管樁屏障在柱面波源下近場隔振效應的解析求解

巴振寧，劉世朋，吳孟桃，梁建文

(1. 天津大學土木工程系，天津 300350；2. 中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點實驗室(天津大學)，天津 300350；3. 濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300350)

環(huán)境振動作為“七大公害”之一對周邊建筑以及居民生活均造成較大的負面影響[1]，而連續(xù)或非連續(xù)屏障是在工程中廣泛應用的隔振措施，其中：連續(xù)屏障以空溝和填充溝等為代表[2-5]，隔振能力顯著，卻也面臨施工不便、面對低頻振源時在軟土與高地下水位地區(qū)應用困難等問題；非連續(xù)屏障以排孔、排樁等為代表，具有施工方便和適用性強等優(yōu)勢，有著更為廣泛的應用空間，同時也更需要合理設計以確保隔振效果。

許多國內外學者已針對排樁隔振問題進行了相關研究，并取得豐碩的成果：最初由Woods 等[6]研究了圓形排孔隔振的問題，率先總結了單排樁的設計準則；Kattis 等[7-8]首次采用頻域邊界元的數(shù)值方法針對單排樁進行了研究，總結了一種排樁與填充溝的等效替代方法；Avilés 和Sánchezsesma[9-10]首次利用波函數(shù)展開法進行解析求解，討論了平面SH 波入射下的單排實心彈性和剛性樁體隔振問題；徐平等[11-12]運用波函數(shù)展開法和保角映射方法分別研究了彈性和飽和土體中排樁和排孔的隔振作用；Cai 等[13]首次結合Biot 理論拓展了飽和場地中的排樁隔振研究，討論了在飽和土中單排實心樁的隔振作用；李志毅等[14]依據(jù)瑞利波散射的積分方程進行數(shù)值計算，并結合工程實例討論了多排樁屏障的三維遠場被動隔振；Ai和Cao[15]考慮場地土的分層條件，結合層單元的解析法和整體的有限元法討論了單排樁在層狀場地下的隔振作用；Lu 等[16]針對高速列車的振動問題，運用虛擬樁法討論了多排樁對交通振動的隔振作用；劉中憲和王少杰[17]采用數(shù)值模擬的方式，采用了一種間接邊界積分方程法討論了平面P 波、SV 波下的多排樁隔振作用；Pu 和Shi[18]基于有限元法和周期理論，數(shù)值模擬了周期多排樁對瑞利波的隔振作用；Xia 等[19]針對排樁的任意排列，采用一種多重散射的解析方法重點討論了樁體排列對隔振作用的影響。

可以看出涉及排樁隔振研究的方式多樣，包括有：能夠準確直觀地反映隔振規(guī)律的試驗研究、便于模擬多因素影響下復雜工況的數(shù)值模擬、反映問題本質的解析求解。其中解析求解不僅計算精確，更具有能夠作為其他研究方法驗證的基礎作用。同時值得注意的是，以上研究中所針對的入射波均為平面波，目前考慮入射波曲率影響的研究尚未見報道，而一些常見的環(huán)境振動如打樁施工，大部分能量在樁尖和樁身以彈性波(包含體波和面波)的形式借由土體向外擴散[20]，對周圍土體及周邊建筑均有不利的影響，如土體位移[21]、建筑開裂等[22]。同時，由于體波比面波衰減更快，打樁振動在遠場處的影響以面波為主，在近場處的影響以體波為主，而近場隔振時入射波的曲率影響是不可忽視的，因此，在研究排樁近場隔振時考慮入射波的曲率影響是有必要的。

基于以上研究現(xiàn)狀，本文為考慮入射波場的曲率影響，采用以Novak 樁周土平面應變模型為基礎的振動單樁作為振源[23]，建立了以柱面波為入射波場的排樁隔振模型，采用解析求解的方法研究了管樁對柱面波的隔振效果，彌補了以往理論分析中未考慮入射波曲率影響不足。作者首先采用波函數(shù)展開法表示了柱面波源，然后在推導了任意坐標系間變換的Graf 加法定理的前期工作基礎上[24]，將柱面波自由場在各樁體局部坐標系下表示，使柱面波自由場和樁體散射波場疊加的總波場滿足所有樁體的邊界條件，構建和求解線性方程組可得到所有樁體的散射波場，從而問題得解。文中首次給出了柱面波源下的管樁屏障近場隔振效應的解析解，分析了管樁屏障后不同位置處的頻譜規(guī)律，并討論了柱面波源曲率、樁體個數(shù)以及樁排數(shù)的變化對隔振效果的影響。

1 模型和方法

以柱面波源為入射波場的排樁隔振模型如圖1所示，并按排和按列標號為“(1, 1)”、“(1, 2)”、“(1, 3)”等，其中橫坐標代表行數(shù)，縱坐標代表周期列數(shù)，一共p排。圖1 模型圖以梅花形排布為例，當樁體以其他形式任意排布時，只需在整體坐標系中表示每個樁體的坐標可同樣采用本文方法求解。

圖1 管樁屏障對柱面P 波、SV 波的散射分析模型Fig. 1 Analysis model of P and SV wave scattering by pipe pile barrier

可取圖1 中標號為(1, 1)的管樁作為基準點，同時取標號為(c,j)的任意一個管樁為研究對象，分別建立(x,y)的整體直角坐標系和(xc,j,yc,j)的局部直角坐標系，分別對應的極坐標系可表示為(r, θ)和(rc,j, θc,j)。其中，整體坐標系作為整個求解過程的坐標基準，反映樁體排布的位置和柱面波源的位置；局部坐標系則針對所求對象樁體的波場描述，便于代入所求對象樁體的邊界條件。

管樁截面的外徑為a1，內徑為a2，沿x軸分布的橫向間距為s，沿y軸分布的縱向間距為h；土體和管樁的材料性質由拉梅常數(shù)和質量密度決定，其中土體由拉梅常數(shù)λ1和μ1及質量密度ρ1確定，樁體由拉梅常數(shù)λ2和μ2及質量密度ρ2確定；設入射波為圓頻率ω的柱面P 波和SV 波，振源在整體坐標系中的位置坐標為(x0,y0)，在土體中的壓縮和剪切波速分別為cα1和cβ1，在樁體中的壓縮和剪切波速分別為cα2和cβ2。

如圖1 所示，柱面P 波、SV 波入射時，采用波函數(shù)展開法表示了柱面波源，然后利用在前期推導了任意坐標系間變換的Graf 加法定理的基礎上[22]，將入射波場在任意散射波場中表示，將入射波場和散射波場疊加后的總波場，使其滿足每一個樁體的邊界條件并構建和求解方程組，求解所有的散射待定系數(shù)從而得到整個波場的解。

1.1 柱面波自由場的表示

如何將柱面波自由場在各個散射波場中表示是求解該問題的關鍵，因此首先對柱面波展開形式進行推導和討論，此處以柱面P 波為例進行詳細推導，對于柱面SV 波的推導可通過改變自由場求解。

在柱面波源的局部坐標系(r0, θ0)中，入射柱面P 波可表示為：

式中：φ0為入射柱面P 波的振幅；α1為柱面P 波在土體域中的波數(shù)；虛數(shù)單位用i 表示。

將入射柱面波在每一個樁體對應的局部坐標系下表示，這里借助文獻[24]中推導得的任意坐標系間變換的Graf 加法定理，即：

其中：

式中：e為兩個坐標系之間的距離參數(shù)；δ 為兩個坐標系之間的角度參數(shù)。通過e和δ 能夠唯一地確定兩個坐標系間的相對位置關系，如圖2 所示。

圖2 任意兩個坐標系間的內域Graf 加法公式形式Fig. 2 Form of Graf addition formula in internal domain between any two coordinate systems

將入射柱面P 波的表達式式(1)代入式(2)中，即可得到自由場在任意坐標系下的表示(為簡化過程時間因子exp(-iωt)已略去，下同)：

當入射波為柱面SV 波時，只有入射場不同，設ψ0為柱面SV 波的振幅，入射波場可表示為：

1.2 求解群樁散射波場

在土體中由于樁體的存在，將產(chǎn)生包括P 波和SV 波的散射波場，因此需要在各自樁體對應的局部坐標系下表示出散射波場，在圖1 中標號為(c,j)樁體所對應的局部極坐標系(rc,j, θc,j)下，樁體散射波場的Fourier-Bessel 級數(shù)表達式為：

在1.1 節(jié)中采用任意坐標系間的Graf 加法定理實現(xiàn)了柱面波自由場到任意樁體局部坐標系下的轉換，同樣的，也可實現(xiàn)散射波場的轉換，此處將所有樁體的散射波場依次轉換到待求樁體的極坐標系下，這里以標號為(p,q)的樁體為例，將其他任意樁體(c,j)的散射波場轉換到局部坐標系(rp,q, θp,q)下：

此后疊加入射波場式(5)和所有散射波場，能夠得到在土體域中的總波場：

而樁體域內散射波場可表示為：

土樁交界面的應力和位移連續(xù)條件以及管樁內徑界面處的零應力條件為：

將土體和樁體中總波場的勢函數(shù)轉化為應力σrr、σrθ和位移ur、uθ，即可代入邊界條件式(15)中，求解對應的無窮線性方程組后，即可得到所有樁體的散射待定系數(shù)，代回式(7)和式(8)中即得所有樁體的散射波場，再疊加入射柱面波自由場進而可求柱面波源下任意位置處的應力或位移。

2 方法驗證

首先針對頻率進行歸一化表示，設土體域中柱面P 波和SV 波的無量綱頻率分別為：

式中：ηSV和ηP分別為SV 波和P 波的無量綱頻率；λα1和λβ1分別為土體中柱面P 波和SV 波的波長，其余參數(shù)均已在模型介紹與理論推導過程中首次出現(xiàn)時定義。

為歸一化表示樁體間距，實際列間距s和實際排間距h均除以樁截面半徑a，即以比值b/a和h/a表示歸一化的列間距與排間距。用觀測點位置處的總位移與自由場位移幅值比|u/u0|來表示柱面SV 和P 波入射下管樁的隔振效果，其中：u為管樁屏障后柱面波源與相應散射波場的總位移；u0為未設立管樁屏障時僅由柱面波源引起的位移。

2.1 與柱面波下單個圓孔結果對比驗證

以柱面P 波入射下單個圓孔為例，同文獻[25]的結果對比，柱面波振源距離圓孔中心的距離分別取r0/a=2、10 和20 作對比驗證，繪制圓孔周圍動應力集中因子隨角度變化曲線如圖3 所示。圖3中實線為文獻[25]結果，其余為本文的退化單個空洞的結果，從圖3 中可看出結果一致。

圖3 與文獻[25]結果對比Fig. 3 Comparison with result of reference [25]

2.2 與平面波下管樁屏障結果對比驗證

文獻[17]給出了多排實心群樁屏障在平面P波作用下的數(shù)值結果，將本文柱面波結果退化為平面波結果，即取柱面波振源同排樁距離足夠遠(驗證中取為r0/a=10000)，此時可忽略入射波場的曲率的影響，再將結果與文獻[17]中圖5(a)進行比較，按照文獻[17]中圖5(a)參數(shù)進行取值并給出對比結果，由圖4 可看出結果一致。

圖4 與文獻[17]結果對比Fig. 4 Comparison with result of reference [17]

為驗證平面SV 波作用下結果的正確性，可與文獻[26]的數(shù)值結果進行對比，將本文柱面波結果退化為平面波結果，同樣取振源同排樁距離足夠遠(驗證中取為r0/a=10000)，此時可忽略入射波場的曲率的影響，再將結果與文獻[26]中圖7(a)和圖7(b)進行對比，由圖5 可看出結果一致。

圖5 與文獻[26]結果對比Fig. 5 Comparison with result of reference [26]

至此通過與已有的柱面波下的單個空洞結果和平面波下的群樁隔振結果分別對比，結果均吻合良好，能夠驗證了本文所用模型計算結果的正確性。

3 隔振效果分析

本節(jié)討論周期分布群樁屏障對柱面波的隔振效果，首先進行了入射柱面P 波和SV 波的頻譜分析，然后探討了入射波曲率、樁間距、排列方式(矩形排列和梅花形排列)對柱面波入射下的管樁隔振效果影響。

本文算例以PCC 管樁(即現(xiàn)澆薄壁混凝土空心管樁)為例，可取土和管樁的泊松比分別為μ1=0.33 和μ2=0.25，樁土剪切波速比為μ2/μ1=1000，樁土密度比為ρ2/ρ1=1.3。

3.1 頻譜分析

取一排N=8 的管樁作為研究對象，振源距離排樁中心線距離分別為y0/a=10、20、50，樁間距s/a=3，繪制排樁后觀測點x/a=0.0、4.5、10.5，y/a=300、400、500 處柱面P 和SV 波引起的無量綱位移|u/u0|分別隨無量綱頻率ηSV和ηP變化的頻譜圖如圖6 和圖7 所示。

從圖6 的柱面P 波頻譜結果可以看出，整體上在各個頻率點下管樁屏障具有良好的隔振性能，同時相對于平面波源，對于柱面P 波源來說排樁中心和邊緣處的隔振效果差別不大，頻譜結果較為接近；隨著振源遠離排樁，管樁屏障的隔振效果有所提升，反映了振源靠近排樁時的影響更為顯著。

圖6 柱面P 波入射時管樁隔振頻譜圖Fig. 6 Spectra of pipe pile vibration isolation under cylindrical P-wave incidence

從圖7 的柱面SV 波頻譜結果可以看出，整體上在ηSV=1.0～2.0 的中頻率下具有更明顯的隔振性能，同時相對于平面波源，對于柱面SV 波源來說排樁中心和邊緣處的隔振效果差別不大，頻譜結果較為接近；隨著振源遠離排樁，管樁屏障的隔振效果有所提升，尤其是在頻率為ηSV=1.0 時隔振效果有著顯著的增強，同樣反映了振源靠近排樁時對位移影響更大。

圖7 柱面SV 波入射時管樁隔振頻譜圖Fig. 7 Spectra of pipe pile vibration isolation under cylindrical SV-wave incidence

綜上所述，將重點分析振源坐標為y0=10 的頻譜圖，可以看出管樁對不同頻率段的入射柱面波的隔振效果不同：對于柱面P 波，在各個頻率段的隔振效果均較為明顯；而對于柱面SV 波，在低頻率段(ηSV=0.0～1.0)隔振效果不明顯，在中頻率段(ηSV=1.0～2.0)則具有顯著的隔振效果的提升，而在高頻率段(ηSV=2.0～3.0)同樣具有顯著的隔振效果，但隨著頻率的增加隔振效果有所降低。

因此，管樁屏障對于柱面P 波的隔振效果更為顯著，對于柱面SV 波，相較低頻在中高頻率下的隔振效果更為顯著。本文其他部分的計算將按照本節(jié)頻譜分析，以ηP=ηSV=1.0 作為典型頻率進行計算，分析排樁在柱面波源下的隔振規(guī)律，并統(tǒng)一采用排樁屏障后范圍y/a=100～500 內的位移等值線圖反映和觀察管樁隔振效果。

3.2 波源曲率的影響

取一排N=8 的管樁作為研究對象，取典型頻率ηP=ηSV=1.0，振源距離排樁中心線距離分別為y0/a=10、20、50，樁間距s/a=3，繪制在柱面P 波和SV 波入射下排樁后的位移等值線圖如圖8 和圖9 所示。

圖8 柱面P 波下不同入射波曲率的位移等值線圖Fig. 8 Displacement contour map of different incident wave curvatures under cylindrical P-waves

從圖8 可以看出，對于柱面P 波，在ηP=1.0時樁體后位移衰減明顯，超過90%的區(qū)域能夠達到50%以上的隔振效果；同時隨著入射波曲率的減小(即波源與排樁距離的增加)，有效的隔振范圍增大，最佳隔振區(qū)域后移。

從圖9 可以看出，對于柱面SV 波，在ηSV=1.0時樁體后位移衰減規(guī)律與柱面P 波不同，先在近場處有較弱的位移衰減后，再在遠場具有較強的位移衰減；同時隨著入射波曲率的減小(即波源與排樁距離的增加)，有效的隔振范圍增大，較弱的位移衰減區(qū)域減小，具有更加明顯的隔振效果。

圖9 柱面SV 波下不同入射波曲率的位移等值線圖Fig. 9 Displacement contour map of different incident wave curvatures under cylindrical SV-waves

因此可以看出，入射波曲率對于排樁隔振有著明顯的影響，在振源距離排樁更近時，柱面P波和柱面SV 波均對排樁后場地具有更加顯著的影響，相比平面波的位移反應更大。因此，以下將重點研究入射波距離排樁更近時的管樁隔振能力，以下算例中均取y0/a=10。

3.3 樁個數(shù)的影響

分別取一排N=6 和N=10 的管樁作為研究對象，取典型頻率ηP=ηSV=1.0，振源距離排樁中心線距離分別為y0/a=10，樁間距為s/a=3，繪制在柱面P 波和SV 波入射下排樁后的位移等值線圖如圖10 所示。

從圖10 可以看出，對于柱面P 波而言，在N=6 時80%以上的區(qū)域隔振效果超過60%(即相對位移小于0.4)，而在N=10 時只有20%左右的區(qū)域隔振效果超過60%；同樣的對于柱面SV 波而言，在N=6 時90%以上的區(qū)域隔振效果超過50%(即相對位移小于0.5)，而在N=10 時僅有10%左右的區(qū)域隔振效果超過50%。

圖10 樁個數(shù)對排樁隔振效果影響的位移等值線圖Fig. 10 Displacement contour map of influence of pile number on vibration isolation effect of row piles

對于柱面P 波和SV 波振源入射，保持間距不變的情況下增加樁體個數(shù)反而隔振效果變弱，這是由于柱面波源不同于平面波源，波陣面由平面變?yōu)橐稽c發(fā)散的柱面，此時排樁不同位置處的入射波曲率不同，增加兩側的樁體個數(shù)反而使入射波的散射作用增強，更加不利于排樁隔振。因此，在進行考慮入射波曲率影響的近場隔振時，建議針對振源位置合理設計樁體排布，以單排管樁為例，針對柱面P 波和SV 波取排樁個數(shù)為6 和樁間距為3a時即可達到80%以上的區(qū)域超過50%的隔振效果，此外值得說明的是，在實際工程中隨樁體類型和振源位置變化也應對樁體排布做出調整，可依照本算例進行計算。

3.4 樁排數(shù)的影響

取兩排(N1=8 和N2=9)和三排(N1=8、N2=9 和N3=8)分布的管樁屏障作為研究對象，樁體的排布形式采用梅花形分布，即圖1 模型圖所示的管樁分布形式，取典型頻率ηP=ηSV=1.0，振源距離排樁中心線距離為y0/a=10，樁間距為s/a=3，繪制在柱面P 和SV 波入射下多排梅花排布樁體后的位移等值線圖如圖11 所示。

從圖11 可以看出，對于柱面P 波而言，在兩排管樁時僅有20%左右的區(qū)域隔振效果超過40%(即相對位移小于0.6)，而在三排管樁時觀測范圍內90%以上區(qū)域的隔振效果超過了50%；同樣的對于柱面SV 波而言，在兩排管樁時有50%左右的區(qū)域隔振效果超過50%(即相對位移小于0.5)，而在三排管樁時觀測范圍內所有區(qū)域的隔振效果均超過了70%。

圖11 樁排數(shù)對排樁隔振效果影響的位移等值線圖Fig. 11 Displacement contour map of influence of pile row number on vibration isolation effect of pile row

因此，對于柱面波源而言，無論是P 波還是SV 波，隨管樁排數(shù)的增多，有效隔振區(qū)域的范圍更大，同時整體上排樁屏障后的位移反應更小，管樁屏障對于柱面波的隔振效果顯著提高。

4 結論

本文采用波函數(shù)展開法，通過將柱面波自由場通過0 階Hankel 展開表示，并結合任意坐標系間變換的Graf 加法公式，給出了管樁屏障在柱面P 波和SV 波入射下的解析解，討論了柱面波源下管樁屏障的頻譜特性，并分析了入射波曲率、樁體個數(shù)和樁排數(shù)的變化對隔振效果的影響，獲得結論如下：

(1)整體上相比柱面SV 波，管樁屏障對柱面P 波的隔振效果更為顯著，而對柱面SV 波在ηSV大于1.0 的中高頻率下的隔振效果較為顯著。

(2)入射波曲率對于排樁隔振效果有著明顯的影響，在振源距離排樁更近時，柱面P 波和柱面SV 波均對排樁后場地具有更加顯著的影響，相比平面波的位移反應更大。

(3)相比平面波，在柱面波源作用下排樁個數(shù)的增加不能有效提升隔振效果，針對振源位置合理設置間距和排樁分布可取得更好的隔振效果。

(4)管樁排數(shù)的增加能夠有效提升對柱面波的隔振效果，從兩排樁到三排樁可較大地提升隔振能力，因此，在阻隔柱面波時更應合理縮減排樁個數(shù)同時增加樁排數(shù)。