dirichlet問(wèn)題3個(gè)以及多個(gè)正解的存在性． 但據(jù)我們所知， 還沒有學(xué)者研究歐氏空間中給定平均曲率型方程Dirichlet問(wèn)題3個(gè)正解的存在性．

1 預(yù)備知識(shí)

我們令

E={u∈C[0， 1]|u(0)=u(1)=0}

(i) 若‖Tx‖≥‖x‖，x∈?Kr， 則i(T，Kr，K)=0．

(ii) 若‖Tx‖≤‖x‖，x∈?Kr， 則i(T，Kr，K)=1．

(i)φ在[0， ∞)上是上凸的，φ-1在[0， 1)上是上凸的；

(ii) 對(duì)任意的0c使得φ-1(cs)≤Bcφ-1(s)， ?s∈(0， 1)． 對(duì)任意的c≥1滿足-1

引理3[11]令h∈C([0， 1]， [0， ∞))且?0． 假設(shè)w是

(4)

引理4[16]對(duì)任意的h∈C[0， 1]， (4)式存在唯一解u， 其中

用文獻(xiàn)[11]的方法和引理4可知， 問(wèn)題(3)的解等價(jià)于證明

引理5給定r>0， 若ε>0足夠小滿足Bλε<1且f*(r)≤εφ(r)， 則

‖Tλu‖∞≤Bλε‖u‖∞，u∈?Ωr

其中Bλε如引理2(ii)所示．

證由Tλ的定義， 對(duì)任意的u∈?Ωr， 我們有

引理6給定r>0， 若u∈?Ωr， 則

‖Tλu‖∞≤φ-1(λMr)

證對(duì)任意的u∈?Ωr， 則有f(u(x))≤Mr，x∈[0， 1]， 從而有

引理7[11]給定r>0， 若u∈?Ωr， 則

‖Tλu‖∞≥σx*φ-1(λ(1-σ)x*mr)

2 主要結(jié)果的證明

由引理7可知， 存在

并且

使得對(duì)λ*<λ<λ*， 我們有

‖Tλu‖∞>‖u‖∞，u∈?Ωri，i=2，3，5

由引理1可知，i(Tλ，Ωri，P)=0，i=2，3，5．

對(duì)于給定常數(shù)r4>0． 由引理6可知， 當(dāng)0<λ≤λ*時(shí)， ‖Tλu‖∞<‖u‖∞，u∈?Ωr4． 由引理1可知，i(Tλ，Ωr4，P)=1． 則

Bλε<1

由引理5可知， 當(dāng)0<λ<λ*時(shí)，

‖Tλu‖∞<‖u‖∞，u∈?Ωr1

由引理1可得i(Tλ，Ωr1，P)=1． 則

最后， 若f∞=0，λ<λ*， 則由引理7可知

因此， 問(wèn)題(3)至少存在3個(gè)不同的正解．

例1考慮如下含平均曲率算子的擬線性微分方程Dirichlet問(wèn)題

(5)

正解的存在性和多解性， 其中

顯然，f滿足條件(H)且f0=f∞=0． 由定理1可知， 問(wèn)題(5)至少存在3個(gè)正解．