一類時空分數(shù)階非線性偏微分方程的對稱分析、對稱約化、精確解和守恒律

谷瓊雅,時振華,王麗真,何靜

(西北大學數(shù)學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

近些年,隨著分數(shù)階微分方程在工程、物理、生物等領域的廣泛應用[1],人們越來越關注分數(shù)階微分方程的研究,其中構造分數(shù)階偏微分方程的精確解是偏微分方程理論研究中非常重要的問題[2-3].大量研究論文已引入多種構造精確解的方法,如不變子空間法[4]、q-HAM方法[4]、齊次平衡法[5]、泛函分離變量法[6]、廣義分離變量法[6]等.李對稱分析是研究偏微分方程的重要方法和途徑.微分方程的不變性質(zhì)和其所描述的重要的物理現(xiàn)象都與其李對稱密切相關.

李對稱分析由Sophus Lie在十九世紀首次提出并用于整數(shù)階微分方程的群分析中.隨后,文獻[7]提出分數(shù)階導數(shù)和李對稱的分數(shù)階延拓公式,由此李對稱分析被推廣到分數(shù)階微分方程的研究中.許多學者利用李對稱分析研究了時間分數(shù)階偏微分方程,例如,文獻[8]對時間分數(shù)階Harry-Dym方程進行李對稱分析,并構造了方程的群不變解.文獻[9-10]分別對時間分數(shù)階Navier-Stokes方程組和Keller-Segel方程組進行李對稱分析并構造出守恒律.還有一些學者利用李群分析對方程進行群分類,文獻[11]對時間分數(shù)階擴散方程進行群分類,并做相對應的對稱約化得到方程的不變解.僅有少部分學者利用李對稱分析研究時空分數(shù)階偏微分方程,例如,文獻[12]對時空分數(shù)階Rosenou-Haynam方程進行了李對稱分析,文獻[13]對時空分數(shù)階非線性演化方程進行了對稱分析.

Noether定理建立了守恒律和對稱之間的聯(lián)系.文獻[14]提出了一個新的守恒定理,即建立沒有經(jīng)典拉格朗日方程的微分方程的守恒定律.在此定理的基礎上,文獻[15]建立了時間分數(shù)階微分方程的守恒律,文獻[12]建立了時空分數(shù)階Rosenou-Haynam方程的守恒律.本文將在李對稱的基礎上建立一類時空分數(shù)階非線性方程的守恒律.

雙多孔介質(zhì)方程在物理、工程科學等方面有很多應用.文獻[16]研究了整數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程的奇解和解的漸進行為.文獻[17]用不變子空間方法對整數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程進行研究求解.文獻[18]研究了具有非發(fā)散算子的雙多孔介質(zhì)方程的爆破和關鍵指數(shù)分析.文獻[19]通過構造修正多孔介質(zhì)方程的自相似解,研究了修正多孔介質(zhì)方程的一族自相似解的存在性.文獻[20]用李對稱分析研究了時空分數(shù)階多孔介質(zhì)類型方程并利用李代數(shù)得到方程的群不變解.本文將利用李對稱分析對一類形式簡單的廣義時空分數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程進行研究.廣義的時空分數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程為

其中,(i=1,2,3)分別為關于t和x的分數(shù)階Riemann-Liouville導數(shù).u是關于x,t的未知函數(shù),0＜α＜1,1＜βi＜2(i=1,2,3),0,b,c均為實數(shù).

本文考慮方程(1)中b=c=0的情形,在這種情況下,方程(1)變?yōu)槿缦碌臅r空分數(shù)階非線性偏微分方程

特別地,當β=2時,方程(2)變?yōu)槿缦碌臅r間分數(shù)階非線性偏微分方程

本文將構造方程(2)和方程(3)所允許的李代數(shù)、一維優(yōu)化系統(tǒng)和精確解,并對方程(2)的守恒律進行研究.本文結構如下:在第二節(jié),介紹本篇文章所涉及的基礎知識.在第三節(jié),構造方程(2)和方程(3)所允許的李代數(shù)和相應的一維優(yōu)化系統(tǒng).在第四節(jié),基于第三節(jié)得到的優(yōu)化系統(tǒng),對方程(2)和方程(3)進行對稱約化并計算相應的群不變解,并用數(shù)學軟件Matlab畫出時空分數(shù)階方程(2)的精確解的三維圖.在第五節(jié)建立方程(2)的守恒律.在最后一節(jié)給出本文的總結.

2 基礎知識

本節(jié)給出分數(shù)階Riemann-Liouville導數(shù)的定義和李對稱分析的步驟.

定義2.1設n∈N.則α階Riemann-Liouville導數(shù)的定義為當0＜n-1＜α＜n時.其中為通常的n階偏導數(shù),為伽馬函數(shù).下面考慮一般的時空分數(shù)階偏微分方程

假定單參數(shù)Lie群變換為

其中ηα,t,ηβ,x,ηxx的定義為

Dx和Dt是關于x和t的全導數(shù)且定義為

設方程(4)的無窮小生成子為

其中

無窮小生成子(8)所對應的向量場能生成方程(4)的一個對稱當且僅當方程(4)的向量場V滿足以下不變準則

延拓算子Pr(α,2)V定義為

其中ηα,t,ηβ,x,ηx和ηxx分別滿足(6)式-(7)式.

此外,基于不變準則(10),時空分數(shù)階偏微分方程(4)還需滿足以下初始條件

引理2.1[5]設α＞0,0.當α+β＜1且2α+β＜1時,如下分數(shù)階微分方程有精確解

3 李對稱和一維優(yōu)化系統(tǒng)

本節(jié)將利用對稱分析方法計算出方程(2)和方程(3)所允許的李代數(shù)及相應的一維優(yōu)化系統(tǒng).

3.1 方程(2)的李對稱和優(yōu)化系統(tǒng)

本節(jié)利用對稱分析法來推導方程(2)的李代數(shù),再由李代數(shù)構造出方程(3)的一維優(yōu)化系統(tǒng).

定理3.1時空分數(shù)階方程(2)的李代數(shù)l1由以下向量場張成

證明將方程(2)代入不變準則(10),可以得到方程(2)的不變方程為

將(6)式代入(14)式,并使方程中線性無關的u的各階導數(shù)的系數(shù)等于零可以得到以下決定方程組

求解決定方程組(15)可得

其中ci(i=1,2,3,4,5)是任意常數(shù).根據(jù)不變條件(10)可以推出c2=c3=0.

由此可證方程(2)的對稱群為(13).下面來計算李代數(shù)l1的一維優(yōu)化系統(tǒng).

通過計算得到李代數(shù)l1的非零交換子為

另外,伴隨算子的作用由以下李級數(shù)給出

其中?為任一參數(shù).根據(jù)上式,能夠推導出李群G1對李代數(shù)l1的伴隨作用,如表1所示.按照文獻[21]介紹的方法,可以得到李代數(shù)l1關于時空分數(shù)階α,β的一維優(yōu)化系統(tǒng),結果在下述定理給出,這里省略其證明過程.

表1 向量場(15)的伴隨表示

定理3.2(1)對于李代數(shù)l1的一維優(yōu)化系統(tǒng)為

3.2 方程(3)的李對稱和優(yōu)化系統(tǒng)

本小節(jié)將利用對稱分析構造方程(3)所允許的李代數(shù)和相應的一維優(yōu)化系統(tǒng).

定理3.3時間分數(shù)階方程(3)的李代數(shù)l2由以下向量場張成

證明將方程(3)代入不變準則(10),可得

把(6)式代入(19)式,并令u的各階線性無關導數(shù)的系數(shù)等于零,化簡后可以得到以下決定方程組

求解決定方程組(20)可得

其中ci(i=1,2,3,4,5)是任意常數(shù).此外,由初始條件(12)可以推出c2=c3=0,即證方程(3)的李代數(shù)(18).

容易看出向量場V1和V3是伸縮算子,V2是平移算子,李代數(shù)(18)的非零交換子為

進一步地,由伴隨算子的定義(17)可以推導出李群G2對李代數(shù)l2的伴隨作用,如表2所示.

表2 向量場(17)的伴隨表示

與前一小節(jié)類似,按照文獻[21]介紹的方法可以得到以下定理.

定理3.4(1)對于和μ∈R,李代數(shù)l2的一維優(yōu)化系統(tǒng)為

4 對稱約化和群不變解

本節(jié)利用定理3.2和定理3.4所得到的結果,對方程(2)和方程(3)做對稱約化并構造相應的群不變解,并給出群不變解的圖像.

4.1 方程(2)的對稱約化和群不變解

本小節(jié)利用定理3.2得到的一維優(yōu)化系統(tǒng),將復雜的非線性時空分數(shù)階微分方程約化為較為簡單的分數(shù)階常微分方程,約化后的分數(shù)階常微分方程將更容易求解.下面介紹定理3.2中一維優(yōu)化系統(tǒng)對應的對稱約化和群不變解.

對于方程(2)有以下情形成立.

情形1:r1=t?t-αu?u.對應的特征方程為

計算特征方程(22)可得方程(2)的兩個不變量為x和utα,從而方程(2)有如下形式的群不變解

情形2:r2=x?x+2βu?u.對應特征方程為

計算方程(25)可知方程(2)有如下形式的群不變解

將(26)式代入方程(2)可得

將(27)式代回(26)式得到方程(2)的一個精確解為

對于(28)式,通過數(shù)學軟件Matlab繪制如下圖1三維圖像解.

圖1 u1(x,t)的三維圖像.

在圖1(a)和圖1(b)中,取a=-1,β=1.5,可以觀察到隨著時間分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)α的增大,u1(x,t)逐漸減小,當t趨于零時,曲率逐漸增大.在圖1(c)和圖1(d)中,取a=-1,α=0.4,可以觀察到隨著空間分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)β的增大,u1(x,t)也增大,當x趨于零時,曲率逐漸減小.在圖1(e)和圖1(f)中,取α=0.3,β=1.5,可以觀察到參數(shù)a對精確解u1(x,t)的影響.

4.2 方程(3)的對稱約化和群不變解

本小節(jié)利用定理3.4中得到的一維優(yōu)化系統(tǒng),將復雜的非線性時間分數(shù)階微分方程約化為較為簡單的常微分方程,約化后的常微分方程更容易求解.下面介紹定理3.4中方程(3)的對稱約化和群不變解.

對于方程(3)有以下情形成立.

情形1:r1=t?t-αu?u.r1對應特征方程為

計算特征方程(29)得方程(3)的群不變解為u(x,t)=t-αf(x),f(x)滿足如下常微分方程(當時)

情形2:r2=?x.計算r2對應特征方程得到群不變解為u(x,t)=g(t),代入方程(3)得到(t)=0,計算得到g(t)=ktα-1,其中k為任意常數(shù).從而方程(3)的一個群不變解如下

情形3:r4,5=±?x+t?t-αu?u.r4對應的特征方程如下

計算(31)式,得到方程(3)的一個群不變解為

其中f(z)(z=te?x)滿足如下分數(shù)階常微分方程

情形4:r6,7=?x±tα-1?u.r6的特征方程為

解特征方程(32)可以得到方程(3)有如下群不變解

將(33)式代回方程(3)得g(t)=ktα-1.因此,方程(3)的精確解為

5 守恒律

本節(jié)在李代數(shù)(13)的基礎上,建立時空分數(shù)階方程(2)的守恒律.

方程(2)的守恒向量C=(Ct,Cx)滿足如下守恒律

其中Ct=Ct(t,x,u,···),Cx=Cx(t,x,u,···).

方程(2)的拉格朗日形式如下

其中v(x,t)為新的因變量.歐拉-拉格朗日算子有如下形式

由(36)式可以得到方程(2)的伴隨方程為

取v(x,t)=φ(x,t,u),得到如下方程

解(38)式得到

其中A為任意常數(shù).

下面將通過以下公式分別建立守恒向量t,x的分量

其中n=[α]+1,m=[β]+1,Wi=ηi-ξiux-τiut,J,J1定義為

結合向量場(13),可以得到以下特征方程

取A=1,可以得到以下結論:

當0＜α＜1,1＜β＜2時,方程(2)的t分量的守恒向量為

當0＜β＜1,0＜α＜1時,方程(2)的x分量的守恒向量為

當1＜β＜2,0＜α＜1時,方程(2)的x分量的守恒向量為

6 結論

本文研究了李對稱分析在時空分數(shù)階微分方程的應用,并以一類廣義時空分數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程為例,計算了它所允許的李代數(shù)并建立了優(yōu)化系統(tǒng).進一步地對方程(2)和方程(3)進行了對稱約化,在此基礎上得到方程(2)的精確解u0,u1,方程(3)的精確解u2,u3,u4,并用數(shù)學軟件畫出方程(2)的精確解u1(x,t)的三維圖像.最后,利用定理3.1的結論和新Noether定理構造了方程(2)的守恒律.