概念教學(xué)中基于“問(wèn)題提出”的情境設(shè)計(jì)
——以“加權(quán)平均數(shù)”新授課為例

200235 上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院 徐曉燕

200030 上海市徐匯中學(xué) 朱元苑

一、 研究背景

(一)“問(wèn)題提出”及其教學(xué)價(jià)值

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要

.

“問(wèn)題提出”是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，師生基于問(wèn)題情境衍生出新問(wèn)題，表達(dá)新問(wèn)題的活動(dòng)和任務(wù)

.

在教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境中數(shù)學(xué)對(duì)象的基本構(gòu)成要素的分析與思考，挖掘關(guān)系和矛盾，進(jìn)行質(zhì)疑與猜想，提出新問(wèn)題

.

因而，圍繞情境的“問(wèn)題提出”便是把一個(gè)問(wèn)題情境變成一個(gè)新的問(wèn)題情境從而形成問(wèn)題鏈的過(guò)程

.

學(xué)習(xí)過(guò)程就是圍繞情境提出的問(wèn)題鏈進(jìn)行新知建構(gòu)、內(nèi)容的鞏固理解和新情境中的遷移應(yīng)用的活動(dòng)歷程，而好的情境則能激發(fā)學(xué)生自主提出問(wèn)題，促使學(xué)生成為更好的問(wèn)題解決者

.

近年，“問(wèn)題提出”開(kāi)始作為一種教學(xué)方法被關(guān)注

.

學(xué)者張丹的“問(wèn)題提出”教學(xué)模式包括情境體驗(yàn)、問(wèn)題產(chǎn)生、問(wèn)題解決和反思總結(jié)階段，形成了一個(gè)循環(huán)的閉環(huán)(如圖1所示)

.

如果教師營(yíng)造的氛圍好，不僅在問(wèn)題情境中會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題，而且在問(wèn)題解決、反思總結(jié)的過(guò)程中都可能產(chǎn)生新的問(wèn)題，整個(gè)教學(xué)過(guò)程就是學(xué)生在情境中不斷思考形成問(wèn)題鏈，圍繞問(wèn)題鏈進(jìn)行活動(dòng)實(shí)踐與合作交流的學(xué)習(xí)過(guò)程

.

圖1

(二)“問(wèn)題提出”與“情境創(chuàng)設(shè)”

問(wèn)題情境決定了“問(wèn)題提出”發(fā)生的基本場(chǎng)域，是“問(wèn)題提出”得以發(fā)生的活動(dòng)背景和資源條件

.

正如學(xué)者鄭培珺所說(shuō)，要關(guān)注問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，好的問(wèn)題情境能夠揭示數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的矛盾和聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力

.

情境化教學(xué)理論提出，在數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)中要調(diào)動(dòng)學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活情境中的經(jīng)歷，增加學(xué)生理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)的能力；在知識(shí)運(yùn)用中通過(guò)創(chuàng)設(shè)復(fù)雜真實(shí)的情境，讓學(xué)生克服情境干擾、剝離情境，增強(qiáng)把數(shù)學(xué)應(yīng)用到新情境中的能力，從而形成“情境化—去情境化—再情境化”的教學(xué)路徑(如圖2所示)

.

章建躍教授則在中國(guó)教育學(xué)會(huì)第十二屆初中青年教師課例展示活動(dòng)中指出：“在數(shù)學(xué)對(duì)象引入階段，創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)對(duì)象的現(xiàn)實(shí)原型的生活情境，激發(fā)興趣便于問(wèn)題展開(kāi)，而在新知發(fā)生發(fā)展過(guò)程中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，從數(shù)學(xué)內(nèi)部特殊化、一般化或者類比進(jìn)行問(wèn)題提出與思考

.

”上海市教育發(fā)展研究院研究員楊玉東則形象地把新知建構(gòu)中的情境創(chuàng)設(shè)比喻為“搭設(shè)新知建構(gòu)的腳手架”，新知應(yīng)用中的情境則是促進(jìn)知識(shí)遷移的“絆腳石”

.

圖2

二、 課例呈現(xiàn)

加權(quán)平均數(shù)是對(duì)平均數(shù)算法的推廣，它的本質(zhì)是從數(shù)據(jù)的“大小”與數(shù)據(jù)的“多少”兩個(gè)維度揭示它對(duì)一組數(shù)據(jù)的平均值的影響力

.

平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式都是總量除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，但為什么要變形處理？這背后到底有什么意義？權(quán)是什么？為什么要加權(quán)？如何用好權(quán)并合理賦權(quán)？本節(jié)課的基本任務(wù)就是通過(guò)這些問(wèn)題揭示“加權(quán)平均數(shù)”概念引入的必要性、概念定義的合理性及其在生活中的應(yīng)用

.

因此，情境創(chuàng)設(shè)的基本思路是運(yùn)用學(xué)生熟悉的情境和問(wèn)題創(chuàng)設(shè)矛盾沖突，引發(fā)學(xué)生對(duì)熟悉的平均數(shù)計(jì)算公式的再認(rèn)識(shí)與再思考

.

(一)概念導(dǎo)入——熟悉情境，以舊引新孕育“權(quán)”

問(wèn)題情境

關(guān)注青少年的身高問(wèn)題

.

已知某班級(jí)男生平均身高為170厘米，女生平均身高為160厘米，能否算出全班同學(xué)的平均身高？

設(shè)計(jì)意圖：

在學(xué)生熟悉的身高情境中創(chuàng)設(shè)條件不完備的問(wèn)題情境，引起錯(cuò)誤的前概念

.

有學(xué)生求出結(jié)果為165厘米，誘發(fā)其他學(xué)生質(zhì)疑“缺人數(shù)的條件，因?yàn)槿嗤瑢W(xué)的平均身高等于班級(jí)所有同學(xué)身高總和除以人數(shù)”，自然過(guò)渡到“添加人數(shù)”進(jìn)行平均值計(jì)算的活動(dòng)，孕育權(quán)的雛形．

(二)概念形成——情境變式，估值驗(yàn)證感知“權(quán)”

情境變式1

情境設(shè)定為班級(jí)總?cè)藬?shù)50不變，控制男生和女生人數(shù)變量

.

(如表1所示)

表1

男生平均身高女生平均身高總?cè)藬?shù)男生人數(shù)女生人數(shù)全班同學(xué)的平均身高1班170厘米160厘米50人30人20人30×170+20×16050=166(厘米)2班170厘米160厘米50人20人30人20×170+30×16050=164(厘米)3班170厘米160厘米50人25人25人25×170+25×16050=165(厘米)

思考1

已知男生人數(shù)、女生人數(shù)，先不計(jì)算，請(qǐng)你估計(jì)結(jié)果更偏向于170還是160

.

思考2

計(jì)算結(jié)果，判斷是否符合你的估計(jì)

.

它的大小和人數(shù)有關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：

采取控制變量的方法，班級(jí)總?cè)藬?shù)50不變，男生、女生的平均身高不變，通過(guò)控制男女生人數(shù)的變化達(dá)到變化權(quán)的目，讓學(xué)生初步感知權(quán)的存在

.

通過(guò)估值再計(jì)算驗(yàn)證的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷定性感知到定量計(jì)算的過(guò)程

.

在課堂中，學(xué)生得到的事實(shí)也是估計(jì)誰(shuí)的人數(shù)多，結(jié)果就偏向于誰(shuí)

.

而當(dāng)人數(shù)相同時(shí)，均值則恰好是160與170的平均數(shù)，也就是說(shuō)學(xué)生通過(guò)熟悉的生活情境已經(jīng)初步進(jìn)行概念的建構(gòu)

.

情境變式2

情境變換為年級(jí)人數(shù)和學(xué)校人數(shù)，引發(fā)估值驗(yàn)證活動(dòng)

.

(如表2所示)

思考3

到底是什么量影響了平均數(shù)？是人數(shù)嗎？學(xué)生對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行觀察與比對(duì)分析，發(fā)現(xiàn)平均值沒(méi)有發(fā)生改變，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)盡管總?cè)藬?shù)發(fā)生了改變，但是男生人數(shù)和女生人數(shù)之比沒(méi)有發(fā)生改變，初步感知影響平均值的并不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，而是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)與總數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)之比

.

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)表2中人數(shù)的同比例放大，創(chuàng)設(shè)觀察與對(duì)比的情境，引發(fā)學(xué)生提出“到底是什么影響了平均數(shù)的值？”的問(wèn)題

.

學(xué)生提出“占比”才是影響平均值的關(guān)鍵，用這個(gè)占比來(lái)體現(xiàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對(duì)平均數(shù)的影響，自然過(guò)渡到對(duì)平均數(shù)公式進(jìn)行代數(shù)式變形

.

表2

男生平均身高女生平均身高總?cè)藬?shù)男生人數(shù)女生人數(shù)所有同學(xué)的平均身高某班級(jí)170厘米160厘米50人30人20人30×170+20×16050=166(厘米)某年級(jí)170厘米160厘米400人240人160人240×170+160×160400=166(厘米)某學(xué)校170厘米160厘米1500人900人600人900×170+600×1601500=166(厘米)

思考4

如何對(duì)平均值的列式計(jì)算進(jìn)行變形，從數(shù)學(xué)的角度體現(xiàn)出這個(gè)影響因素？

思考5

如何從理性視角說(shuō)明男生人數(shù)為30人，女生人數(shù)為20人時(shí)，平均數(shù)偏向男生的平均身高？(如表3所示)

表3

所有同學(xué)的平均身高30×170+20×16050=3050×170+2050×160=35×170+25×160=166(厘米)240×170+160×160400=240400×170+160400×160=35×170+25×160=166(厘米)900×170+600×1601500=9001500×170+6001500×160=35×170+25×160=166(厘米)

設(shè)計(jì)意圖：

在探究平均身高的活動(dòng)中，人數(shù)從無(wú)到有，從有到變，在對(duì)平均數(shù)公式變形進(jìn)行數(shù)學(xué)化表達(dá)的階段中，學(xué)生感受權(quán)

.

思考5引發(fā)學(xué)生觀察170和160兩個(gè)數(shù)據(jù)在前面的占比，深刻體會(huì)“數(shù)據(jù)的多與少”對(duì)身高平均值的影響力

.

(三)概念對(duì)象——數(shù)學(xué)抽象，多元表征明晰“權(quán)”

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問(wèn)題與思考，從特殊到一般，從兩個(gè)數(shù)據(jù)到多個(gè)數(shù)據(jù)，剝離平均身高的情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象概括與提煉

.

1

.

從特殊到一般，初步歸納與概括

.

若男生和女生人數(shù)分別為

a

人和

b

人，請(qǐng)用含

a

，

b

的式子表示結(jié)果

.

(數(shù)據(jù)170和160的權(quán)分別為

2

.

介紹孟子在《孟子·梁惠王上》中對(duì)權(quán)的解釋，了解權(quán)在古代的釋義，增加對(duì)概念定義的認(rèn)同感

.

孟子提出：“權(quán)，然后知輕重；度，然后知長(zhǎng)短

.

物皆然，心為甚

.

”意思是物用秤稱一稱，才知道輕重，用尺量一量，才知道長(zhǎng)短

.

什么東西都是這樣，人的心更需要這樣

.

3

.

數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)從兩個(gè)變?yōu)槎鄠€(gè)，提出對(duì)權(quán)進(jìn)行數(shù)學(xué)化定義與數(shù)學(xué)表達(dá)

.

一組數(shù)據(jù)

x

，

x

，…，

x

出現(xiàn)的次數(shù)分別為

f

，

f

，…，

f

， 則把概念結(jié)構(gòu)化概括為數(shù)據(jù)及其權(quán)兩個(gè)要素

.

設(shè)則也叫做這

k

個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)(weighted mean)．其中

m

，

m

，…，

m

叫做權(quán)(weight)，它體現(xiàn)了

x

，

x

，…，

x

對(duì)平均數(shù)所產(chǎn)生的影響

.

設(shè)計(jì)意圖：

從具體實(shí)際問(wèn)題到抽象化的符號(hào)表達(dá)，從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，通過(guò)名人名言創(chuàng)設(shè)古今對(duì)話的情境，在感知概念屬性的基礎(chǔ)上順其自然地給出定義

.

讓學(xué)生感受定義的必要性與合理性，體會(huì)概念在有限的文字背后所隱含的豐富內(nèi)涵、價(jià)值觀和文化

.

(四)概念辨析——情境變換，交流表達(dá)理解“權(quán)”

問(wèn)題1

保護(hù)視力、愛(ài)護(hù)眼睛的重要性使得 “控制青少年上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)”成為近期熱點(diǎn)話題

.

已知A網(wǎng)站和B網(wǎng)站的用戶日人均上網(wǎng)時(shí)間分別為2小時(shí)和3小時(shí)，A網(wǎng)站用戶數(shù)為7萬(wàn)人，B網(wǎng)站用戶數(shù)為3萬(wàn)人，求這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時(shí)間

.

(1)在不計(jì)算的前提下，你能大致估計(jì)這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時(shí)間嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由

.

(2)請(qǐng)嘗試列式解決問(wèn)題

.

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)問(wèn)題1初步進(jìn)行概念鞏固，體會(huì)實(shí)際問(wèn)題中“人數(shù)較多”即數(shù)學(xué)意義上“數(shù)據(jù)的權(quán)較大”，體會(huì)“權(quán)重”，初步理解概念內(nèi)涵

.

學(xué)生直接根據(jù)數(shù)據(jù)2和3的權(quán)的大小，估計(jì)結(jié)果更加靠近2小時(shí)，并運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算

問(wèn)題2

如圖3，對(duì)于“須控制青少年上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)”這一熱點(diǎn)話題，通過(guò)抽樣調(diào)查，已知A網(wǎng)站和B網(wǎng)站認(rèn)為“這個(gè)話題重要”的用戶所占百分比分別為74%和62%，A網(wǎng)站和B網(wǎng)站參與評(píng)價(jià)的用戶數(shù)分別為

a

人和

b

人

.

求這兩家網(wǎng)站所有客戶中認(rèn)為“這個(gè)話題重要”的客戶所占比例

.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：

問(wèn)題2創(chuàng)設(shè)與問(wèn)題1進(jìn)行對(duì)比的情境，通過(guò)糾正的錯(cuò)誤結(jié)果，學(xué)生理解數(shù)據(jù)本身可以是數(shù)，也可以是百分?jǐn)?shù)，理解概念的外延

.

思考6

回顧平均身高問(wèn)題，回答以下問(wèn)題

.

(1)計(jì)算所有同學(xué)的平均身高一定需要添加具體的人數(shù)嗎？

(2)男生、女生人數(shù)均為25人時(shí)，數(shù)據(jù)170和160的權(quán)分別是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)思考6的回顧與反思，學(xué)生理解求平均身高不需要知道具體的人數(shù)，只需要知道男生人數(shù)與女生人數(shù)之比或比例或百分比，體會(huì)權(quán)的多種呈現(xiàn)形式，并理解各數(shù)據(jù)的權(quán)之和為1，當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)相等時(shí)，加權(quán)平均數(shù)從一般到特殊即為算術(shù)平均數(shù)，即當(dāng)

k

個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)相等時(shí)，每個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)為從而

(五)概念應(yīng)用——綜合情境，關(guān)聯(lián)應(yīng)用深化“權(quán)”

概念的真正理解，不僅在于學(xué)生在簡(jiǎn)單情境中的模仿，更重要的是在真實(shí)復(fù)雜情境中進(jìn)行知識(shí)的關(guān)聯(lián)理解、遷移和應(yīng)用，理性思考權(quán)的作用，并能根據(jù)需要合理賦權(quán)．

熱點(diǎn)話題

許海峰在1984年奧運(yùn)會(huì)上為我國(guó)獲得首金

.

2021年奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)楊倩同樣在射擊項(xiàng)目上獲得本屆奧運(yùn)會(huì)首金，掀起射擊訓(xùn)練熱潮

.

問(wèn)題3

小明學(xué)習(xí)射擊3個(gè)月，教練通過(guò)30次射擊訓(xùn)練來(lái)了解他目前的水平

.

(1)如圖4，你能根據(jù)圖中提供的信息估計(jì)小明本次訓(xùn)練的平均成績(jī)嗎？

圖4

(2)請(qǐng)計(jì)算小明本次訓(xùn)練的平均成績(jī)，并與你的估計(jì)比較

.

設(shè)計(jì)意圖：

首先通過(guò)“奧運(yùn)首金”這一熱點(diǎn)話題創(chuàng)設(shè)情境，增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義情懷

.

其次通過(guò)預(yù)估結(jié)果(在8-9之間)和計(jì)算出的平均值7

.

84存在較大差異創(chuàng)設(shè)矛盾沖突，讓學(xué)生從多個(gè)數(shù)據(jù)的維度理解每個(gè)數(shù)據(jù)以及它的權(quán)對(duì)平均數(shù)計(jì)算結(jié)果有共同影響，蘊(yùn)含“截尾平均數(shù)”的雛形，并使學(xué)生意識(shí)到對(duì)事物的判斷需要將定性感知和精確的定量計(jì)算相結(jié)合，建立理性的數(shù)據(jù)觀

.

問(wèn)題4

某網(wǎng)站想招聘一名網(wǎng)絡(luò)維護(hù)員，人事部門從創(chuàng)新能力、計(jì)算機(jī)能力和溝通能力三方面考察候選人的綜合能力

.

A、B、C三名候選人的測(cè)試成績(jī)(百分制)如表4所示

.

表4

候選人創(chuàng)新能力計(jì)算機(jī)能力溝通能力A807088B699055C878067

(1)如果你是人事主管，你會(huì)選誰(shuí)？為什么？ (討論與交流)

(2)以下方案均讓計(jì)算機(jī)能力權(quán)重最大，會(huì)得到什么樣的結(jié)果？(比對(duì)分析)

引發(fā)問(wèn)題

根據(jù)不同的方案設(shè)計(jì)求出綜合評(píng)分

.

(如表5所示)

表5

候選人創(chuàng)新能力計(jì)算機(jī)能力溝通能力綜合評(píng)分方案一方案二方案三方案四A80708878.476.675.674.6B69905573.276.778.880.9C87806778.279.578.878.1

方案1

三項(xiàng)能力成績(jī)分別按照 3∶4∶3 計(jì)入綜合評(píng)分

.

方案2

三項(xiàng)能力成績(jī)分別按照 3∶5∶2 計(jì)入綜合評(píng)分

.

方案3

三項(xiàng)能力成績(jī)分別占綜合評(píng)分的 20%，60%和20%.

方案4

三項(xiàng)能力成績(jī)分別占綜合評(píng)分的 10%，70%和20%.

設(shè)計(jì)意圖：

問(wèn)題4的小問(wèn)(1)創(chuàng)設(shè)了結(jié)論開(kāi)放的“選拔人才”的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生討論交流，引發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題“到底如何賦權(quán)才能體現(xiàn)出公平性和合理性？”自然過(guò)渡到問(wèn)題4小問(wèn)(2)中的四個(gè)方案設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)賦權(quán)的過(guò)程感悟權(quán)的價(jià)值，學(xué)生體會(huì)到數(shù)據(jù)的權(quán)重帶有設(shè)計(jì)者的個(gè)人觀點(diǎn)，不同的權(quán)背后折射出設(shè)計(jì)者不同的核心理念與價(jià)值觀．引導(dǎo)學(xué)生用理性的觀點(diǎn)對(duì)待數(shù)據(jù)，以免被表象誤導(dǎo)

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課堂教學(xué)中，對(duì)于小問(wèn)(1)，部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選擇B, 因?yàn)樗挠?jì)算機(jī)能力最強(qiáng).也有學(xué)生持不同觀點(diǎn)，認(rèn)為B的溝通能力不行，應(yīng)該選擇C，因?yàn)樗挠?jì)算機(jī)能力較強(qiáng)且其他方面也不錯(cuò).少部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選擇A，因?yàn)樗麥贤ê蛣?chuàng)新能力較強(qiáng).學(xué)生各說(shuō)各的理，最后達(dá)成共識(shí)，不管選誰(shuí)，都應(yīng)該對(duì)計(jì)算機(jī)能力賦予最大的權(quán).

對(duì)于小問(wèn)(2)，學(xué)生感受到盡管四種方案都是賦予計(jì)算機(jī)能力最大的權(quán)，但是最終的結(jié)果還是不盡相同

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通過(guò)比對(duì)，學(xué)生分析體會(huì)賦權(quán)背后的價(jià)值取向，并理解在實(shí)際問(wèn)題中賦權(quán)需要進(jìn)行多方面考量，并事先賦權(quán)，這樣才能體現(xiàn)合理性和公正性

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(六)概念小結(jié)——本原性問(wèn)題情境，追根溯源，建立概念圖式

什么是權(quán)？為什么要學(xué)加權(quán)平均數(shù)？通過(guò)創(chuàng)設(shè)“為什么？是什么？怎么學(xué)？學(xué)了有什么用？”這樣的本原性問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的深度思考，回顧和反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程和問(wèn)題解決過(guò)程，形成如圖5所示的概念圖，并發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提升歸納和總結(jié)能力，讓學(xué)生感受概念在有限的文字背后所蘊(yùn)含的豐富的內(nèi)涵、思想方法、數(shù)學(xué)文化

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圖5

三、 情境設(shè)計(jì)策略

(一)核心素養(yǎng)視角下概念教學(xué)的基本任務(wù)與過(guò)程

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的任務(wù)不是“講概念”，而是讓學(xué)生在問(wèn)題情境中“悟概念”

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每個(gè)數(shù)學(xué)概念都包含著一些人甚至是人類在一段時(shí)空里的探索、質(zhì)疑、研究和發(fā)現(xiàn)，包含著思辨或?qū)嵶C，內(nèi)蘊(yùn)著價(jià)值與信念，而這些努力和過(guò)程最終凝練、沉淀為概念

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教師要讓學(xué)生在問(wèn)題情境中感受概念引入的必要性，體驗(yàn)概念抽象的過(guò)程性，體會(huì)數(shù)學(xué)概念定義的合理性

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讓學(xué)生在觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、歸納與概括中經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程，通過(guò)素材加工與情境的設(shè)計(jì)，帶領(lǐng)學(xué)生走入概念呈現(xiàn)的有限文字背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化

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數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的概念學(xué)習(xí)要經(jīng)歷形象感知、建立表象、數(shù)學(xué)抽象等概念建構(gòu)的基本過(guò)程，用數(shù)學(xué)的眼光看世界，夯實(shí)基本的思維素養(yǎng)，用推理或計(jì)算分析解決問(wèn)題

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而當(dāng)概念成為數(shù)學(xué)對(duì)象后，要在數(shù)學(xué)或現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行應(yīng)用，回歸“抽象、表象、形象”，用推理或計(jì)算分析解決問(wèn)題，從中感悟方法，體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的工具作用，形成觀念、提升意志力和品格

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(如圖6所示)

圖6 概念學(xué)習(xí)的基本認(rèn)知過(guò)程

(二)策略

當(dāng)下教師都關(guān)注創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，但是常常出現(xiàn)情境與數(shù)學(xué)對(duì)象之間沒(méi)有關(guān)系，情境不利于教學(xué)問(wèn)題的展開(kāi)等情況

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筆者認(rèn)為，教師可運(yùn)用以下策略來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

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1

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基于概念本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)“概念原型”的情境以提出問(wèn)題數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生主要是源于現(xiàn)實(shí)世界的抽象或數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯構(gòu)造

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教師要先厘清概念本質(zhì)和基本要素，才能創(chuàng)設(shè)好的問(wèn)題情境

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設(shè)計(jì)問(wèn)題情境時(shí)可以從以下方面思考：如何引發(fā)興趣和沖突、找到現(xiàn)實(shí)世界中的概念原型、基于概念本質(zhì)找到新舊概念間的邏輯與關(guān)聯(lián)，基于概念框架和聯(lián)系視角整體考慮情境的可變性和問(wèn)題的發(fā)展性

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例如，平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的“源頭”，而加權(quán)平均數(shù)的兩個(gè)構(gòu)成要素是數(shù)據(jù)(數(shù)的大小)和數(shù)據(jù)的權(quán)(數(shù)的多少)

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所以導(dǎo)入概念時(shí)，通過(guò)問(wèn)題1的身高情境提出條件不完備的問(wèn)題，喚醒和引發(fā)原有的前概念和錯(cuò)誤概念，隱含新概念的原型，為引入的必要性創(chuàng)設(shè)合情合理的情境，并有序進(jìn)行后續(xù)發(fā)展

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再如，平面直角坐標(biāo)系概念的本質(zhì)是設(shè)置一個(gè)參照點(diǎn)，從方向和大小兩個(gè)維度確定和表達(dá)平面內(nèi)的另一個(gè)位置，它在現(xiàn)實(shí)世界中有著豐富的概念原型，所以這類概念的問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)該是運(yùn)用豐富的現(xiàn)實(shí)素材(如電影院找位置、問(wèn)路、象棋或五子棋)，引發(fā)基本問(wèn)題“如何確定平面中點(diǎn)的位置？如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)平面中點(diǎn)的位置？”以基本問(wèn)題為中心，調(diào)動(dòng)數(shù)軸的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從一維的直線到二維的平面進(jìn)行邏輯構(gòu)造，讓學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)融合，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，在真實(shí)的情境中建立概念和概念聯(lián)系

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2

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基于概念形成，情境變式問(wèn)題鏈引發(fā)概念進(jìn)階建構(gòu)教師要對(duì)概念構(gòu)成要素進(jìn)行概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的結(jié)構(gòu)分解和重組，根據(jù)學(xué)情進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、系列化的情境問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)，不斷誘導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中合理衍生新問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)概念的進(jìn)階建構(gòu)的思維路徑

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值得一提的是，創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題與情境要處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，分解為合適的概念進(jìn)階，這樣學(xué)生才能在概念起點(diǎn)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)概念的獲得

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在加權(quán)平均數(shù)的課例中，圍繞平均身高問(wèn)題的情境，運(yùn)用控制變量的方法，在男生、女生平均身高保持不變的前提下，讓“人數(shù)”這一數(shù)據(jù)“從無(wú)到有”“從有到變”，不斷自然地衍生出新問(wèn)題

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人數(shù)是如何影響平均數(shù)的？到底是什么影響了平均數(shù)的值？如何將平均數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行變形才能體現(xiàn)出權(quán)？計(jì)算平均身高一定需要添加具體的人數(shù)嗎？通過(guò)基于情境提出的問(wèn)題鏈，學(xué)生形成孕育“權(quán)”、感知“權(quán)”、明晰“權(quán)”、理解“權(quán)”的概念學(xué)習(xí)進(jìn)階

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問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，理解層層遞進(jìn)，從定性感知數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)對(duì)平均數(shù)結(jié)果的影響力大小，形成加權(quán)平均數(shù)的數(shù)學(xué)化定義，進(jìn)行定量的符號(hào)表達(dá)

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3

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基于概念理解，“誘錯(cuò)性”情境引發(fā)質(zhì)疑思辨概念的建構(gòu)與理解是一個(gè)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的雙向互動(dòng)的過(guò)程，通過(guò)教師有目的的情境創(chuàng)設(shè)與引導(dǎo)，學(xué)生不斷反省和抽象，祛除遮蔽、消除誤解、達(dá)成共識(shí)、揭示本質(zhì)，大量隱性知識(shí)在課堂充分的交流、活動(dòng)和互動(dòng)中逐漸顯性化、清晰化，學(xué)生建立情境中的現(xiàn)象與數(shù)學(xué)對(duì)象的基本要素的聯(lián)系，逐步建構(gòu)概念對(duì)象

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加權(quán)平均數(shù)教學(xué)中，問(wèn)題2的情境將權(quán)以“百分?jǐn)?shù)”的方式呈現(xiàn)，進(jìn)行誘錯(cuò)

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而問(wèn)題3為幫助學(xué)生脫離“數(shù)據(jù)控制不變，感受權(quán)”的情境，設(shè)計(jì)兩個(gè)到多個(gè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖的表征方式進(jìn)行情境的創(chuàng)設(shè)，設(shè)計(jì)先估值再計(jì)算驗(yàn)證的活動(dòng)，通過(guò)數(shù)值差異造成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在試錯(cuò)中不斷進(jìn)行概念辨析，理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵與外延

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4

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基于概念應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)交流互動(dòng)的開(kāi)放問(wèn)題情境概念成為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象后，要通過(guò)遷移應(yīng)用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念和模型的強(qiáng)化和泛化

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此時(shí)問(wèn)題情境應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)的，教師運(yùn)用情境的目的更多是擴(kuò)展概念的應(yīng)用性理解

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這類情境最好有一定程度的“情境干擾”，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題解決中反思和評(píng)估方法的復(fù)雜優(yōu)劣性、實(shí)際可行性和可操作性，多角度提出問(wèn)題

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許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可能不一定有標(biāo)準(zhǔn)答案，“求同存異，和而不同”，學(xué)生在交流互動(dòng)中獲得用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的通透感和愉悅感

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面對(duì)問(wèn)題4，學(xué)生在“選拔人才”的情境中思辨性地進(jìn)行賦權(quán)活動(dòng)和任務(wù)，充分表達(dá)與交流，互相質(zhì)疑與評(píng)價(jià)，不斷將“問(wèn)題提出”中內(nèi)隱的交流過(guò)程外顯化，通過(guò)定性感知與定量計(jì)算相結(jié)合，越辯越清晰，思考賦權(quán)背后的價(jià)值取向，體會(huì)如何讓數(shù)據(jù)說(shuō)話，讓數(shù)據(jù)說(shuō)真話，初步建立理性的數(shù)據(jù)觀

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5

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基于概念圖式，創(chuàng)設(shè)綜合情境，拓展時(shí)空延展問(wèn)題概念具有過(guò)程與結(jié)果的兩重性，概念的理解是逐步螺旋式上升的

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一方面，筆者通過(guò)小結(jié)圖式化建立概念的聯(lián)系，揭示本質(zhì)

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另一方面，課堂的時(shí)間是有限的，可以運(yùn)用信息技術(shù)手段，通過(guò)視頻方式進(jìn)行數(shù)學(xué)史的分享，追溯歷史，聯(lián)系古今，也可以介紹現(xiàn)實(shí)世界中概念的應(yīng)用與發(fā)展，布置查閱資料等課后長(zhǎng)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生探索未來(lái)，從概念體系和概念圖式的視角理解和探索概念，體會(huì)概念背后的思想方法和文化

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四、 結(jié)語(yǔ)

有效的情境不僅要有豐富的內(nèi)涵，更重要的是要具有“問(wèn)題”的誘導(dǎo)性、發(fā)展性和探索性．在教學(xué)中，厘清概念的構(gòu)成要素，尋找現(xiàn)實(shí)的概念原型，將兩者有效結(jié)合，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生建立情境和數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題并予以解決，以情境建立數(shù)學(xué)對(duì)象與學(xué)習(xí)者的關(guān)聯(lián)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考，以任務(wù)與活動(dòng)促成能力，以知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)與遷移運(yùn)用促成素養(yǎng)形成

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“教是為了不教”，基于情境提出的問(wèn)題要自然、本原、可模仿，這樣才能早日實(shí)現(xiàn)從教師的“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”過(guò)渡到“學(xué)生自主提問(wèn)，展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)”

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