交換環(huán)上的絕對(duì)w-E-純模

李 慶

(西南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610041)

1 預(yù)備知識(shí)

本文恒設(shè)R為具有單位元的交換環(huán).R-模正合列是純正合列[1]，是指對(duì)任意R-模N，0 →A?RN→B?RN→C?RN→0仍保持正合.這種情況下，稱(chēng)f(A)是B的純子模.如果R-模M是任意包含它的R-模的純子模，就稱(chēng)R-模M為絕對(duì)純R-模.注意絕對(duì)純模也就是文獻(xiàn)[2]中所謂的FP-內(nèi)射模.由此，關(guān)于模上的純性的研究得到了廣泛關(guān)注[3-6].文獻(xiàn)[7]將絕對(duì)純模進(jìn)行了推廣，提出了E-純正合列和絕對(duì)E-純模等概念.所謂R-模正合列是E-純正合列[7]，是指對(duì)任意內(nèi)射R-模N，0 →A?RN→B?RN→C?RN→0仍保持正合.這種情況下，稱(chēng)f(A)是B的E-純子模.如果R-模M是任意包含它的R-模的 E-純子模，就稱(chēng)R-模M為絕對(duì)E-純模.隨著Glaz 等[8]引入半v模(semi-divisorial modules)，也就是王芳貴等[9]在整環(huán)上定義的w-模.隨后，文獻(xiàn)[2]將w-模推廣到任意的交換環(huán)上研究，產(chǎn)生了交換環(huán)上的w-算子和w-模.w-算子和w-模的引入將乘法理想理論與同調(diào)理論逐步結(jié)合起來(lái)，產(chǎn)生了許多漂亮的結(jié)果[10-17].邢世奇和王芳貴等在文獻(xiàn)[10-11]中將w-算子引入到純性理論的研究中，提出了w-純正合列和w-純子模以及絕對(duì)w-純模的概念.R-模w-正合列0 →A→B→C→0稱(chēng)為w-純正合列[10]，是指對(duì)任意R-模N，誘導(dǎo)的同態(tài)序列0 →A?RN→B?RN→C?RN→0是w-正合列.特別，若A為B的R-子模，R-模同態(tài)序列0 →A→B→B/A→0是w-純正合列，稱(chēng)A為B的w-純子模.如果A是所有包含它的R-模的w-純子模，則稱(chēng)A為絕對(duì)w-純子模[11].易知R-模A是絕對(duì)w-純子模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意正合列0 →A→B→C→0都是w-純正合列.本文主要在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下結(jié)合w-算子進(jìn)一步推廣純性的相關(guān)研究，提出了w-E-純正合列和w-E-純子模以及絕對(duì)w-E-純模.

下面回顧一些常用定義和結(jié)果.假設(shè)J是交換環(huán)R的理想，由文獻(xiàn)[18]，J稱(chēng)為GV-理想，是指J是R的有限生成理想，且自然同態(tài)φ:R→HomR(J,R)是同構(gòu)的.GV(R)代表R中所有GV-理想.設(shè)R-模M，記torGV(M)={x∈M|Jx=0對(duì)某J∈GV(R)}.若torGV(M)=M，稱(chēng)M為GV-撓模；若torGV(M)=0，稱(chēng)M為GV-無(wú)撓模.GV-無(wú)撓R-模M稱(chēng)為w-模，是指對(duì)任意J∈GV(R)有設(shè)f:M→N是R-模同態(tài)，若對(duì)R-的任意極大w-理想m，fm:Mm→Nm是單同態(tài)(滿(mǎn)同態(tài)或同構(gòu))，則f稱(chēng)為w-單同態(tài)(w-滿(mǎn)同態(tài)或w-同構(gòu)).R-模同態(tài)序列A→B→C稱(chēng)為w-正合列，是指對(duì)R的任意極大w-理想m誘導(dǎo)的Rm-模同態(tài)序列Am→Bm→Cm是正合列.由文獻(xiàn)[19]命題1.1 知，R-模同態(tài)序列是w-正合列當(dāng)且僅當(dāng)f:A→B是w-單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)ker(f)是GV-撓模；R-模同態(tài)序列是w-正合列當(dāng)且僅當(dāng)g:B→C是w-滿(mǎn)同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)cok(g)=C/Im(g)是GV-撓模.由文獻(xiàn)[20]定理2.7 知，R-模M是GV-撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的任意極大w-理想m，Mm=0.本文用A≤B表示A是B的子模，E(A)表示A的內(nèi)射包.若沒(méi)特別聲明，設(shè)R-模M,N，我們將M?RN簡(jiǎn)記為M?N.本文涉及的其他概念等，參見(jiàn)文獻(xiàn)[21].

2 絕對(duì)w-E-純模

定義1R-模短正合列稱(chēng)為w-E-純正合列，是指對(duì)任意作為R-內(nèi)射w-模 E，其誘導(dǎo)的序列0 →E?A→E?B→E?C→0是w-正合列.這里的單同態(tài)f:A→B稱(chēng)為w-E-純單同態(tài)，f(A)稱(chēng)為B的w-E-純子模.如果R-模A作為任意一個(gè)R-模的子模都是w-E-純子模，我們就稱(chēng)A為絕對(duì)w-E-純模.R-模正合列稱(chēng)為w-E-純正合列，是指是w-E-純正合列，也就是f:A→B是w-E-純單同態(tài).

由定義1 知，R-模A是絕對(duì)w-E-純模當(dāng)且僅當(dāng)任意正合列0 →A→B→C→0都是w-E-純正合的.

命題1設(shè)R為任意交換環(huán)，A,B,C,D是R-模.

(1)若f:A→B和g:B→C都是w-E-純單同態(tài)，則g f:A→C也是w-E-純單同態(tài).

(2)設(shè)單同態(tài)f:A→B和態(tài)射g:B→C使得g f:A→C是w-E-純單同態(tài)，則f:A→B是w-E-純單同態(tài).特別，當(dāng)A≤B≤C，A是C的w-E-純子模，則A也是B的w-E-純子模.

(3)設(shè)A≤B≤C，A是C的w-E-純子模，B/A是C/A的w-E-純子模，則B是C的w-E-純子模.

(4)設(shè)A≤B≤C，B是C的w-E-純子模，則B/A是C/A的w-E-純子模.

(5)設(shè)交換圖為

(a)如果該交換圖是推出圖，f是w-E-純單同態(tài)，g是滿(mǎn)同態(tài)，則 α是w-E-純單同態(tài)；

(b)如果該交換圖是拉回圖，α是w-E-純單同態(tài)，β是滿(mǎn)同態(tài)，且ker(β)是B的w-E-純子模，則f是w-E-純單同態(tài).

(3)由(2)可知，A是B的w-E-純子模.下面考慮以下行列都是正合的列的交換圖：

任取內(nèi)射w-模E，由A是B的w-E-純子模，A是C的w-E-純子模，且B/A也是C/A的w-E-純子模，于是我們有以下行列都是w-正合的交換圖：

由文獻(xiàn)[21]引理6.3.6 得E?B→E?C是w-單同態(tài).因此，B是C的w-E-純子模.

(4) 考慮以下行列都是正合列的交換圖：

任取內(nèi)射w-模E，由B是C的w-E-純子模，于是有以下行為w-正合且列為正合列的交換圖：

由文獻(xiàn)[21]引理6.3.6 得E?B/A→E?C/A是單同態(tài)，于是B/A是C/A的w-E-純子模.

(5) (a)假設(shè)已知條件中的交換圖是推出圖，于是有下列行列都是正合列的交換圖：

任取內(nèi)射w-模E.因f是w-E-純單同態(tài)，故有下列行為w-正合列且列為正合列的交換圖：

由文獻(xiàn)[21]引理6.3.6 得E?C→E?D是w-單同態(tài)，故 α是w-E-純單同態(tài).

(b)假設(shè)已知條件中的交換圖是拉回圖，于是有下列行列都是正合列的交換圖：

因α是w-E-純單同態(tài)且ker(β)是B的w-E-純子模，從而對(duì)任意內(nèi)射w-模E有以下行列為w-正合列的交換圖：

于是對(duì)R的任意極大w-理想m，有下列行列都正合的交換圖：

由蛇形引理，ker((1?f)m)?ker((1?α)m).因α:C→D是w-E-純單同態(tài)，故1?α:E?C→E?D是w-單同態(tài)，從而(1?α)m:(E?C)m→(E?D)m是單同態(tài).因此ker((1?α)m)=0，故ker((1?f)m)=0，從而(1?f)m:(E?A)m→(E?B)m是單同態(tài)，故1?f:E?A→E?B是w-單同態(tài).因此，f:A→B是w-E-純單同態(tài).證畢.

定理1設(shè)M是絕對(duì)w-E-純模，且K≤M，則K是絕對(duì)w-E-純R-模當(dāng)且僅當(dāng)K是M的w-E-純子模.

證明“?” 由絕對(duì)w-E-純R-模的定義直接可得.

“?”設(shè)K′是包含K的任意R-模，考慮K→M與K→K′的推出圖，我們有以下行正合的交換圖：

由M是絕對(duì)w-E-純R-模，且K是M的w-E-純子模，于是對(duì)任意內(nèi)射w-模E，有以下行列均為w-正合的交換圖：

于是E?K→E?K′是w-單同態(tài)，從而K→K′是w-E-純單同態(tài).因此，K是絕對(duì)w-E-純R-模.證畢.

定理1 說(shuō)明絕對(duì)w-E-純模類(lèi)在w-E-純子模下是封閉的.

定理2設(shè)R-模正合列0 →A→B→C→0，其中A,C都是絕對(duì)w-E-純模，則B也是絕對(duì)w-E-純模.

證明任取包含B的R-模D，考慮B→D與B→C的推出圖，我們有以下行列正合的交換圖：

因A,C都是絕對(duì)w-E-純模，故對(duì)任意內(nèi)射w-模E 有以下行列是w-正合的交換圖：

由文獻(xiàn)[21]引理6.3.6，E?B→E?D是w-單同態(tài).故B→D是w-E-純單同態(tài).因此，B是絕對(duì)w-E-純模.證畢.

定理2 說(shuō)明絕對(duì)w-E-純模類(lèi)在其擴(kuò)張之下是封閉的.

推論1設(shè)A≤B，且均為R-模，若B和E(B)/A都是絕對(duì)w-E-純模，則B/A也是絕對(duì)w-E-純模.

證明由A≤B≤E(B)，因B是絕對(duì)w-E-純模，于是B就是E(B)的w-E-純子模.由命題1(4)，B/A是E(B)/A的w-E-純子模.又因E(B)/A是絕對(duì)w-E-純模，故由定理1，B/A是絕對(duì)w-E-純模.證畢.

定理3設(shè)R為交換環(huán)，以下各條等價(jià)：

(1)A是絕對(duì)w-E-純R-模；

(2)A是任意包含它的內(nèi)射模的w-E-純子模；

(3)A是其內(nèi)射包E(A)的w-E-純子模.

證明(1)?(2)?(3)由絕對(duì)w-E-純模的定義，顯然成立.

(3)?(1)任取包含A的R-模B，因E(A)內(nèi)射，故有交換圖

故g f=h是單同態(tài).因A是E(A)的w-E-純子模，也就是說(shuō)h:A→E(A)是w-E-純單同態(tài).故g f是w-E-純單同態(tài).由命題1(4)，f:A→B是w-E-純單同態(tài).因此，A是絕對(duì)w-E-純R-模.證畢.

下面我們討論環(huán)R上的任意R-模都是絕對(duì)w-E-純模的情況.回顧文獻(xiàn)[13]，R稱(chēng)為w-IF環(huán)，是指R上每個(gè)內(nèi)射w-模都是w-平坦模.R-模M稱(chēng)為w-平坦模[15]，是指對(duì)任意R模w-單同態(tài)f:A→B，其誘導(dǎo)的序列1?f:M?RA→M?RB也 是w-單同態(tài).R-模M稱(chēng)為w-余純平坦模[12]，是指對(duì)R-上任意內(nèi)射w-模，tor(E,M)是GV-撓模.

定理4設(shè)C是R-模，則任意R-模正合列0 →A→B→C→0是w-E-純正合列當(dāng)且僅當(dāng)C是w-余純平坦模.

證明“?” 不妨取正合列0 →K→P→C→0，其中P為投射R-模.任取內(nèi)射w-模E，于是有正合列

由已知條件可知0 →K→P→C→0是w-E-純正合列，故序列

是w-正合的.因此，是GV-撓的.故C是w-余純平坦模.

“?”假設(shè)C是w-余純平坦模，于是對(duì)任意內(nèi)射w-模E，是GV-撓的.對(duì)R的任意w-理想m，任取正合列R-模0 →A→B→C→0，于是有正合列從而有正合列

故對(duì)R的任意w-理想m，0 →(E?A)m→(E?B)m→(E?C)m→0是正合列.故0 →E?A→E?B→E?C→0是w-正合列.因此，0 →A→B→C→0是w-E-純正合列.證畢.

從定理4 可以看出，在某種程度上絕對(duì)w-E-純?？煽闯墒莣-余純平坦模的對(duì)偶.回顧文獻(xiàn)[14]，設(shè)R是交換環(huán)，n是非負(fù)整數(shù)，設(shè)R-模M，若對(duì)任意R-模N，是GV-撓模，則稱(chēng)M的w-平坦維數(shù)小于等于n，記為w-fdR(M)≤n.我們知道M是w-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)w-fdR(M)=0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意R-模N，是GV-撓模.類(lèi)似文獻(xiàn)[7]定理2.18，我們得出以下結(jié)論.

定理5設(shè)R為任意交換環(huán)，下列各條等價(jià)：

(1)每個(gè)R-模都是絕對(duì)w-E-純模；

(2)R是w-IF環(huán)；

(3)每個(gè)R-模都是w-余純平坦模；

(4)對(duì)任意R-模M，E(M)/M是w-余純平坦模.

證明(2)?(3)參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]定理6.5.

(1)?(2)若R不是w-IF環(huán)，則存在有一個(gè)內(nèi)射w-模E不是w-平坦模，于是w-fdR(E)≥1.從而存在R-模A使得不是GV-撓模.取正合列0 →A′→P→A→0，其中P為投射R-模.我們得到如下正合列

因每個(gè)R-模都是絕對(duì)w-E-純模，故A′是絕對(duì)w-E-純模，從而0 →E?A′→E?P′→E?A→0是w-正合列.故是GV-撓模，矛盾.因此，R是w-IF環(huán) .

(3)?(4)顯然成立.

(4)?(1)設(shè)任意R-模M，E(M)/M是w-余純平坦模.由定理4，0 →M→E(M)→E(M)/M→0是w-E-純正合列.故M是E(M)的w-E-純子模.由定理3，M是絕對(duì)w-E-純模.即每個(gè)R-模都是絕對(duì)w-E-純模.證畢.

最后，我們類(lèi)似于模的純內(nèi)射性和純平坦性的討論，思考相對(duì)于w-E-純正合列下模的內(nèi)射性和平坦性間題.

定義2(1)R-模M稱(chēng)為w-E-純內(nèi)射模，是指M相對(duì)于任意的R-模的w-E-純正合列保持其內(nèi)射性.即對(duì)任意的w-E-純正合列0→A→B→C→0，誘導(dǎo)的同態(tài)序列0 →HomR(C,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0是正合列.

(2)R-模M稱(chēng)為w-E-純平坦模，是指M相對(duì)于任意的R-模的w-E-純正合列保持其平坦性.即對(duì)任意的w-E-純正合列0 →A→B→C→0，誘導(dǎo)的同態(tài)序列0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.

引理1R-模M是w-E-純平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M的特征模M+(=HomZ(M,Q/Z))是w-E-純內(nèi)射模.

證明設(shè)任意的w-E-純正合列0 →A→B→C→0.R-模M是w-E-純平坦模當(dāng)且僅當(dāng)0 →M?RA→M?RB→M?RC→0正合當(dāng)且僅當(dāng)0→(M?RC)+→(M?RB)+→(M?RA)+→0正合當(dāng)且僅當(dāng)0 →HomR(C,M+)→HomR(B,M+)→HomR(A,M+)→0正合當(dāng)且僅當(dāng)M+是w-E-純內(nèi)射模.其中倒數(shù)第2 個(gè)充分必要條件的成立是因?yàn)?N?RM)+?HomR(M,N+).證畢.

由定義，我們知道純正合列是E-純正合列，E-純正合列是w-E-純正合列，反過(guò)來(lái)會(huì)有什么結(jié)果呢?我們給出下面結(jié)論.

命題2設(shè)R為任意交換環(huán)，以下各條件等價(jià)：

(1)任意w-E-純正合列都是純正合列；

(2)任意R-模M都是w-E-純平坦模；

(3)對(duì)任意R-模M，M+是w-E-純內(nèi)射模.

證明(1)?(2)設(shè)任意R-模M，任取w-E-純正合列0 →A→B→C→0.由已知條件可知0 →A→B→C→0是純正合列，故其誘導(dǎo)R-模序列0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，M是w-E-純平坦模.

(2)?(3)由引理1 直接可得.

(2)?(1)任取w-E-純正合列0 →A→B→C→0，任取R-模M，因M是w-E-純平坦模，故0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，0 →A→B→C→0是純正合列.證畢.

命題3設(shè)R為任意交換環(huán)，則以下各條件等價(jià)：

(1)任意w-E-純正合列都是E-純正合列；

(2)任意內(nèi)射R-模M都是w-E-純平坦模；

(3)對(duì)任意內(nèi)射R-模M，M+是w-E-純內(nèi)射模.

證明(1)?(2)設(shè)任意內(nèi)射R-模M，任取w-E-純正合列0 →A→B→C→0.由已知可知0 →A→B→C→0是E-純正合列，故其誘導(dǎo)R-模序列0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，M是w-E-純平坦模.

(2)?(3)由引理1 直接可得.

(2)?(1)任取w-E-純正合列0→A→B→C→0，任取內(nèi)射R-模M，因M是w-E-純平坦模，故0 →M?RA→M?RB→M?RC→0是正合列.因此，0 →A→B→C→0是E-純正合列.證畢.

3 總結(jié)

本文我們提出并研究了交換環(huán)上的絕對(duì)w-E-純模的相關(guān)同調(diào)性，使得模的純性得到了進(jìn)一步發(fā)展，豐富了模理論，同時(shí)對(duì)傳統(tǒng)的線性空間以及矩陣?yán)碚摰难芯刻峁┝诵碌慕梃b方向.模理論的研究如何在矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用,比如在文獻(xiàn)[22,23]中發(fā)揮更大的作用，這是我們?cè)谖磥?lái)研究中值得繼續(xù)深入思考的問(wèn)題.