關(guān)于古典概型中樣本空間建構(gòu)的思考

李 偉

(湖南省長沙市恒定高級中學(xué) 410221)

樣本空間的建構(gòu)問題已成為近幾年高考重點考查的內(nèi)容之一，不論全國卷還是天津卷等在2021年、2020年都有考查相關(guān)知識的命題出現(xiàn)，可見對樣本空間建構(gòu)形式與方法必然成為高三復(fù)習(xí)重點.文[1]闡述了樣本空間建構(gòu)在解決概率悖論中所起的重要作用，雖然涉獵一些樣本空間建構(gòu)事宜，但缺乏在解決具體概率問題方面如何構(gòu)建樣本空間的詳細(xì)說明，作為補充，下面重點談?wù)剺颖究臻g建構(gòu)問題，以達(dá)到在滿足高三復(fù)習(xí)中對求解概率問題的需求，同時形成關(guān)于樣本空間在解決概率問題所需思想方法等方面比較完整的體系.

1 關(guān)于確定樣本點形式(維度)的思考

樣本點是構(gòu)建樣本空間的關(guān)鍵，搞清楚樣本點形式(維度)是形成正確樣本空間的前提，下面通過示例說明如何確立樣本點形式.

例1 拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子和一枚質(zhì)地均勻的四個面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的正四面體，設(shè)事件A是“骰子點數(shù)為3或4”，事件B是“正四面體點數(shù)為1或3”.求事件AB的概率.

解析如果我們把A，B對應(yīng)的樣本點分別確立為事件A：3，4；事件B：1，3，由此得出事件AB樣本點是3，顯然是錯誤的.原因是，在確立樣本點形式時，一般要從三個層面來思考：

一是要基于事件A，B形成的條件來進(jìn)行思考.就此而言，本題樣本點是由拋擲骰子和四面體產(chǎn)生的，每次試驗結(jié)果呈現(xiàn)的是兩個量，即骰子和四面體出現(xiàn)的點數(shù)，從這個意義上講樣本點應(yīng)該是二維的.

二是基于由事件A，B出發(fā)求事件AB來思考.教材中定義事件AB運算就是通過集合的交集運算來實現(xiàn)的，從這個意義上講，不同意義形成的兩個事件A，B只有是二維形式才可運算.

三是基于古典概型中樣本點等可能性的要求.從這個意義上講，樣本點一定體現(xiàn)出骰子和四面體隨機出現(xiàn)的所有點數(shù).

綜合上述，該問題的樣本點應(yīng)該確立為“(骰子點數(shù)，四面體點數(shù))”的形式(也可確立為(四面體點數(shù)，骰子點數(shù))的形式).

據(jù)此，事件A的樣本點是：(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4).

同理，事件B的樣本點是：(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3).

事件AB的樣本點為：(3,1)(3,3)(4,1)(4,3).其概率求解略，在此不多贅述(以下各示例相同).

例2拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子，設(shè)事件A是“骰子點數(shù)為3或4”，事件B是“點數(shù)為1或3”.求事件AB的概率.

解析基于例1的思考及由事件A,B形成的條件、其運算要求、古典概型的等可能性這三個層面的思考，其樣本點應(yīng)該確立為一維的.

即：事件A對應(yīng)樣本點是：3,4；

事件A對應(yīng)樣本點是1,3.

所以AB對應(yīng)的樣本點是：3.

列舉這兩個示例的目的是方便讀者在體會確立樣本形式(維度)時進(jìn)行對照分析.

2 關(guān)于確定樣本點數(shù)量的思考

解決了樣本點的形式(維度)不等于能解決概率問題，還存在樣本空間中樣本點的數(shù)量問題，下面通過示例說明如何確立樣本空間中樣本點數(shù)量問題.

例3 已知盒中有質(zhì)地均勻、無差別黑球和白球共計12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)從盒中一次隨機取兩個球，求取出兩球為一黑一白的概率.

解析由上述論述知，一次取兩個球的樣本點一定是二維的，形式是“兩黑、一黑一白、兩白”，但樣本空間不能是{(黑球、黑球)、(黑球，白球)、(白球，白球)}，原因是古典概型中“等可能”的要求沒有得到體現(xiàn).

事實上，從等可能角度已知條件已經(jīng)決定了樣本點(黑球、黑球)的數(shù)量必然要多于(白球、白球)的數(shù)量.

從運用計數(shù)方法計算可知：樣本空間中(黑球、黑球)樣本點有28個點對，(黑球，白球)有32個點對，(白球，白球)有6對，樣本空間中樣本點數(shù)為66對(這些數(shù)據(jù)運用組合計數(shù)知識易得，其概率求解是顯然的，在此不多贅述，以下同此)，所以，是否滿足等可能是思考解決這類問題的根本.

3 關(guān)于樣本空間中樣本點數(shù)量計算方法與不同取法關(guān)系的思考

在實際概率問題中經(jīng)常會出現(xiàn)有放回、不放回等取法問題，涉及計數(shù)方法的選擇問題，下面通過實例來說明如何選擇計數(shù)工具來解決不同取法與計算樣本空間中樣本點數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系.

3.1 有放回取法

有放回取法是指取出計數(shù)后，又放回的選取過程，其特征是一次取法輪回的結(jié)果是已知條件始終不變，所以從計數(shù)方法角度講就是可重復(fù)計數(shù)問題，從概率角度講就是各取法之間相互獨立，下面通過示例說明.

例4 已知盒中有質(zhì)地均勻、無差別黑球和白球共計12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)每次從盒中隨機取一個球后再放回，連續(xù)取兩次，求取出兩球為一黑一白的概率.

解析由于每次取一個，取出后又放回，所以再次取時的狀況與上次一致，也就是每次取完，盒中球數(shù)、色澤等均不變化，所以樣本空間中樣本點數(shù)計算采取可重復(fù)元素的乘法原理來進(jìn)行，其數(shù)量為12×12=144.

同理事件“兩球為一黑一白”的樣本點采取第一次取黑球或白球進(jìn)行討論，再借助乘法計數(shù)原理的方法來計算，其數(shù)量為8×4+4×8=64.

3.2 不放回取法

不放回取法是指取出后不再放回的選取過程，其特征是已知條件是變化的，從計數(shù)角度講就是不可重復(fù)計數(shù)問題.從計數(shù)方法角度講一般是采取排列、組合的計數(shù)方法(因為排列、組合就是不放回計數(shù)方法)，從概率角度講就是各取法之間不相互獨立.下面通過示例說明.

3.2.1 一次取一個，連續(xù)取兩次的不放回取法

例5 已知盒中有質(zhì)地均勻、無差別黑球和白球共計12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)每次從盒中隨機取一個球連續(xù)取兩次(取出后不再放回)，求取出兩球為一黑一白的概率.

解析由于每次取出后不再放回，所以再次取時的狀況與上次不一致，也就是盒中球數(shù)、色澤等均發(fā)生變化，由于涉及第一、二次取問題，所以計算樣本空間中樣本點數(shù)采用排列數(shù)計數(shù)方法，其數(shù)量為12×11=132.

同理，事件“出兩球為一黑一白”的樣本點8×4+4×8=64.

3.2.2 一次取兩個的不放回取法

例6 已知盒中有質(zhì)地均勻、無差別黑球和白球共計12只，其中黑球8只，白球4只，現(xiàn)從盒中隨機取兩個球，求取出兩球為一黑一白的概率.

解析由于每次取出兩個球，樣本點結(jié)構(gòu)不涉及兩球之間的順序問題，因此體現(xiàn)在樣本空間和事件中的樣本點計數(shù)方法都是組合思想.

3.3 其它可重復(fù)計數(shù)問題

例7A，B，C，D四位同學(xué)參加四個學(xué)生社團(tuán)，要求每人只參加一個.設(shè)事件M表示“四位同學(xué)參加的學(xué)生社團(tuán)各不相同”，事件N表示“同學(xué)A獨自參加一個社團(tuán)”，求P(M|N).

解析題中條件要求是除同學(xué)A獨自參加一個社團(tuán)外，其它同學(xué)可以一個社團(tuán)有多名學(xué)生，每人不可參加多個社團(tuán)，所以求解樣本空間中的樣本點數(shù)量采用重復(fù)計數(shù)和乘法計數(shù)原理的方法來進(jìn)行，即樣本空間中樣本點的個數(shù)為4×3×3×3=108.

由以上示例可以看出，不同取法與樣本空間樣本點數(shù)量求解其實就是計數(shù)原理來決定的，只要結(jié)合題目條件，抓住問題的本質(zhì)，采用適當(dāng)?shù)挠嫈?shù)原理，所有問題都能迎刃而解.

4 關(guān)于樣本空間分割在求解概率問題的思考

恰當(dāng)?shù)貙颖究臻g進(jìn)行分割可以簡化概率運算，下面通過示例談?wù)勅绾畏指顦颖究臻g求解概率問題.

例8 全國掀起的新考改帶來志愿填報方式及數(shù)量的新變化.如某省本科志愿填報時，設(shè)置了80個“專業(yè)+院?！钡钠叫兄驹?各“專業(yè)+院?！蹦芊皲浫∠嗷オ毩?欄目供考生填寫，由此也產(chǎn)生“沖、保、穩(wěn)”等很多填報策略.某高中畢業(yè)考生在志愿填報時連續(xù)選擇填報了20個錄取概率為0.1的“專業(yè)+院?！敝驹福瑔栐摽忌鼙贿@些高校中某個錄取的概率.

解析由已知得該樣本空間可分割為兩個部分，一部分是被錄取的樣本點構(gòu)成，另一部分是由沒有被任何院校錄取的樣本點構(gòu)成，而兩者剛好是對立事件，因此下列解法就顯得十分簡潔.

考生沒有被任何一所院校錄取的概率為：0.920≈0.12，所以考生能被所填報的高校中某個錄取的概率為1-0.12=0.88；

由此可見，該考生被錄取的可能性很大，所以從概率角度講，在填報志愿時，大膽選擇一些錄取可能性很小的高校進(jìn)行填報的策略是可行的.

例9 轟炸機轟炸某目標(biāo)，它飛到距離目標(biāo)400米、200米、100米處的概率分別是0.5，0.3，0.2，它在距離目標(biāo)400米、200米、100米時投彈命中率為0.01，0.02，0.1，求目標(biāo)被命中的概率.

解析由已知得，飛機轟炸目標(biāo)投彈只是在400米、300米、100米的情況下進(jìn)行的，也就是目標(biāo)被命中與否是在這三種狀況下進(jìn)行討論的，所以樣本空間可被分割為飛到距離目標(biāo)400米、300米、100米這三種情況進(jìn)行投彈，并且目標(biāo)被命中，這樣樣本空間就被分割成三個部分(400米、300米、100米投彈是否擊中)情況下是否命中的問題，也就是全概率問題(進(jìn)而借助滿足全概率公式即可解決).

上述自然語言用符號語言表述：設(shè)事件A表示“距離目標(biāo)400米投彈”，設(shè)事件B表示“距離目標(biāo)200米投彈”，設(shè)事件C表示“距離目標(biāo)100米投彈”，設(shè)事件D表示“目標(biāo)被命中”.

則事件D=AD+BD+CD.

由于各事件互斥，所以P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)，再利用乘法公式(在此不過多贅述)即可得P(D)=0.031.

由此可以看出，例9是運用對立事件分割樣本空間，轉(zhuǎn)化為借助對立事件概率公式求解.例10是采取一般的將樣本空間分割成若干個互斥事件，轉(zhuǎn)化為借助全概率公式求解.由此可以看出，只要根據(jù)問題的條件，采取適當(dāng)分割樣本空間方法就能給解題帶來方便.

5 關(guān)于轉(zhuǎn)換樣本空間求解概率問題的思考

根據(jù)已知條件，采取逐步簡化樣本空間的辦法求解概率問題，也是很好的想法，下面通過示例說明.

例10 某家庭有兩個孩子，求該家庭有一個男孩時，另一個是女孩的概率.

上述所列這些問題所提供的思考與思想方法介紹旨在解決概率問題過程中必須搞清楚的知識點，也是易混易錯知識點.從近幾年高考命題情況看，可以說掌握了文中所列思考與方法，這些高考中的相關(guān)題目都可迎刃而解.