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    利用遞推式求解數(shù)列通項問題的探究

    2022-08-01 10:40:02趙雨林
    數(shù)理化解題研究 2022年19期
    關(guān)鍵詞:迭代法歸納法通項

    趙雨林 孫 強

    (江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225009)

    1 前言

    1.1 鏈接新教材

    在新版的蘇教版《普通高中選擇性必修第一冊》中,明確給出了數(shù)列遞推公式的概念,即一般地,如果已知一個數(shù)列{an}的第1項(或前幾項),且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

    這是舊版蘇教版教材中未呈現(xiàn)過的重要概念,也體現(xiàn)了在強調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的今天,遞推數(shù)列以強調(diào)邏輯推理的重要特性為載體,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.新教材新增了這一重要概念,更加強調(diào)了遞推數(shù)列的重要性,在未來高考中可能會越來越重視遞推數(shù)列的考查.

    1.2 鏈接新高考

    在2011-2020年近十年的江蘇卷中,數(shù)列問題以壓軸題的形式共出現(xiàn)了8年,且只有2012年考查了遞推式數(shù)列求解數(shù)列(非通項)問題.但在2021年,江蘇地區(qū)新高考中第一次采用新課標(biāo)Ⅰ卷,對數(shù)列的考查放在了解答題第一題,是關(guān)于利用遞推式求解數(shù)列通項問題.

    新高考較往年比,雖然降低了對數(shù)列考查的難度,但遞推式數(shù)列求解通項相關(guān)問題在近十年江蘇卷真題中出現(xiàn)的次數(shù)僅為一次,說明之前江蘇卷并不重視這類題型的考查.因此本文將從宏觀上分析,如何思考這類問題,如何利用好遞推式數(shù)列.

    2 利用遞推關(guān)系解決數(shù)列通項問題的步驟

    (3)求解.求解時,需要回歸條件,解題要思考縝密.例如,在此題中,因為數(shù)列各項為正數(shù),則an+1+2an≠0,所以只能an+1-3an=0,由a1=1,則an是以1為首項,公比為3的等比數(shù)列.

    3 常用解題策略和方法

    挖掘題中條件給出的遞推式數(shù)列,是求解通項公式的突破口.在解題的這一環(huán)節(jié)中,如果對一些方法和策略不能掌握,就會影響解題.

    3.1 累加和累乘

    該題題干是an+1=an+f(n)(n∈N*)形式的遞推式,是最常見的遞推數(shù)列之一,求{an}的通項公式一般要用累加法.

    在解題過程中,我們發(fā)現(xiàn){an}的通項周期性的特征:a1=2,a2=3,a3=3,a4=2,a5=2,a6=3,….其通項以4為一個周期,那么通過2022除以4得505余2,所以S2022=(2+3+3+2)×505+(2+3)=5055.

    該題題干中出現(xiàn)了an+1=f(n)an(n∈N*)形式的遞推式,這也是比較常見的遞推數(shù)列.

    3.2 遞推消元法

    評注此類問題的特點為用n-1替換原式中的n,再通過相減或相除,進(jìn)而解決問題.

    3.3 迭代法

    例4數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2an-1+3n+1,則an=____.

    該題題干為an+1=pan+f(n)(n∈N*,p≠0,1)形式的遞推式,可用迭代法求解通項公式.

    評注運用迭代法時,要注意尋找遞推過程中的規(guī)律.本題中,利用an=2an-1+3n+1這一遞推公式進(jìn)行迭代,在迭代重復(fù)的過程中2的指數(shù)s和3的指數(shù)v滿足s+v=n+1,這樣即可快速完成迭代.

    3.4 觀察配湊法

    再觀察例4這道題,迭代法固然可以解決這個問題,但在計算中比較容易出錯,那可以再思考一下:是否還有其他的方法可尋?

    從而可得an=-13·2n+3n+2.

    評注當(dāng)數(shù)列遞推式化為形如an+1=pan+q(p,q≠0)時,便可通過觀察配湊成an+k=p(an-1+k).倘若此題不能直接配湊出①式,還可采用待定系數(shù)的方法.

    3.5 待定系數(shù)法

    評注待定系數(shù)法是為了應(yīng)對“湊”的時候不容易看出來的情況,利用待定系數(shù)法就會更容易解題.

    3.6 數(shù)學(xué)歸納法

    從題目條件中我們可以看出:這是一個分段的遞推式數(shù)列,對于這類數(shù)列,可以化抽象為具體,先著眼于分析這個數(shù)列“長什么樣子”.

    由于a1=1,那么a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=5,a5=7,a6=8.

    第一問要求{bn}的通項公式,即數(shù)列{a2n}的通項公式.那么,我們需要把數(shù)列{an}的偶數(shù)項拿出來,看看有什么規(guī)律.

    n246…2kan258?

    由表可知,數(shù)列{an}的前三項分別為2,5,8,那么我們可猜想數(shù)列{a2n}是以3為公差的等差數(shù)列.以下可用數(shù)學(xué)歸納法:

    設(shè)a2k=3k-1,則a2k+1=a2k+2=3k-1+2=3k+1,a2k+2=a2k+1+1=3k+2,得證.

    所以a2n=3n-1.即bn=3n-1.

    評注數(shù)學(xué)歸納法是由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法,也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的重要方法.在舊版的蘇教版數(shù)學(xué)教材中未呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法,但新版教材中,將數(shù)學(xué)歸納法納入教材,可見其重要性的凸顯.

    上述六種方法是解決遞推式數(shù)列通項問題常用的方法,在解決問題的過程中需要做到具體問題具體分析,靈活多變地根據(jù)題意選擇相應(yīng)的方法.

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