基于直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培育*
——向量題幾何背景挖掘與構(gòu)造

734500 甘肅省民樂縣第一中學(xué) 趙思博

向量本身兼具“形”與“數(shù)”的雙重特性，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，加上其本身的內(nèi)容十分豐富，命題形式靈活多變，自然成為高考命題的熱點(diǎn)

.

近年來，高考對向量的綜合運(yùn)用的考查多與平面幾何、解析幾何、不等式等相結(jié)合進(jìn)行交匯命題，綜合性強(qiáng)，難度較大，學(xué)生在這類問題上得分也不理想

.

筆者認(rèn)為，向量教學(xué)要逐步讓學(xué)生體會“從形到向量—借助向量運(yùn)算解決問題—從向量到形”的“三部曲”，更要培養(yǎng)學(xué)生逆向思考，體會“從向量到形—借助幾何直觀優(yōu)化運(yùn)算—從形到向量”的“三部曲”

.

根據(jù)教學(xué)實踐和解題研究，筆者闡述解決具有一定幾何背景的向量問題的有效策略

.

1 直觀建模，以數(shù)思形解三角形最值問題

例1

(2010高考浙江理-16) 已知平面向量滿足且與的夾角為則的取值范圍是________

.

解：

由聯(lián)想到向量減法的三角形法則，構(gòu)造△

CAB

,作向量則向量在△

CAB

中，邊利用正弦定理得所以可得

評注：

此題以向量減法為背景巧妙命題，利用向量的幾何意義把符號表示形式轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá)形式，使問題求解變得直觀

.

在向量的意義及運(yùn)算體系建立后，要注意強(qiáng)化向量的幾何直觀表示，引導(dǎo)學(xué)生體會通過建立向量符號運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系，形成解決向量題的背景支持

.

例2

(2013浙江理-17) 設(shè)為單位向量，非零向量若的夾角為則的最大值等于________

.

解：

不妨設(shè)則在△

OAB

中，又的夾角為則或即則

評注：

此題考查平面向量基本定理、平面向量的幾何意義及向量的運(yùn)算

.

通過向量加法運(yùn)算構(gòu)建三角形，使題目形象鮮明，直觀具體，思路豁然開朗

.

構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，將向量“圖形化”，借助圖形把問題的本質(zhì)凸顯出來，通過幾何直觀感知數(shù)學(xué)抽象，理解運(yùn)算對象，使問題變得簡明、形象

.

2 構(gòu)圖建系，巧用矩形性質(zhì)以形解數(shù)

例3

(2013重慶理-10) 在平面上，若則的取值范圍是( )

解法1：

根據(jù)條件知

A

,

B

,

P

,

B

構(gòu)成一個矩形，便于建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法解決

.

以

AB

,

AB

所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖1所示)

.

設(shè)|

AB

|=

a

,|

AB

|=

b

,點(diǎn)

O

的坐標(biāo)為(

x

,

y

)，則點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為(

a

,

b

)，由得則又由得則所以而所以

圖1

解法2：

由由兩個條件結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，易得矩形

AB

PB

,

O

是平面內(nèi)一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

OA

,

OP

,

OB

,

OB

,則有

OA

+

OP

=

OB

+

OB

(矩形的一個性質(zhì)，可證明)，所以可得的取值范圍是

評注：

此題以平面向量加法的平行四邊形法則和矩形為幾何背景命題，在易于建立坐標(biāo)系的情況下，優(yōu)先考慮坐標(biāo)運(yùn)算，向量的坐標(biāo)表示為實現(xiàn)向量運(yùn)算到數(shù)的運(yùn)算打下了基礎(chǔ)，建立起了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，在向量問題解決中突出坐標(biāo)法，是要讓學(xué)生感悟用坐標(biāo)法研究幾何問題的程序性和普適性

.

解法2結(jié)合圖形特征應(yīng)用矩形的性質(zhì)大大簡化了運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，也是代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀，作為數(shù)形結(jié)合的兩個方面，兩者都不可或缺

.

向量教學(xué)中既要重視幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，也要關(guān)注代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀，利用幾何直觀，發(fā)揮圖形的功能，有助于向量問題的解決

.

3 直觀顯化，巧用圓的性質(zhì)避繁就簡

例4

(2014安徽理-10) 在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，已知向量點(diǎn)

Q

滿足曲線區(qū)域若

C

∩

Ω

為兩段分離的曲線，則( )A

.

1<

r

<

R

<3 B

.

1<

r

<3≤

R

C

.r

≤1<

R

<3 D

.

1<

r

<3<

R

解法1：

作向量并且

OA

⊥

OB

,設(shè)則則由此可得曲線

C

是以

O

為圓心、1為半徑的圓

.

區(qū)域

Ω

是以

Q

為圓心的圓環(huán)，內(nèi)圓半徑為

r

，外圓半徑為

R

′，若

C

∩

Ω

為兩段分離的曲線，結(jié)合圖形可知，半徑為

r

和半徑為

R

的兩圓均與以

O

為圓心1為半徑的圓相交，所以1<

r

<

R

<3

.

解法2

(坐標(biāo)法)：不妨設(shè)易得以下同解法1

.

評注：

此題以平面向量加法的平行四邊形法則和圓為幾何背景命題，解題的關(guān)鍵是能正確分析出曲線

C

和區(qū)域

Ω

是什么樣的圖形

.

面對如此之多的抽象數(shù)學(xué)符號，很多學(xué)生束手無策，若能認(rèn)真分析集合內(nèi)元素的本質(zhì)特征，細(xì)心挖掘其具體意義和幾何背景，將抽象的符號語言直觀顯化，并能數(shù)形結(jié)合分析其數(shù)量關(guān)系，即可順利完成解答

.

有些數(shù)學(xué)表達(dá)式是有明顯幾何意義的，從幾何圖形的直觀認(rèn)識問題的實質(zhì)，進(jìn)而解決問題往往運(yùn)算較簡便，但這種方法構(gòu)造性強(qiáng)，需要較高的思維水平和對向量的深入認(rèn)識及理解

.

例5

(2016四川理-10) 在平面內(nèi)，定點(diǎn)

A

，

B

，

C

，

D

滿足動點(diǎn)

P

，

M

滿足則的最大值是( )

解：

由題意，所以

D

到

A

,

B

,

C

三點(diǎn)的距離相等，

D

是△

ABC

的外心

.

由得所以

DB

⊥

AC

，同理可得

DA

⊥

BC

,

DC

⊥

AB

，從而

D

是△

ABC

的垂心

.

△

ABC

的外心與垂心重合，因此△

ABC

是正三角形，且

D

是△

ABC

的中心

.

求得所以正三角形△

ABC

的邊長為

解法1：

如圖2所示，以

A

為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

B

,

C

,

D

三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為由動點(diǎn)

P

的軌跡是單位圓，設(shè)

P

點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos

θ

,sin

θ

)，其中

θ

∈[0,2π)，而即

M

是

PC

的中點(diǎn)，可以寫出

M

的坐標(biāo)為則當(dāng)時，取得最大值故選B．

圖2

也可以以點(diǎn)

B

為坐標(biāo)原點(diǎn),

BC

所在直線為

x

軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3所示)由點(diǎn)

P

的軌跡方程為令點(diǎn)又即

M

是

PC

的中點(diǎn)，則取得最大值為

圖3

解法2：

取

AC

的中點(diǎn)從而動點(diǎn)

M

的軌跡是以

N

為圓心為半徑的圓，當(dāng)

B

,

N

,

M

三點(diǎn)共線時，

BM

為最大值．所以

BM

最大值為則取得最大值

評注：

本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積與向量的模、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力

.

對條件進(jìn)行化簡變形，易得出△

ABC

是正三角形，動點(diǎn)

P

的軌跡是圓，動點(diǎn)

M

的軌跡也是圓，解法1運(yùn)用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，使學(xué)生對向量運(yùn)算的認(rèn)識逐步深化，進(jìn)一步體會向量的主要作用要通過運(yùn)算來實現(xiàn)

.

解法2利用圓的性質(zhì)得出最值，則更能體現(xiàn)向量運(yùn)算的幾何解釋

.

4 以形助數(shù)，妙用圓的性質(zhì)化動為定

例6

(2014湖南文-10) 在平面直角坐標(biāo)系中，

O

為原點(diǎn)，動點(diǎn)

D

滿足則的取值范圍是( )

解：

此題中已有坐標(biāo)系，為三定點(diǎn)，可設(shè)動點(diǎn)

D

(

x

,

y

)，則所以有(

x

-3)+

y

=1，說明點(diǎn)

D

的軌跡是以

C

(3，0)為圓心、1為半徑的圓

.

因則有此式有明確的幾何意義，表示定點(diǎn)到圓

C

上點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合可求得其取值范圍是

評注：

此題以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和解析幾何中兩點(diǎn)間的距離為幾何背景命題，巧妙地把向量的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為圖形形式，使解題事半功倍，優(yōu)化了解題過程

.

研究向量問題要樹立數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局的意識，解決問題時要善于用坐標(biāo)法運(yùn)算，用幾何眼光觀察與思考，用代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)的發(fā)展

.

5 深度理解，利用幾何直觀化繁為簡

例7

(2013安徽理-9) 在平面直角坐標(biāo)系中，

O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)

A

,

B

滿足則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是( )

解法1:

要求面積應(yīng)先明確是怎樣的圖形，從題設(shè)提供的信息想到建立坐標(biāo)系，尋求動點(diǎn)坐標(biāo)滿足的線性約束條件，將問題轉(zhuǎn)化為不等式組表示的平面區(qū)域

.

由可得建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)可得則當(dāng)時，由可行域可得由對稱性可知區(qū)域的面積是所以選D

.

解法2:

由可得可知△

OAB

是一個邊長為2的等邊三角形，由考慮當(dāng)

λ

≥0，

μ

≥0，且

λ

+

μ

=1時，

A

,

B

,

P

三點(diǎn)共線(用三點(diǎn)共線的充要條件可判斷)，則

λ

≥0，

μ

≥0，且

λ

+

μ

≤1時，點(diǎn)

P

必在△

OAB

內(nèi)(包括邊界)，考慮|

λ

|+|

μ

|≤1，

λ

，

μ

∈

R

的其他情形，點(diǎn)

P

的集合恰好是以

AB

為一邊，以

OA

,

OB

為對角線一半的矩形，其面積

評注：

解法1從坐標(biāo)的角度考慮，先建立平面直角坐標(biāo)系，利用題設(shè)條件得點(diǎn)

P

的坐標(biāo)

x

,

y

與

λ

，

μ

之間的關(guān)系，利用|

λ

|+|

μ

|≤1，

λ

，

μ

∈

R

得到關(guān)于

x

,

y

的不等式組，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題解答，這是典型的坐標(biāo)法，是研究解析幾何問題最基礎(chǔ)、最常用的方法，完全通過代數(shù)運(yùn)算，運(yùn)算量較大，得到最終結(jié)果需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是有利的

.

解法2從平面向量基本定理入手，結(jié)合三點(diǎn)共線的充要條件去思考構(gòu)成平面點(diǎn)集的區(qū)域圖形的形狀，巧妙地避開了繁雜的運(yùn)算，不失為一種優(yōu)美解法，但這種方法體現(xiàn)較強(qiáng)的構(gòu)造性，對學(xué)生的思維水平要求較高，要求學(xué)生對向量知識有系統(tǒng)的認(rèn)識和深入的理解

.

數(shù)學(xué)問題求解的基本思維方法是從題設(shè)條件出發(fā)尋找解題的方向

.

在決斷解題方法時，對題設(shè)條件的思維切入點(diǎn)不同，解題的方法也將不盡相同

.

對于一類有幾何背景的向量題，在尋找解題思路時，應(yīng)牢牢把握向量的兩個基本特征：利用“數(shù)”的特征，可以從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量級、基底分解與坐標(biāo)運(yùn)算等方面切入，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來解決；利用“形”的特征，通過向量的幾何意義及向量的運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中的問題，直接利用平面幾何中的相關(guān)結(jié)論得到結(jié)果

.

教師在教學(xué)中，要注重直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，這樣學(xué)生才能熟練地實現(xiàn)向量的符號表示形式向圖形表達(dá)形式、坐標(biāo)表示形式的轉(zhuǎn)化，優(yōu)化向量問題解法

.