不等跨RC 框架的抗連續(xù)倒塌理論分析及魯棒性評判指標(biāo)研究

甘藝平，喻 君，陳 雋，申家旭

(1. 同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092；2. 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，南京 210098)

自1968 年Ronan Point 公寓倒塌以來，結(jié)構(gòu)在偶然荷載(如爆炸、沖擊、火災(zāi)和人為失誤等)下的連續(xù)倒塌已經(jīng)引起了科研學(xué)者與工程人員的廣泛關(guān)注。雖然結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌事件是小概率事件，但一旦發(fā)生后果極其嚴重，人員巨大傷亡以及財產(chǎn)重大損失均不可避免。為此，許多國家陸續(xù)出臺了相關(guān)結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范、規(guī)程和指南[1-3]，要求在設(shè)計過程中考慮結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌能力。

研究結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌主要采用拆除構(gòu)件法，即直接假設(shè)特定柱子發(fā)生失效，考察剩余結(jié)構(gòu)能否跨越局部破壞卻不發(fā)生倒塌的能力。近年來，眾多學(xué)者采用該方法結(jié)合試驗[4-9]、數(shù)值[10-13]和理論[14-19]等手段對等跨鋼筋混凝土(RC)框架結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌性能進行了系統(tǒng)研究。揭示了結(jié)構(gòu)倒塌過程可能出現(xiàn)的彎曲機制、壓拱效應(yīng)、懸梁線效應(yīng)、薄膜效應(yīng)以及空腹作用等荷載傳遞機制。隨著對這些機制研究的不斷深入，不同的結(jié)構(gòu)抗力理論模型，如雙折線模型[16]、三折線模型[17 - 18]和四折線模型[19]等也被陸續(xù)提出。

然而，上述研究主要針對等跨結(jié)構(gòu)，現(xiàn)實中不等跨結(jié)構(gòu)也十分常見，例如存在內(nèi)走廊的辦公樓等。最近，不等跨結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌性能開始引起了更多的關(guān)注。Du 等[20]進行了三個1/3 縮尺不等跨RC 框架的擬靜力加載試驗，發(fā)現(xiàn)板能夠顯著改善結(jié)構(gòu)抗倒塌性能，但不等跨設(shè)計會造成短跨梁內(nèi)部鋼筋受力更大，從而間接弱化了結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌能力。Zhong 等[21]測試了三個1/3 縮尺不等跨組合結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌性能，結(jié)果表明在大變形階段等跨結(jié)構(gòu)比不等跨結(jié)構(gòu)具有更大的抗力，且不等跨結(jié)構(gòu)的懸鏈線效應(yīng)主要由短跨梁貢獻。兩組試驗均表明了不等跨結(jié)構(gòu)在倒塌過程中短跨起著主要控制作用，但該結(jié)論是在采用擬靜力集中加載的前提下所得到的，而動力倒塌過程中不等跨結(jié)構(gòu)是否遵循同樣的破壞機制尚未明確。且適用于不等跨結(jié)構(gòu)的理論分析模型也尚未有人提出。

此外，當(dāng)結(jié)構(gòu)存在不等跨現(xiàn)象時，結(jié)構(gòu)的最危險工況難以直接確定。為了能快速判斷出最薄弱工況，He 等[22]基于擬靜力集中加載下的結(jié)構(gòu)最大抗力提出了一個評判指標(biāo)。然而，倒塌是一個動力過程，結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌性能不僅僅依賴于抗力最大值，還受抗力形式影響。

為了解決上述不足，本文將現(xiàn)有等跨結(jié)構(gòu)的雙折線和三折線理論分析模型推廣至不等跨結(jié)構(gòu)，并提出了一個新的三折線模型。該模型能夠同時考慮結(jié)構(gòu)的抗彎、壓拱、懸梁線和拉膜效應(yīng)機制。基于結(jié)構(gòu)最大動荷載因子提出了一個魯棒性評判指標(biāo)，用于快速確定出結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌的最危險工況。

1 不等跨RC 框架結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌承載力理論分析

結(jié)構(gòu)承載力理論研究一直是連續(xù)倒塌領(lǐng)域研究的一個重點。Dat 等[16]根據(jù)試驗結(jié)果結(jié)合屈服線理論提出了結(jié)構(gòu)抗倒塌承載力的雙折線模型(見圖1 的模型1)，但該模型忽略了結(jié)構(gòu)的拉膜和懸鏈線效應(yīng)，因此較為保守。Zhang 等[17-18]則在考慮結(jié)構(gòu)在大變形下的內(nèi)部能量消耗、邊界水平位移等因素，利用虛功率原理求解出了結(jié)構(gòu)的極限抗力，進而提出了三折線模型(見圖1 的模型2)。然而，上述結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌的理論分析主要還是針對等跨結(jié)構(gòu)。為此，本節(jié)將進一步把等跨結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌理論拓展至不等跨結(jié)構(gòu)，并提出一個新的修正三折線模型(見圖1 的模型3)。

圖1 結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌承載力理論分析模型Fig. 1 Analytical models of progressive collapse resistance of structure

首先引入三個主要假定：1)不考慮框架整體的空腹效應(yīng)，這意味著在底層和頂層失效下各單層結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌性能是一致的，類似于文獻[23]，本節(jié)保守地忽略該整體效應(yīng)；2)不等跨結(jié)構(gòu)的最大變形位于跨中(角柱工況除外)，這是因為結(jié)構(gòu)一旦發(fā)生倒塌，失效柱軸力會瞬間消失，這時失效跨內(nèi)主要荷載作用為均布荷載[24]，因此假定結(jié)構(gòu)最大變形發(fā)生在跨中是合理的；3)忽略梁板協(xié)同效應(yīng)，即將梁和板單獨計算，再進行疊加，事實上在已有的等跨結(jié)構(gòu)理論中梁板協(xié)同效應(yīng)中的T 型梁效應(yīng)也沒有被考慮，這會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)偏保守，但在工程領(lǐng)域是可接受的。

1.1 抗彎承載力

鑒于柱子位置和邊界條件的差異，等跨RC 框架結(jié)構(gòu)被劃分成6 種典型失效工況，分別包括角柱(CC)、邊鄰角柱(PEC)、邊中柱(SC)、對鄰角柱(PIC)、鄰邊中柱(PSC)和內(nèi)柱(IC)工況，如圖2所示。

圖2 RC 框架結(jié)構(gòu)的6 種典型失效工況Fig. 2 Six typical column removal scenarios of RC frame structure

不等跨框架結(jié)構(gòu)同樣可以劃分成6 種，根據(jù)前文的假定，結(jié)構(gòu)在不同工況下的板屈服線和梁塑性鉸分布如圖3 所示。需要注意的是，在CC 工況中，除了對角正屈服線外板還會形成額外的正屈服線(OA和OB)[25]。各個工況下結(jié)構(gòu)沿x向和y向的總跨長分別為Lx和Ly；dx和dy則分別代表梁沿x軸和y軸偏離跨中心的距離。板沿x向和y向的單位寬度極限抵抗負(/正)彎矩分別為和(/msx和msy)；類似地，梁沿x向和y向的極限抵抗負(/正)彎矩分別為和(/Mbx和Mby)。板和梁的極限抵抗彎矩由式(1)和式(2)求解[24]：

圖3 不等跨結(jié)構(gòu)的假定板屈服線和梁塑性鉸分布Fig. 3 Assumed plastic hinges and yield-line patterns of structure with unequal spans

式中：As和Ab分別為板單位寬度和梁截面的受拉鋼筋面積；hs0和hb0分別為板和梁截面有效高度；hs1和hb1分別為板和梁截面的受拉鋼筋合力點到受壓區(qū)混凝土中心的高度；fy和分別為鋼筋屈服強度和混凝土抗壓強度。

根據(jù)虛功原理，在變形最大處施加一個虛位移u，可以得到結(jié)構(gòu)在外荷載下的虛功為：

同樣地，在給定的虛位移u下，通過板屈服線彎矩和梁塑性鉸彎矩與相應(yīng)的轉(zhuǎn)角乘積，得到CC、SC 和IC 工況的內(nèi)力功的表達式：

同理可得PEC、PIC 和PSC 工況下的表達式，鑒于篇幅不再列出。再根據(jù)虛功方程Win=LF1，便可解得各個工況下屈服點對應(yīng)的荷載因子LF1(抗彎承載力)。

1.2 板拉伸薄膜與梁懸鏈線效應(yīng)

結(jié)構(gòu)大變形階段主要由板的拉伸薄膜和梁的懸鏈線效應(yīng)提供抗力。以IC 工況為例，圖4 展示了結(jié)構(gòu)大變形下的變形模式和受力狀態(tài)。Tx和Ty分別代表x和y向板單位寬度的軸拉力；Fy和Fx則分別代表x向和y向梁的軸拉力。假設(shè)該階段下板和梁的頂部鋼筋均已屈服，結(jié)構(gòu)抗力僅由鋼筋貢獻，但忽略底部鋼筋的貢獻。結(jié)構(gòu)的外荷載表示成P'，該階段下的結(jié)構(gòu)抗力剛度為：

圖4 板拉伸薄膜和梁懸鏈線效應(yīng)Fig. 4 Tensile membrane and catenary action

根據(jù)力的平衡關(guān)系，荷載增量等于內(nèi)力豎向分量的增量，而后者可由沿板負屈服線每個微段內(nèi)的內(nèi)力增量表示，因此有：

假設(shè)結(jié)構(gòu)的變形曲線在負屈服線處的切線斜率近似為割線的兩倍[22]，如圖4 所示，從而每個微段內(nèi)的內(nèi)力增量可表示成：

因此，得到結(jié)構(gòu)的抗力剛度表達式：

結(jié)合式(8)和式(11)則可得到結(jié)構(gòu)在荷載因子坐標(biāo)系下的剛度：

從而得到IC、PSC 和PC 工況的具體剛度計算公式為：

同理，可得PEC 和SC 工況計算公式：

需要注意的是，在CC 工況中，結(jié)構(gòu)的變形曲線在負屈服線處的切線斜率與割線是近似相等的，故該工況下的計算公式為：

1.3 壓拱效應(yīng)

文獻[15]表明梁的壓拱效應(yīng)可以提高梁承載力30%。為此，本節(jié)進一步在1.2 節(jié)所建立的三折線模型上考慮梁壓拱效應(yīng)的貢獻。在Park 壓拱模型[26]中，需要先考慮梁軸壓力對截面彎矩的提高，再在宏觀受力上考慮軸壓力對結(jié)構(gòu)抗力的不利影響。而周育瀧等[15]則直接通過對梁柱構(gòu)件進行實際微觀受力分析，如圖5 所示，提出了彎矩和軸力解耦的承載力公式。

圖5 梁壓拱機制下的受力模型[15]Fig. 5 Force model of beam specimen

式中，具體參數(shù)含義可參照文獻[15]。α1β1fcbxc·(hb-δ-β1xc)代表梁壓拱效應(yīng)的貢獻，將其表示成Mc。

在已有的文獻[19]中，通常需要新建立一個峰值點來考慮壓拱機制，即建立四折線模型。但該方法顯然會導(dǎo)致理論公式變得更為復(fù)雜。為此，本文基于能量等效原則(即保證四折線模型和三折線模型所求得的最大荷載因子相等)對LF1進行近似修正。由式(5)～式(7)可知，LF1由梁抗彎貢獻的LF1-BM和板抗彎貢獻的LF1-SM組成，因此修正后的可表示成κLF1-BM加上LF1-SM。四折線模型中壓拱機制峰值對應(yīng)的荷載因子LF2=LF1+LF1-BC，其中梁壓拱效應(yīng)所貢獻的LF1-BC可取0.3LF1-BM。從而根據(jù)兩種模型能量相等的關(guān)系可推導(dǎo)出與Mc相關(guān)的修正因子表達式：

修正后結(jié)構(gòu)在屈服點對應(yīng)的荷載因子則可表示成：

式中，κ可取經(jīng)驗值1.15。修正后的三折線模型如圖1 中的模型3 所示。對應(yīng)的屈服點位移u1、過渡段位移u2以及失效位移u3計算公式[17-18]如下：

式中，L為失效工況下結(jié)構(gòu)的等效最短梁跨長：

1.4 理論分析模型計算步驟

綜上，結(jié)構(gòu)在不同工況下的抗連續(xù)倒塌承載力計算步驟為：1)由式(16)和式(13)計算出屈服點荷載因子和KL；2)由式(17)和式(18)得到關(guān)鍵位移點u1、u2和u3；3)結(jié)合、KL、u1、u2和u3構(gòu)建出修正三折線模型；4)基于Izzuddin 等[23]提出的能量平衡方法，將修正三折線模型轉(zhuǎn)換成動荷載因子曲線，由式(19)求出結(jié)構(gòu)最大動荷載因子。

若要保守地忽略梁的壓拱效應(yīng)時，可將式(16)中的κ取0，修正三折線模型(模型3)便轉(zhuǎn)換成三折線模型(模型2)。當(dāng)結(jié)構(gòu)缺少軸向和轉(zhuǎn)動約束導(dǎo)致無法發(fā)揮拉伸薄膜與懸鏈線效應(yīng)時，KL取0，三折線模型則退化成雙折線模型(模型1)。

2 有限元模型

有限元法是結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌研究較為主流的數(shù)值方法。已有研究中RC 框架的倒塌模擬主要采用實體單元[12,27-28]和梁、殼單元[10-11,29-31]模型。實體單元雖然能全面地描述結(jié)構(gòu)在倒塌下的破壞細節(jié)，但計算效率遠不及梁、殼單元。為此，本文基于LS-DYNA 采用已被廣泛接受的纖維梁和分層殼單元進行整體結(jié)構(gòu)的倒塌分析。

2.1 不等跨RC 框架結(jié)構(gòu)有限元模型

本節(jié)所建立的不等跨RC 框架結(jié)構(gòu)是由一棟實際建筑簡化而來，共7 層，層高均為3.6 m。x軸方向有6 跨，其中，第4 跨和第5 跨長分別為5 m和9.4 m，其余跨長7.2 m；y軸方向有3 跨，分別為7.4 m、2.6 m、7.4 m，如圖6 所示。梁截面為700 mm×300 mm，配筋為上、下各4 根直徑25 mm鋼筋；柱梁截面為700 mm×820 mm，配筋為14 根直徑25 mm 鋼筋；板厚110 mm，板底和板頂均采用直徑12 mm 間距200 mm 雙向布筋。鋼筋材料等級為HRB335，屈服強度和極限強度分別取值355 MPa 和455 MPa；混凝土材料等級為C35，抗壓強度取值32.1 MPa。根據(jù)中國荷載規(guī)范[32]，結(jié)構(gòu)荷載除自重外，恒載DL和活載LL分別取2.5 kN/m2和2 kN/m2，梁上施加4 kN/m 的恒載考慮墻的重量。

圖6 不等跨RC 框架幾何特性 /mFig. 6 Detailing of RC frame with unequal spans

在數(shù)值模型中，梁和柱采用Hughes-Liu 梁單元模擬，板采用全積分殼單元模擬，纖維梁和分層殼分別通過關(guān)鍵字*INTEGRATION_BEAM 和SHELL 實現(xiàn)，具體的纖維和層數(shù)劃分如圖7 所示。分層殼與纖維梁采用共節(jié)點連接，通過設(shè)置纖維梁的偏移以考慮梁板截面中心實際相對位置。梁柱的材料特性采用*MAT_PLASTICITY_COMPRESSION_TENSION 本構(gòu)模型模擬，而板則選用能更好地表征雙向鋼筋單獨受力的*MAT_CONCRETE_EC2 本構(gòu)模型。結(jié)構(gòu)的非線性動力倒塌分析分兩步：1)在柱子移除前先通過關(guān)鍵字*LOAD_BODY_Z 施加荷載；2)利用關(guān)鍵字*MAT_ADD_EROSION 設(shè)置待移除柱的材料失效時間瞬間刪除待移除柱。

圖7 單元類型 /mmFig. 7 Details of elements

2.2 不等跨RC 框架結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌分析

根據(jù)邊界條件和梁跨度的差異，每層選取12 種分析工況(A1～A6 和B1～B6)進行分析。為考慮樓層對結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌性能的影響，本文分別對1 層柱和7 層柱失效進行了探究。荷載組合采用中國倒塌規(guī)范規(guī)定[3]的1.0DL+0.5LL。結(jié)構(gòu)發(fā)生連續(xù)倒塌的判斷標(biāo)準(zhǔn)定義為結(jié)構(gòu)最大豎向位移超過短梁跨長L的15%。

2.2.1 不同工況下的結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌性能

對結(jié)構(gòu)進行增量動力分析(IDA)可得到不同荷載因子(LF)下的位移時程曲線，如圖8 所示。鑒于篇幅所限，只展示了A1_1、A1_7、A4_1、A4_7、B2_1 和B2_7 失效下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，其中Aa_b代表位于b層平面位置在Aa處的柱子。由圖可知，在設(shè)計荷載(LF=1)下，無論哪種單柱失效工況均沒有發(fā)生倒塌現(xiàn)象。A1_1、A1_7、A4_1、A4_7、B2_1 和B2_7 工況對應(yīng)的破壞荷載分別為LF=1.9、2.0、2.5、2.8、3.5 和3.6，表明結(jié)構(gòu)在單柱失效工況下的抗倒塌性能較好。需要得注意的是，部分工況(例如B2_7 工況)在破壞荷載下并沒有發(fā)生真實的連續(xù)倒塌破壞，但其最大豎向位移已超過規(guī)定限制，即瀕臨倒塌的狀態(tài)，因此保守地認為在該荷載下結(jié)構(gòu)已發(fā)生破壞。結(jié)構(gòu)能承受的極限荷載(LF=3.52)則采用通過采用破壞荷載(LF=3.5)和上一級荷載(LF=3.6)關(guān)于位移的線性插值確定。

圖8 不同失效工況下的結(jié)構(gòu)豎向位移時程響應(yīng)Fig. 8 Time history of vertical displacement of different column loss

圖9 展示了1 層柱各個工況下結(jié)構(gòu)的LF曲線。由圖可知，結(jié)構(gòu)最薄弱的工況是A6_1 工況(LFmax=1.46)，而不是角柱A1_1 工況(LFmax=1.81)。這表明并非所有結(jié)構(gòu)都是角柱工況最為薄弱，還與所考慮工況的梁跨度等因素相關(guān)。對比A3_1和A5_1 工況可以發(fā)現(xiàn)，兩者的邊界條件(均為邊中柱工況)和梁總跨度(14.4 m)相同，相鄰跨度比為1∶1.9 的A5_1 工況LFmax比跨度比為1∶1 的A3_1 工況大了7.7%。但A4_1 工況的跨度比(1∶1.4)雖然比A5_1 小，LFmax卻比A5_1 大了25.1%。這主要是因為A4_1 工況總跨度(12.2 m)比A5_1小，總跨度的減小直接引起了抗彎和壓拱機制的加強。這也反映了梁總跨度的影響會比梁跨度比大。A2_1 和A3_1 工況的對比，則體現(xiàn)了邊界條件對結(jié)構(gòu)承載力的影響。A2_1 工況由于一邊沒有約束，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的承載力與剛度均比A3_1 工況小。

圖9 不同失效工況下的結(jié)構(gòu)荷載因子曲線Fig. 9 Load factor from different scenarios

在內(nèi)柱工況B2_1～B6_1 中，B2_1 和B3_1 是y向不等跨，B4_1～B6_1 則是x向和y向均為不等跨。由圖9(b)可知，所有工況中結(jié)構(gòu)承載力最大的為B4_1 工況(LFmax=4.2)，這主要是其沿x向的梁總跨度最小，這與邊柱工況中的A4_1 工況一致。而梁總跨度和邊界條件對其他內(nèi)柱工況下結(jié)構(gòu)抗倒塌性能的影響規(guī)律則與邊柱工況類似。

2.2.2 不同樓層失效的結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌性能

結(jié)構(gòu)柱子失效不僅僅只發(fā)生于底層，如Ronan Point 建筑倒塌事件，該事件的承重構(gòu)件失效便是發(fā)生于18 層。為此，本節(jié)分別對比了B4、B6、A1、B1、A4 和A6 柱在1 層和7 層失效的結(jié)構(gòu)LF曲線，如圖10 所示。6 種工況在1 層和7 層失效結(jié)構(gòu)的初始剛度和承載力都比較接近，說明柱子失效層數(shù)對結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)倒塌性能影響較小，這也表明了本文在第一節(jié)所提的第一個假定是合理的。

圖10 1 層和7 層柱失效下的荷載因子對比Fig. 10 Comprisions of load factor of 1st and 7th story column loss

邊柱B1、A4 和A6 工況則是沿x均存在不等跨，且不等跨比不同。在7 層柱失效時，三種工況結(jié)構(gòu)的最大響應(yīng)都發(fā)生在靠近跨中位置，如圖11(c)所示。但在1 層柱失效下，結(jié)構(gòu)的最大變形則相對靠近失效柱?？紤]到結(jié)構(gòu)在1 層和7 層柱失效下的承載力比較接近，因此，作者認為本文在第一節(jié)所提的第二個假定也是成立的。

圖11 不同工況下的結(jié)構(gòu)豎向位移云圖Fig. 11 Vertical displacement contours of structure under different scenarios

3 理論分析模型檢驗

本文所提出的理論分析模型采用可靠的數(shù)值模型進行檢驗，分別對結(jié)構(gòu)最大動荷載因子和荷載因子曲線進行比較。引入相對誤差的定義：

式中：LFN-i和LFA-i分別為結(jié)構(gòu)抗倒塌最大動荷載因子的數(shù)值和理論結(jié)果；i為柱子失效工況。

表1 展示了不同理論模型與數(shù)值模型的結(jié)果對比。由表可知，模型1 相對誤差最小和最大的分別為23.9%(A2 工況)和44.6%(B5 工況)，顯然該模型預(yù)測值太過保守。而且內(nèi)柱B2-B6 工況的誤差率均超過了40%，遠大于其他工況，這也表明了若僅考慮結(jié)構(gòu)抗彎承載力將對內(nèi)柱工況的真實承載力造成嚴重的低估。模型2 在考慮了板拉膜和梁懸梁線效應(yīng)后，內(nèi)柱工況的相對誤差均降到了20%以內(nèi)。但該模型的整體誤差率還是相對較大，其中B1 工況相對誤差也達到了24.7%。而在模型2 基礎(chǔ)上考慮了壓拱效應(yīng)的模型3，除了A1 和B1 工況相對誤差達到18%，其余工況都在13%以內(nèi)，預(yù)測精度最高。因此，本文建議采用模型3 進行不等跨框架結(jié)構(gòu)的最大動荷載因子計算。

表1 結(jié)構(gòu)最大荷載因子的理論與數(shù)值結(jié)果對比Table 1 Comparisons of analytical and numerical maximum load factor

此外，圖12 展示了采用模型3 所計算的理論結(jié)構(gòu)荷載因子曲線與數(shù)值結(jié)果對比。由圖可知，12 種工況結(jié)構(gòu)荷載因子曲線整體趨勢都符合較好，理論值略微保守，主要是因為在理論模型中保守地忽略了板壓膜效應(yīng)的貢獻，從工程應(yīng)用角度是可接受的。

4 魯棒性評判指標(biāo)

快速判斷出最薄弱工況對結(jié)構(gòu)的倒塌預(yù)防十分關(guān)鍵，但考慮到實際結(jié)構(gòu)中可能存在大量的失效工況，若對每種工況均進行計算，效率十分低下。為此，本節(jié)將基于結(jié)構(gòu)的最大動承載力提出一個魯棒性評判指標(biāo)，用于快速確定出結(jié)構(gòu)的最危險工況。

4.1 指標(biāo)提出

以IC 柱工況為例，由式(19)可知，結(jié)構(gòu)的最大動荷載因子為：

支架搭設(shè)方案為系梁支架采用滿堂插扣式支架，支架布置根據(jù)系梁截面位置受力情況的不同分區(qū)域進行設(shè)計。我橋采用鋼管支架滿布式搭設(shè)，左右幅系梁分別搭設(shè)，寬度與系梁每側(cè)加寬1m，縱向間距0.4m，橫向間距0.6m。中橫梁處搭設(shè)寬度每側(cè)加寬1m，縱向間距0.8m，橫向間距0.9m。為保證穩(wěn)定性，立桿沿豎向每1.35m布設(shè)橫向拉桿。

式中，LF0代表雙向跨度均為L0的平板結(jié)構(gòu)在IC 工況下的抗彎承載力。同理可以得到各個工況下最大動荷載因子：

鑒于u1遠小于2 倍的u3，故1-u1/(2u3)可近似等于1。將(u3-u1)2/(2u3)表示成U，根據(jù)式(17)，得到U在CC 工況下的值為0.02L，在SC 和PEC 工況下的值為0.03L，在IC、PSC 和PIC 工況下的值為0.05L。再利用LF0對各個工況下的最大荷載因子進行標(biāo)準(zhǔn)化，從而可將魯棒性快速評判指標(biāo)定義成：

考慮到A和B的表達式還太過繁瑣，不便于工程應(yīng)用。進一步將部分參數(shù)的建議值(κ=1.15，hs1=0.15 m，λ=hb1/hs1=4，γR=15)代入，得到A和B的簡潔表達式，如表2 所示。

表2 結(jié)構(gòu)魯棒性評判指標(biāo)的參數(shù)表達式Table 2 Expression of parameters for structural robustness evaluation index

4.2 指標(biāo)驗證

圖13 展示了不同工況下結(jié)構(gòu)魯棒性快速評判指標(biāo)Π 與LF的散點圖。由圖可知，Π 與LF呈現(xiàn)出非常明顯的線性關(guān)系，這表明本文所提出的指標(biāo)Π 可以用于對結(jié)構(gòu)在不同工況下的魯棒性進行排序，進而快速判斷出結(jié)構(gòu)潛在的危險工況。例如，在7 層柱失效時，Π 最小值為0.55，對應(yīng)的是最危險的A6 工況(LF=1.53)。Π 相對較小的0.6和0.67 則對應(yīng)了潛在的危險工況A1 和A2。

圖13 結(jié)構(gòu)魯棒性快速評判指標(biāo)驗證Fig. 13 Load factor against the robustness index Π

4.3 敏感性分析

考慮到4.1 節(jié)為了簡化公式，直接給定了參數(shù)γR、hs1和λ 的建議值，本節(jié)進一步探究這三個參數(shù)對指標(biāo)Π 的敏感性。假設(shè)參數(shù)γR、hs1和λ 的取值范圍分別為[10,25]、[0.12,0.18]和[3,5]，通過式(24)和表2 可計算出每個參數(shù)變化后結(jié)構(gòu)的指標(biāo)Π。其中，當(dāng)γR變化時，hs1和λ 固定不變；hs1變化時，γR和λ 固定不變；而λ 變化時，hs1固定不變，γR則隨之改變。采用Pearson 相關(guān)系數(shù)ρ 判斷參數(shù)對指標(biāo)Π 的敏感性。

表3 展示了γR、hs1和λ 在取上界和下界時相關(guān)系數(shù)ρ 的大小。由表可知，在建議取值下結(jié)構(gòu)LF與指標(biāo)Π 的相關(guān)系數(shù)高達0.99，而其他取值下相關(guān)系數(shù)ρ 也都大于0.97，展現(xiàn)出了極好的線性關(guān)系。這也表明了本文所提出的指標(biāo)Π 十分可靠，可用于快速評判結(jié)構(gòu)在不同失效工況下的魯棒性。

表3 參數(shù) γ R、hs1 和 λ的敏感性分析Table 3 Sensitivity analysis against γ R, hs1 andλ

5 結(jié)論

本文基于結(jié)構(gòu)的荷載傳遞機制推導(dǎo)了不等跨RC 框架抗連續(xù)倒塌的承載力理論分析模型，完成了數(shù)值模擬與理論模型的對比，并基于結(jié)構(gòu)最大動荷載因子提出了一個魯棒性評判指標(biāo)。得到主要結(jié)論如下：

(1)通過對不等跨RC 框架的數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)，在遭遇柱子失效時，結(jié)構(gòu)的最大變形發(fā)生于接近跨中位置。失效跨內(nèi)的梁總跨度比梁跨度比對結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌性能的影響更大。

(2)本文建議的理論模型能準(zhǔn)確預(yù)測出不等跨RC 框架的動荷載因子曲線，能夠為不等跨RC 框架抗連續(xù)倒塌設(shè)計提供參考。

(3)基于最大動承載力提出的魯棒性評判指標(biāo)能夠用于對結(jié)構(gòu)在不同工況下的魯棒性進行排序，并快速判斷出結(jié)構(gòu)潛在的危險工況。

附表 符號表Appendix Table List of symbols