模糊數(shù)列關(guān)于序β幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂和強幾乎理想λr-收斂①

馮雪

青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 西寧 810007

文獻[1]提出了統(tǒng)計收斂的概念， 隨后文獻[2-9]對其進行了深入研究． 在實際問題中， 數(shù)據(jù)和信息往往是不確定的， 而這種不確定性可以用模糊數(shù)[10]來表示， 所以對模糊數(shù)列收斂問題的研究顯得非常必要． 文獻[11]提出了模糊集合和模糊集合運算的概念， 標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生， 開創(chuàng)了模糊系統(tǒng)與模糊控制理論的研究． 文獻[12]討論了模糊數(shù)列的統(tǒng)計收斂， 并將模糊數(shù)列的統(tǒng)計收斂用自然密度為0的模糊數(shù)列和普通收斂的模糊數(shù)列來表示． 文獻[13]給出了理想的定義， 提出并討論了模糊數(shù)列的理想收斂． 文獻[14]開始研究Orlicz序列空間， 結(jié)果表明任何一個Orlicz序列空間lM包含一個同構(gòu)于lp(1≤p<∞)的子空間． 之后， 文獻[15-16]分別利用Orlicz函數(shù)推廣了Orlicz序列空間lM和強可和序列空間．

1 定義及說明

u為實數(shù)集R上的模糊集， 若u是正規(guī)的凸模糊集， 隸屬度函數(shù)u(x)上半連續(xù)， 且支撐集

[u]0=cl{x∈R：u(x)>0}

為緊集， 則稱u為模糊數(shù)[17]． 記所有模糊數(shù)所組成的集合為E1． 對任意的0≤r≤1， 水平截集[u]r={x：u(x)≥r}是一個閉區(qū)間． 對u，v∈E1，k∈R， 加法和數(shù)乘分別定義為

[u+v]r=[u]r+[v]r[ku]r=k[u]r

模糊數(shù)u，v∈E1之間的距離定義為

記N是全體自然數(shù)組成的集合， 集合A?N的自然密度定義為

其中|A|表示A的元素個數(shù)[19]．

設(shè)λ={λm}是非降數(shù)列，M是Orlicz函數(shù)，r={rk}是正實數(shù)列． 對于ρ>0， 0<β≤1， 模糊數(shù)列x={xk}關(guān)于序β幾乎λr-統(tǒng)計收斂于模糊數(shù)x0， 是指[19]

其中

定義1設(shè)λ={λm}是非降數(shù)列，M是Orlicz函數(shù)，r={rk}是正實數(shù)列， 對于ρ>0， 0<β≤1， 模糊數(shù)列x={xk}關(guān)于序β幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂于模糊數(shù)x0， 是指

其中

例1設(shè)I是自然密度0的自然數(shù)集N的理想，A={12， 22， 32， …}， 定義模糊數(shù)列

定義模糊數(shù)

當(dāng)m∈A時， 有

即對任意給定的δ， 存在M， 使得對任意k>M，m∈A， 有

當(dāng)m?A時， 有

即

所以{xk}為幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂數(shù)列． 由以上討論可知， 當(dāng)m?A時，

從而數(shù)列{xk}非統(tǒng)計收斂．

定義2設(shè)λ={λm}是非降數(shù)列，M是Orlicz函數(shù)，r={rk}是正實數(shù)列． 對ρ>0， 0<β≤1， 定義下列關(guān)于序β強幾乎理想λr-收斂的模糊數(shù)列空間：

其中

2 模糊數(shù)列關(guān)于序β幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂的相關(guān)性質(zhì)

定理1設(shè)x={xk}，y={yk}是兩個模糊數(shù)列， 則：

證(i) 當(dāng)C=0時， 結(jié)論顯然成立． 設(shè)C≠0， 有

對于任意的ε>0， 有

可得

定理2設(shè)模糊數(shù)列x={xk}與關(guān)于序β幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂的模糊數(shù)列y={yk}幾乎處處相等， 則x={xk}關(guān)于序β幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂， 而且與y={yk}收斂于同一模糊數(shù)．

證因為xk=yk幾乎處處成立， 所以集合{k∈N：xk≠yk}有限， 設(shè)為S=S(ε)． 則

所以

因此模糊數(shù)列x={xk}關(guān)于序β幾乎理想λr-統(tǒng)計收斂．

3 模糊數(shù)列關(guān)于序β強幾乎理想λr-收斂的相關(guān)性質(zhì)

定理3設(shè)λ={λm}是非降數(shù)列，M是Orlicz函數(shù)，r={rk}有界， 則

證顯然

設(shè)

則

其中

存在K=δ， 使得

定理4設(shè)M1，M2是Orlicz函數(shù)， 則以下結(jié)論成立：

證(i) 設(shè)

(ii)，(iii)的證明與(i)相似．

則

其中

K=min{[M(ε1)]h， [M(ε1)]H}

證記

因為

所以

5 結(jié)論