Sylvester 可測算子方程的解?

許毛丹，閆 成

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

Sylvester 方程是由Sylvester 在1884 年引入的線性方程,他證明了在矩陣上關(guān)于此類方程的基本結(jié)果[1].隨后Sylvester 方程被廣泛的應(yīng)用于算子理論、物理、數(shù)值分析和工程上.Dalecki 與Rosenblum 在文獻[2]和[3]中給出了Sylvester 方程在算子上的可解性.特別是Rosenblum 給出了方程在有界算子和無界算子上解的具體形式[3?4].Bhatia 和Rosenthal 在文獻[5]中給出了Sylvester 方程在算子矩陣相似性、交換性和超不變子空間等方面的應(yīng)用.在文獻[6]中,Hiai 和Kosaki 給出許多關(guān)于矩陣方程解的積分表達式.通過這些積分表達式和雙重算子積分,Dodds 等在文獻[7]中研究了對稱空間上Liapounov 方程的解.此外,將矩陣算子單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和Fr′echet 導(dǎo)數(shù)與積分表示結(jié)合,Bhatia 和Uchiyama 在文獻[8]中研究了一類矩陣方程的解.在文獻[9]中,Sano 給出該矩陣方程在特殊情況下的解.

本文主要討論關(guān)于可測算子的Sylvester 方程的解.首先介紹Fr′echet 導(dǎo)數(shù)和τ可測算子的基本理論.其次給出算子方程解的積分表達式.最后討論關(guān)于算子單調(diào)函數(shù)反函數(shù)的解和例子.

1 準備知識

設(shè)H 是可分的Hilbert 空間,M 是H 上具有正規(guī)忠實半有限跡τ的半有限von Neumann 代數(shù)(關(guān)于von Neumann 代數(shù)參閱文獻[10-12]).設(shè)tr是矩陣的跡,則M2(M)表示由所有包含跡τ2=tr?τ的2×2 算子矩陣構(gòu)成的von Neumann 代數(shù)(相關(guān)知識請參閱文獻[13]).我們用1 和P(M)定義M 上的單位元和投影算子集合.如果對M 的交換子M′中的任一酉元u有ux=xu,則稱線性算子x:D(x)→H 附屬于M,其中D(x)?H.我們用ex表示H 上自伴算子x的譜測度.對任意Borel 集B?R,自伴算子x附屬于M 當且僅當ex(B)∈P(M).如果對任意δ>0,存在e∈P(M),使得當e(H)∈D(x),τ(e⊥)≤δ時,則附屬于M 的閉稠定算子x被稱為是τ可測的.記L0(M)為τ可測算子全體(見文獻[11]).如果x≥0,則稱x是正的,自伴的和τ可測的.設(shè)x∈L0(M),s≥0.則x的第s個廣義奇異值μs(x)為

我們用μ(x)表示函數(shù)s→μs(x).通過廣義奇異值的方法,文獻[14-15]的作者研究了次優(yōu)化不等式(有關(guān)廣義奇異值的基本性質(zhì)請參閱文獻[16]).在文獻[7,11]中,非交換空間Lp和L1(M)+M 的定義為

其范數(shù)為

設(shè)X,Y為兩個Banach 空間,B(X,Y) 為所有從X到Y(jié)的有界線性算子構(gòu)成的空間.若U是X子集,f:U→Y是連續(xù)映射.則映射T∈B(X,Y)被稱為f在點x0∈U的Fr′echet 導(dǎo)數(shù)當且僅當

如果f在U上每一點都可微,則它在U上可微.我們用Df表示f的Fr′echet 導(dǎo)數(shù).

下面定義f的逆映射.設(shè)U是X的開子集,f:U→Y在U到Y(jié)的開子集V上是同胚映射,其中V=f(U).定義f的逆映射為f?1:V→X.當X=Y=L1(M)+M 時,我們有下面的引理.該引理中用到的技巧是處理算子方程的關(guān)鍵,特別是在本文中.引理2 的證明和文獻[17]中定理2.2 的證明類似,為了方便和準確,我們給出證明細節(jié).

引理1設(shè)X,Y是Banach 空間,U=B(a0,r)是X中閉球,F是U→Y的映射,其中a0是中心,r是半徑.設(shè)T:X→Y是連續(xù)線性同胚映射.若對任意a1,a2∈U,存在q∈(0,1),有

2 算子方程的解

有關(guān)扇形算子的定義請參閱文獻[18].我們首先給出下面一個引理.

引理3設(shè)0

證明要證Dψ(a) 是單射,只需證方程ax+xa=0 有唯一解.設(shè)x是齊次方程ax+xa=0 的解.對于λ∈ρ(a)∩ρ(?a),我們有

其中ρ是預(yù)解集.令t>0,將a的條件與上述等式結(jié)合,我們可以得到下列積分收斂且

其中Γ 為a的譜的邊界線,與?a的譜分離,且方向為正.因(?a?λ)?1一致有界,則上述等式右邊項消失.因此,

3 算子單調(diào)函數(shù)

在本節(jié)中,我們研究關(guān)于算子單調(diào)函數(shù)反函數(shù)的一些解和例子.為了方便,我們引入下列符號.我們用D 定義區(qū)間(0,∞)和上下半平面的并集.設(shè)Q是一個集合,其定義為