一類(lèi)新高考數(shù)學(xué)開(kāi)放題的命制設(shè)計(jì)
——以一道解三角形題為例

丁亞茹 劉小輝

(福建省集美大學(xué) 361021)

1 問(wèn)題提出

為突出對(duì)學(xué)生綜合能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查，新高考新增了多項(xiàng)選擇題、邏輯題、數(shù)據(jù)分析題、舉例題及開(kāi)放題等新題型.任子朝在高考新題型測(cè)試研究中提出，開(kāi)放題作為新增題型，能夠很好地考查學(xué)生的邏輯思維能力與應(yīng)用意識(shí)，也更加契合高考作為選拔性考試對(duì)區(qū)分度的要求.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)開(kāi)放題早在20世紀(jì)70年代便引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，數(shù)學(xué)開(kāi)放性試題突破固有的解題模式，側(cè)重考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和“執(zhí)果索因”的思維方式.新高考試題的命制要增強(qiáng)開(kāi)放性和靈活度，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用，減少識(shí)記類(lèi)題型的命制，增加開(kāi)放探究類(lèi)題型的比重.

2 封閉數(shù)學(xué)題的命制結(jié)構(gòu)

以“解三角形”為例，在試題命制中通常會(huì)結(jié)合三角函數(shù)、三角恒等變換的知識(shí)，目的在于考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用及學(xué)科核心素養(yǎng)，本題型常以?xún)尚?wèn)的形式出現(xiàn)，試題的設(shè)置具有層次性.

題目(2018年全國(guó)卷第17題)在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

(1)求cos∠ADB；

傳統(tǒng)題目的結(jié)構(gòu)一般是由條件、策略和結(jié)論三方面構(gòu)成，其特征是條件完備，策略清晰，結(jié)論確定.由封閉題的結(jié)構(gòu)及特征出發(fā)，將其改造為開(kāi)放題，可以有效地改變學(xué)生解題的思維定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

3開(kāi)放題命制設(shè)計(jì)——從封閉走向開(kāi)放

我國(guó)的戴再平先生根據(jù)未知的要素將開(kāi)放題劃分為四種類(lèi)型：條件開(kāi)放型、策略開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型以及綜合開(kāi)放型；美國(guó)的Silver教授將開(kāi)放題分為條件開(kāi)放、最終結(jié)果開(kāi)放、解題過(guò)程開(kāi)放以及三種類(lèi)型的綜合情況.結(jié)合封閉題的結(jié)構(gòu)特征，命題者還可以從單一開(kāi)放型和綜合開(kāi)放型兩大類(lèi)出發(fā)進(jìn)行改造.本文以2018年全國(guó)卷第17題解三角形為例，研究單一開(kāi)放型和綜合開(kāi)放型兩種命題模式.

3.1 單一開(kāi)放型

3.1.1 條件開(kāi)放型

3.1.2 策略開(kāi)放型

命制題目時(shí)可與新定義題型相結(jié)合，如將題目第二問(wèn)改為：以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑畫(huà)圓，交DB于點(diǎn)E，DF=kDC，給出定義：若從三角形一個(gè)角出發(fā)向?qū)呑饕粭l線段，該線段剛好平分此角，則稱(chēng)該線段為三角形的“吉祥線”.問(wèn)：當(dāng)DF為△BCD的“吉祥線”時(shí)，求k的取值范圍.題目將角平分線定義改為 “吉祥線”定義，知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想.在解題策略上，一般采用常規(guī)解三角形的方法求解，而擅長(zhǎng)幾何的學(xué)生又可以運(yùn)用幾何法求解，這樣不同水平的學(xué)生可以從不同的維度去揣摩問(wèn)題，獲得不同的見(jiàn)解.

3.1.3 結(jié)論開(kāi)放型

3.2 綜合開(kāi)放型

綜合型開(kāi)放題將從條件與策略雙開(kāi)放型以及條件與結(jié)論雙開(kāi)放型兩種情況入手進(jìn)行改造，有助于考查學(xué)生思維的延展性及全局性.

3.2.1 條件與策略雙開(kāi)放型

條件與策略雙開(kāi)放型可進(jìn)行兩種設(shè)計(jì)，一種是選擇條件，策略不同，結(jié)論固定，另一種是補(bǔ)充條件，策略不定，結(jié)論固定.

第一種設(shè)計(jì)可依據(jù)2020年北京卷第17題進(jìn)行改造：以∠ADC=90°為前提條件，將其他條件分類(lèi)并組合供學(xué)生選擇，

條件①：AB=2，BD=5，AD=8；

條件②：∠A=45°，AB=2，BD=5；

學(xué)生解答時(shí)若不進(jìn)行篩選和判斷信息而直接選擇條件①，則未考慮到三角形的存在與否.進(jìn)行篩選后的學(xué)生若選擇條件②，運(yùn)用正弦定理即可求解，此時(shí)要注意角的范圍.若選擇條件③，可以運(yùn)用余弦定理，但計(jì)算量較大且易出錯(cuò).題目考查的知識(shí)點(diǎn)較簡(jiǎn)單，但每一個(gè)設(shè)計(jì)都有所不同，有助于區(qū)分不同層次的學(xué)生.

第二種設(shè)計(jì)可將題中條件進(jìn)行挖空處理，讓學(xué)生自行補(bǔ)充，提升學(xué)生發(fā)散性思維能力，解題過(guò)程也不再是千篇一律.如將本題中的條件∠A=45°隱去，此時(shí)可給定策略，如要求學(xué)生運(yùn)用正弦定理求解，這樣能更精確地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，或在結(jié)論固定的前提下要求學(xué)生補(bǔ)充，這樣設(shè)計(jì)更加靈活，策略也更加多樣.

3.2.2 條件與結(jié)論雙開(kāi)放型

條件與結(jié)論雙開(kāi)放型在設(shè)計(jì)時(shí)可提供多個(gè)條件供學(xué)生選擇，選擇條件不同，結(jié)論不同，如2020年新高考卷第17題，以此為參照將封閉題進(jìn)行改造：

學(xué)生選擇條件②時(shí)，可采用余弦定理求解，條件①則為干擾項(xiàng)，選擇條件③時(shí)，學(xué)生可通過(guò)正弦定理求解.

4 結(jié)論與建議

4.1 從封閉到開(kāi)放題的命制路徑

一道題目由條件、策略以及結(jié)論三方面構(gòu)成，通過(guò)對(duì)這三方面的不同開(kāi)放方法，設(shè)計(jì)一種由封閉題轉(zhuǎn)變?yōu)殚_(kāi)放題的命制路徑.上述改造方式可以總結(jié)為圖1.

4.2 開(kāi)放題設(shè)計(jì)建議

4.2.1 強(qiáng)化開(kāi)放題在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用性

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該注重對(duì)開(kāi)放題的命制研究，在命制試題的實(shí)踐中提升自身的專(zhuān)業(yè)能力.在教學(xué)過(guò)程中，要注重開(kāi)放題與學(xué)科知識(shí)的整合，有效改進(jìn)教與學(xué)的方式，如課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以以開(kāi)放題為背景，快速抓住學(xué)生注意力，引出新課題；在新知傳授環(huán)節(jié)，要有意識(shí)地向?qū)W生展現(xiàn)多樣化的開(kāi)放型試題，豐富課堂教學(xué)的素材，滿(mǎn)足不同學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同需求，真正做到因材施教.因此，教師應(yīng)該在教學(xué)中潛移默化地滲透開(kāi)放題思維，促使學(xué)生由接受到熟悉再到靈活求解開(kāi)放題，發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).

4.2.2 發(fā)揮學(xué)生在開(kāi)放題設(shè)計(jì)過(guò)程中的主體性

教師可帶領(lǐng)學(xué)生共同設(shè)計(jì)開(kāi)放性試題，學(xué)生不再是被動(dòng)的解題者，而是參與到試題命制的設(shè)計(jì)者，共同命制的過(guò)程既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位.針對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)他們命制自己認(rèn)知領(lǐng)域內(nèi)較簡(jiǎn)單的題目，及時(shí)給予肯定，使學(xué)生樂(lè)意并積極投入到試題的命制中，幫助他們重拾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；對(duì)于數(shù)學(xué)興趣濃厚的學(xué)生，教師則可以鼓勵(lì)他們命制豐富多樣的題目，解決了優(yōu)等生“吃不飽”的現(xiàn)象.試題中蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在命制中思考，在思考中命制，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的意義建構(gòu)，拓寬探索空間.不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)出多樣化的試題，共同參與探討和交流，這一過(guò)程將會(huì)給學(xué)生帶來(lái)全新的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生在參與中深度理解、有效創(chuàng)新.

4.2.3 注重開(kāi)放題改造在高考中的可操作性

為保證高考閱卷的高效準(zhǔn)確，開(kāi)放題需要在題目開(kāi)放性和閱卷工作量上尋求平衡.開(kāi)放性過(guò)強(qiáng)往往會(huì)導(dǎo)致閱卷困難，也不利于分層，這就無(wú)法保證閱卷的高效性；開(kāi)放性不宜過(guò)低，否則無(wú)法保證開(kāi)放題發(fā)揮應(yīng)有的功能.其次，開(kāi)放題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)要具有科學(xué)性，處理好區(qū)分性和統(tǒng)一性的關(guān)系.具有區(qū)分性的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)開(kāi)放題的區(qū)分功能，具有統(tǒng)一性的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)保證開(kāi)放題在高考中的公平性和實(shí)施性.再者，受學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和已有經(jīng)驗(yàn)的限制，高考試題應(yīng)以傳統(tǒng)封閉題為主，開(kāi)放題為輔，逐步過(guò)渡.開(kāi)放題的創(chuàng)新性特點(diǎn)也要求其起點(diǎn)要放低，注重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用.故開(kāi)放的形式以及程度需要把握好度，這是今后研究需要進(jìn)一步改進(jìn)的方向.