天然橡膠支座大變形壓剪性能的雙非線性超彈性理論和實(shí)驗(yàn)研究

楊 靜，潘 文，蘇何先，何穎成，管慶松，張巖巖

(1. 昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，云南，昆明 650500；2. 云南省抗震工程技術(shù)研究中心，云南，昆明 650500；3. 震安科技股份有限公司，云南，昆明 650000；4. 云南省設(shè)計(jì)院第五建筑設(shè)計(jì)有限公司，云南，昆明 650000)

國(guó)內(nèi)外多次地震證實(shí)，隔震結(jié)構(gòu)的減震效果非常明顯。同時(shí)，考慮到未來(lái)需要對(duì)隔震建筑按更具體、更高的抗震設(shè)防目標(biāo)進(jìn)行性能化設(shè)計(jì)，隔震橡膠支座作為隔震結(jié)構(gòu)的主要受力構(gòu)件，有必要對(duì)其進(jìn)行精細(xì)化分析研究。

隔震支座是由薄鋼板和橡膠交替粘結(jié)在一起的復(fù)合構(gòu)件，它作為結(jié)構(gòu)的局部構(gòu)件，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到外部激勵(lì)(靜力荷載、外部動(dòng)力或地面加速度)時(shí)，構(gòu)件的反應(yīng)量有位移、速度、加速度，對(duì)于地震激勵(lì)，這些量的絕對(duì)值和相對(duì)值可能都是需要的；但與結(jié)構(gòu)變形有關(guān)的相對(duì)位移最重要，只要支座每個(gè)受力狀態(tài)的位移確定，其內(nèi)力及應(yīng)力就可由每一瞬時(shí)的靜力分析確定[1]。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于靜力狀態(tài)對(duì)隔震橡膠支座進(jìn)行了大量研究。

Haringx[2]是關(guān)于疊層橡膠支座性能的經(jīng)典理論。該理論考慮了承受壓縮載荷和水平變形構(gòu)件的水平剛度和屈曲載荷。但是，由于Haringx 理論是在假設(shè)材料線彈性的情況下推導(dǎo)的，因此無(wú)法將其直接用于評(píng)估變形較大的疊層橡膠的非線性行為。而后，Kelly[3]同樣基于材料線彈性假定，建立了數(shù)學(xué)物理模型并推導(dǎo)了隔震橡膠支座的水平剛度理論計(jì)算公式，并分析了支座的屈曲穩(wěn)定。Chang 等[4]和Ding[5]分別采用解析剛度矩陣法和傳遞矩陣法，建立了離散的疊層橡膠支座的線性力學(xué)模型，該模型基于Haringx 理論，對(duì)具有不同幾何參數(shù)和材料性能的支座進(jìn)行逐層分析，計(jì)算內(nèi)力和位移。但是，在考慮彎矩剛度及材料屬性時(shí)，仍假設(shè)橡膠物理屬性為線性 (E=3G)[6-7]，未能反映大變形材料特性的非線性行為。Takaoka[8]建立了一種基于Haringx 理論的疊層橡膠支座非線性力學(xué)模型，但該模型預(yù)測(cè)疊層橡膠支座的大變形行為精度需取決于橡膠層的抗彎剛度和抗剪剛度非線性參數(shù)的合理設(shè)置。

在此背景下，本文基于Haringx 理論提出了一種天然疊層橡膠支座大變形壓剪狀態(tài)的雙非線性方法。它的特征是可以通過(guò)將材料非線性引入到支座等效勻質(zhì)體的等效彈性模量Ec和彎曲剛度EcIs中，用EcA、EcIs表示支座變形的內(nèi)力，建立微分平衡方程來(lái)表達(dá)大變形區(qū)域中的雙非線性行為。同時(shí)，結(jié)合實(shí)際工程中生產(chǎn)的足尺隔震支座的壓剪實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性。此外，隔震支座中橡膠屬于高分子聚合物，生產(chǎn)硫化過(guò)程中，已與硫化劑發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，具備了較高的彈性、耐熱性、延展性等[6-7]，可以認(rèn)為隔震支座橡膠屬于理想超彈性材料，即不考慮變形對(duì)時(shí)間、溫度的依賴性。

目前，非線性固體力學(xué)的發(fā)展已經(jīng)與材料微觀結(jié)構(gòu)的發(fā)展緊密結(jié)合[9]。本文研究對(duì)象為隔震橡膠支座，其中，橡膠在微觀結(jié)構(gòu)中存在明確的超彈性本構(gòu)方程[10]。另外，一般物體在外力作用下會(huì)發(fā)生形狀和尺寸的改變，剪切模量G和體積模量K正是與這兩種不同類(lèi)型的變形對(duì)應(yīng)的兩個(gè)基本模量[11]，其中，G反映物體形狀的改變，K反映尺寸的變化。對(duì)于大多數(shù)材料，這兩個(gè)模量屬于同一量級(jí)，但是，對(duì)于特殊材料，如疊層隔震支座中的橡膠，其K值的量級(jí)則遠(yuǎn)大于G，因此其壓縮變形將非常明顯地依賴于任何可能阻止形狀變化的邊界條件[11-12]。綜合考慮，有必要先從隔震疊層橡膠支座中隔離出單層橡膠進(jìn)行受力分析。

1 單層橡膠單軸等效彈性模量和純彎剛度的推導(dǎo)

橡膠屬于各向同性材料[10]，因此，以下每個(gè)變形狀態(tài)，橡膠內(nèi)部各點(diǎn)的剪切模量G均相同[9]。

1.1 推導(dǎo)單軸等效彈性模量

1.1.1 假設(shè)純壓運(yùn)動(dòng)量，引入位移函數(shù)

在實(shí)際工程中，因隔震層平面內(nèi)剛度及支座豎向剛度都很大，豎向壓力作用下，豎向變形較均勻；且單層橡膠水平向受到上、下鋼板較大的約束。根據(jù)以上特點(diǎn)，作如下2 條假設(shè)：

1) 橡膠各點(diǎn)變形過(guò)程中，水平面保持不變；

2) 變形前的垂直線受豎向力后，各點(diǎn)變形后為拋物線，其中垂直線兩端與鋼板接觸各點(diǎn)無(wú)變形。物理坐標(biāo)系如圖1 所示。

圖1 單層橡膠純壓變形圖Fig. 1 Single-layer rubber pure pressure deformation diagram

設(shè)未發(fā)生變形前，橡膠各點(diǎn)三維坐標(biāo)為μ0(x,y),υ0(x,y),ω(z)。變形后，位移函數(shù)為：

1.1.2 推導(dǎo)等效彈性模量

根據(jù)橡膠支座變形過(guò)程中體積保持不變[7,13]，略去線應(yīng)變更高階的微量，其體應(yīng)變?yōu)椋?/p>

代入位移函數(shù)得：

在厚度t范圍內(nèi)，對(duì)變量z積分：

取單層橡膠任一點(diǎn)為微元體，其三維受力如圖2 所示。

圖2 微元體受力圖Fig. 2 Micro-body force diagram

由幾何方程計(jì)算切應(yīng)變：

圓形橡膠支座的變形僅沿極坐標(biāo)徑向方向：

根據(jù)廣義胡克定律：

代入x、y方向平衡微分方程：

不考慮支座體力，得：

上兩式各對(duì)x、y求導(dǎo)，代入式(1)，得：

對(duì)于不可壓縮彈性固體，有內(nèi)部約束方程[10]：

式中： σ為應(yīng)力張量；S為法向偏張量；p為受力方向主應(yīng)力。支座受力狀態(tài)處于非扭曲狀態(tài)，Sx=0,Sy=0，有：

式(3)為應(yīng)力 σz的調(diào)和函數(shù)[14]，即拉普拉斯算子，它的重要特點(diǎn)是，滿足此算子的變量，即使固體受力狀態(tài)屬于大變形，當(dāng)與其他符合調(diào)和函數(shù)的變量相加減時(shí)，仍符合線性疊加原理。

在極坐標(biāo)下，拉普拉斯算子存在簡(jiǎn)單變換式[14]，且存在邊界條件r=R時(shí) ， σz=0，則：

對(duì)式(4)兩邊在半徑R范圍內(nèi)積分，得：

1.2 單層橡膠純彎等效彎曲剛度的推導(dǎo)

由1.1 節(jié)結(jié)論所得Ec，就可進(jìn)一步推導(dǎo)壓剪支座與Ec相關(guān)的等效彎曲剛度。

1.2.1 假設(shè)純彎運(yùn)動(dòng)量，修正位移函數(shù)

單層橡膠層受彎矩作用時(shí)，作如下假設(shè)：

1) 因鋼板彎曲剛度很大，假設(shè)鋼板保持平面轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)相鄰鋼板之間的轉(zhuǎn)角為 α；

上式對(duì)x求導(dǎo)，得：

不考慮y方向扭轉(zhuǎn)，則有：

由邊界條件z=0 時(shí) ，ω=0, ?ω/?z=0，得：

設(shè)未發(fā)生變形前，橡膠各點(diǎn)三維坐標(biāo)為μ0(x,y), υ0(x,y),ω(z)；變形后，變形如圖3，且位移函數(shù)為：

圖3 單層橡膠純彎變形圖Fig. 3 Single-layer rubber pure bending deformation diagram

1.2.2 推導(dǎo)純彎等效彎曲剛度

單層橡膠純彎調(diào)和函數(shù)的推導(dǎo)同1.1.2 節(jié)純軸壓，則有：

因彎曲關(guān)于y軸對(duì)稱，并由邊界條件，得豎向應(yīng)力解析式：

在極坐標(biāo)下，應(yīng)力對(duì)yz面求矩，并在整個(gè)截面上積分，求總截面彎矩：

因截面轉(zhuǎn)動(dòng) α較小，引入鋼板轉(zhuǎn)動(dòng)曲率半徑ρ，且截面直徑 2R≥t，則有： α ρ=t,1/ρ=α/t。

由1.1 節(jié)推導(dǎo)結(jié)論Ec，有：

2 壓剪隔震橡膠支座數(shù)學(xué)模型方程的建立與通用解答

2.1 假設(shè)運(yùn)動(dòng)量，建立數(shù)學(xué)物理方程，并求通解

非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究物質(zhì)宏觀層次的運(yùn)動(dòng)、變形與破壞，與微觀層次相比它是一個(gè)更加復(fù)雜的系統(tǒng)，它受制于微觀結(jié)構(gòu)，又有自己獨(dú)特的規(guī)律，描述宏觀物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程一般是偏微分方程[9]。橡膠屬于易變形的固體，由其與鋼板交替粘結(jié)在一起的橡膠隔震支座，在豎向和水平荷載共同作用下會(huì)發(fā)生較大的水平位移和微小的彎曲變形，其運(yùn)動(dòng)形式簡(jiǎn)單明確，可以通過(guò)建立偏微分方程反映隔震橡膠支座宏觀的運(yùn)動(dòng)、變形。

根據(jù)第1 節(jié)從橡膠微觀結(jié)構(gòu)推導(dǎo)的Ec與EcIs，可以假設(shè)疊層橡膠支座為符合Ec與EcIs的等效均質(zhì)體；同時(shí)，考慮到支座中剪切變形基本上由橡膠產(chǎn)生，均質(zhì)體的幾何參數(shù)(As、Is)需考慮h/hr的放大系數(shù)[3](h為支座總高度、hr橡膠層總高度)。

在壓剪作用下，疊層橡膠支座產(chǎn)生較大的水平剪切變形，故假設(shè)支座水平位移μ為第一個(gè)運(yùn)動(dòng)未知量。支座軸線還會(huì)產(chǎn)生彎曲變形，但因支座彎曲剛度較大，則橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)變化也較小，可認(rèn)為橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)后仍保持平面，但與變形后軸線不垂直，這是橡膠支座大變形的重要特征。為表示支座的彎曲變形程度，引入橫截面的轉(zhuǎn)角 β為第二個(gè)運(yùn)動(dòng)未知量。在幾何空間笛卡爾坐標(biāo)系中(圖4)，設(shè)坐標(biāo)橫軸為u，沿支座高度方向?yàn)樽鴺?biāo)縱軸x。

根據(jù)彈性力學(xué)微元體幾何方程的推導(dǎo)原理，把橡膠支座作為有限大固體[14]，如圖5 所示，則最初相互垂直的線段OA與OB，運(yùn)動(dòng)到新平衡位置O′A′與O′B′時(shí)，二者之間角度的改變量θ，就是切應(yīng)變?；谝陨显?，將圖4 中均質(zhì)體的下部分離體出來(lái)，則在剖面處，新橫截面上剪力為V=GAs(μ˙-β) ； 同時(shí)，轉(zhuǎn)角的導(dǎo)數(shù) β˙(即為軸線上該點(diǎn)的曲率)，則新橫截面上彎矩為M=EcIsβ˙。由新截面上力的平衡及對(duì)中心點(diǎn)取矩，得平衡微分方程：

圖4 均質(zhì)體支座數(shù)學(xué)物理簡(jiǎn)圖Fig. 4 Mathematics and physics diagram of homogeneous body support

圖5 有限大支座幾何位移關(guān)系Fig. 5 Geometric displacement relations of finite bearings

因轉(zhuǎn)角很小，則 cosβ →1, sinβ →β，以上超越方程可簡(jiǎn)化為：

將M、V代入式(8)、式(9)得二元一階偏微分方程組：

求解關(guān)于μ、β的二元一階偏微分平衡方程。

隔震橡膠支座未知運(yùn)動(dòng)量μ、β的通用解答為：

2.2 隔震橡膠支座運(yùn)動(dòng)量和內(nèi)力的解析解

當(dāng)支座上、下兩端不限制轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，式(12)、式(13)有未知常數(shù)A、B，其通解不能直接應(yīng)用到隔震橡膠支座中。但因在實(shí)際工程中，橡膠隔震支座上、下截面分別與剛度較大的隔震層和下支墩相連接，相比之下，橡膠支座部分的剪切剛度較小，因此，支座數(shù)學(xué)物理模型簡(jiǎn)化時(shí)，可假定支座上、下截面為固定端。基于此假定，橡膠支座頂部在水平剪力與軸力共同作用下，則其運(yùn)動(dòng)量方程式(12)、式(13)的邊界條件為：

代入邊界條件，可求得方程中的未知常數(shù)：

由此可知，在壓剪共同作用下，橡膠隔震支座任一橫截面水平位移μ與 轉(zhuǎn)角 β有唯一解答(軸壓P產(chǎn) 生的P-Δ效應(yīng)，不需要反復(fù)迭代，即可求精確解)。且支座頂部的初始彎矩M0不獨(dú)立，它是關(guān)于P、FH的函數(shù)，從另一角度，在物理意義上，以上結(jié)論可解釋壓剪支座滿足變形協(xié)調(diào)方程。

最后，將所求運(yùn)動(dòng)量μ、β代入式(8)、式(9)，即得每個(gè)橫截面處對(duì)應(yīng)內(nèi)力M、V：

3 隔震橡膠支座的理論解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

3.1 實(shí)驗(yàn)隔震橡膠支座

本壓剪實(shí)驗(yàn)選取實(shí)際隔震工程中的天然橡膠支座，其尺寸見(jiàn)表1。表2 則通過(guò)假設(shè)在等截面條件下，支座等效均質(zhì)體與其他常用材料(混凝土與鋼材)的材料屬性對(duì)比?？芍刃Ь|(zhì)支座的剪切剛度遠(yuǎn)小于鋼材與混凝土，而彎曲剛度接近等截面混凝土。從另一個(gè)方面驗(yàn)證了第2 節(jié)中假定支座的剪切剛度很小、彎曲剛度很大是合理的。

表1 橡膠支座尺寸Table 1 Size of rubber bearing

表2 等截面不同材料屬性對(duì)比Table 2 Comparison of different material properties of equal section

3.2 隔震橡膠支座壓剪實(shí)驗(yàn)與其 G的合理選取

本次實(shí)驗(yàn)加載設(shè)備為電液伺服壓剪試驗(yàn)機(jī)(圖6)，其最大軸向壓力15 000 kN，水平最大動(dòng)荷載1500 kN，豎向軸力按設(shè)計(jì)壓應(yīng)力12 MPa 保持不變，緩慢施加水平荷載，最大剪應(yīng)變400%(相當(dāng)于最大水平位移377 mm)[15-16]。為消除橡膠粘性、蠕變及松弛等[17-18]其他性質(zhì)的影響，取支座的第一個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的1/4 曲線。其中加載曲線局部不光滑的原因，由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備受到了摩擦的影響[16]。

圖6 動(dòng)態(tài)壓剪試驗(yàn)機(jī)Fig. 6 Dynamic compression shear testing machine

在非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，當(dāng)固體受到較大的變形時(shí)，變形和未變形構(gòu)型的位置關(guān)系用變形梯度張量表示，而材料屬性與空間矢量關(guān)系通過(guò)柯西變形張量描述[10]。與初始狀態(tài)相比，支座在不同剪應(yīng)變時(shí)，位置與材料屬性都發(fā)生較大改變。而由疊層橡膠支座實(shí)驗(yàn)所得水平力與豎向、水平位移推導(dǎo)的G，綜合反映了支座在外力作用下，支座每個(gè)狀態(tài)幾何位置與材料屬性的雙非線性的改變。與1 節(jié)平衡微分方程中G反映了支座整體每個(gè)壓剪狀態(tài)的宏觀G相一致。

3.3 隔震橡膠支座 FH-γ 與 G-γ理論、實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比分析

依據(jù)圖7 所示框圖，可由實(shí)驗(yàn)曲線上每個(gè)壓剪狀態(tài) γ 對(duì)應(yīng)的G，迭代計(jì)算出該狀態(tài)橡膠支座的理論G與 γ值，同理，得出所有狀態(tài)的外力與變形FH-γ 理論曲線(圖8、圖9)。對(duì)比可知，F(xiàn)H-γ的實(shí)驗(yàn)與理論曲線幾乎100%重合，說(shuō)明考慮橡膠為非線性超彈材料時(shí)，壓剪隔震橡膠支座的理論解為精確解答。

圖7 剪切模量G 與剪應(yīng)變 γ計(jì)算程序框圖Fig. 7 Block diagram for calculation program of shear modulus G and shear strainγ

圖8 隔震橡膠支座壓剪 G-γ實(shí)驗(yàn)、理論曲線(P=12 MPa)Fig. 8 Compression-shear G -γ experiment and theoretical curve of vibration isolation rubber bearing (P=12 MPa)

圖9 隔震橡膠支座 FH-γ理論、實(shí)驗(yàn)曲線(P=12 MPa)Fig. 9 Compression-shear FH-γ experiment and theoretical curve of vibration isolation rubber bearing (P=12 MPa)

綜上所述，考慮到橡膠支座的整體剪壓變形和材料屬性的共同影響，《建筑隔震橡膠支座》GB/T 20688.3-2006[15]在確定橡膠支座多遇地震( γ=100% ) 、罕遇地震( γ=250% ) 的 γ 對(duì)應(yīng)G時(shí)，采用足尺橡膠支座進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是合理的。

4 隔震橡膠支座內(nèi)力分布規(guī)律和剪應(yīng)變、壓力相關(guān)性分析

4.1 橡膠支座各內(nèi)力與運(yùn)動(dòng)量分布圖

基于前面系統(tǒng)的闡述推導(dǎo)，可對(duì)隔震支座某一個(gè)壓剪狀態(tài)進(jìn)行受力分析，如隔震支座在最大水平推力FH=700 kN、P=12 MPa 作用下，可迭代計(jì)算出該狀態(tài) γ=400%、G=0.89 MPa，進(jìn)而可得各截面運(yùn)動(dòng)量及內(nèi)力值(圖10)。由圖可知，橡膠支座最大水平位移出現(xiàn)在頂端，最大彎矩在支座兩端，最大剪力與轉(zhuǎn)角在支座中部。橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)角度均小于 1 ( 1=0.017 rad)，此處驗(yàn)證了第2 節(jié)中假定勻質(zhì)體的轉(zhuǎn)動(dòng)角度 β較小是符合實(shí)際情況的。這些結(jié)論對(duì)于判斷支座產(chǎn)生破環(huán)的具體位置有一定的參考價(jià)值[19]。

圖10 沿截面高度內(nèi)力 M、V 及運(yùn)動(dòng)量 μ 、β的分布圖Fig. 10 Distribution diagram of internal force M、V and movement amount μ 、β along the section height

4.2 橡膠支座剪應(yīng)變相關(guān)性分析

4.1 節(jié)中確定了橡膠支座最大內(nèi)力所在的危險(xiǎn)截面，將結(jié)論代入式(4)、式(6)及式(7)，可進(jìn)一步確定此截面內(nèi)各點(diǎn)的豎向應(yīng)力。不同剪應(yīng)變下，支座頂部沿水平推力軸線豎向應(yīng)力分布圖11(P=12 MPa)。由圖可知，隨剪應(yīng)變的增加，橡膠支座頂端截面壓應(yīng)力較大區(qū)域的豎向壓應(yīng)力逐漸增大，壓應(yīng)力小的區(qū)域壓應(yīng)力減小逐漸變?yōu)槔瓚?yīng)力，且拉應(yīng)力隨剪應(yīng)變?cè)黾?，絕對(duì)值也增加。但支座中心點(diǎn)的壓應(yīng)力為定值，大小為2P/A[20]。

圖11 軸壓不變、不同剪應(yīng)變時(shí)橡膠支座豎向應(yīng)力分布圖Fig. 11 The vertical stress distribution diagram of the rubber bearing when the axial pressure is constant and the shear strain is different

4.3 軸壓變化引起效應(yīng)P-Δ 與內(nèi)力變化規(guī)律

為反映軸力變化對(duì)橡膠支座頂部水平位移及內(nèi)力影響，仍選取4.1 節(jié)中支座的這一受力狀態(tài)(剪應(yīng)變400%、軸壓應(yīng)力P=12 MPa、G=0.89 MPa)。因剪應(yīng)變不變，且實(shí)驗(yàn)軸壓與設(shè)計(jì)壓應(yīng)力差別不大時(shí)，橡膠G受壓力的影響較小，則不同軸力下，可不考慮支座G的變化[15]。將外力及G代入式(12)～式(14)，可得支座內(nèi)力與位移理論解，且隨軸力的變化規(guī)律如圖12、表3 所示。

圖12 不同軸壓，支座頂端水平位移與內(nèi)力變化圖Fig. 12 The horizontal displacement of the top of the support and the internal force change diagram under different axial pressure

表3 不同軸力下，支座頂部截面內(nèi)力與水平位移理論值Table 3 The theoretical values of the internal force and horizontal displacement of the top section of the support,under different axial forces

由以上圖表可知，隨橡膠支座軸力增大，水平位移呈非線性增加，但增加比例不大，即P-Δ效應(yīng)不明顯，但是，支座端彎矩增加較大，因此橡膠內(nèi)應(yīng)力隨軸壓的變化不可忽視[21-24]。

4.4 壓應(yīng)力相關(guān)性分析

從圖13～圖15 可知，當(dāng)剪應(yīng)變?cè)酱髸r(shí)，軸壓改變引起豎向應(yīng)力的變化越明顯，即壓力相關(guān)性強(qiáng)；而當(dāng)剪應(yīng)變小時(shí)，軸壓變化引起豎向應(yīng)力的變化不明顯，即壓力相關(guān)性弱。

圖13 剪應(yīng)變100%、不同軸壓支座頂部豎向應(yīng)力變化圖Fig. 13 The vertical stress change diagram on the top of the support, with 100% shear strain and different axial compression

圖14 剪應(yīng)變400%、不同軸壓支座頂部豎向應(yīng)力變化圖Fig. 14 The vertical stress change diagram on the top of the support, with 400% shear strain and different axial compression

圖15 剪應(yīng)變100%、400%，不同軸壓下支座頂部豎應(yīng)力對(duì)比圖Fig. 15 Comparison of the vertical stress on the top of the support, when the shear strain is 100%, 400%,and different axial compressions

5 純剪隔震橡膠支座數(shù)學(xué)模型方程的建立與通用解答

當(dāng)豎向軸力P=0，支座僅受水平力FH作用時(shí)，由于原微分方程中沒(méi)有了運(yùn)動(dòng)量的一次項(xiàng)，微分方程需要重新求解。

將P=0 代入式(10)、式(11)，得：

求解方程并由邊界條件得未知運(yùn)動(dòng)量及截面內(nèi)力解答：

由式(18)可知，x=h時(shí)，支座頂部水平位移最大，即：

式(20)中第一項(xiàng)為彎曲引起的位移μE，對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫截面尺寸的構(gòu)件，其水平位移可以僅考慮第一項(xiàng)彎曲的影響，如工程中不考慮軸力影響的層間柱抗彎剛度；第二項(xiàng)為剪力貢獻(xiàn)的位移μG，對(duì)于高度與橫截面尺寸相近，而材料參數(shù)GAs?EcIs的構(gòu)件，第二項(xiàng)提供了較大位移，如此文中的隔震橡膠支座，在水平力FH=700 kN 作用下，各項(xiàng)結(jié)果見(jiàn)表4，且可知式(20)與式(10)、式(11)在P=0 極限解答(見(jiàn)表3)相同。

表4 純剪切內(nèi)力與位移理論值Table 4 Theoretical values of internal force and displacement in pure shear

6 結(jié)論

本文采用將橡膠材料的微觀結(jié)構(gòu)和疊層橡膠支座的宏觀運(yùn)動(dòng)、變形相結(jié)合的方法，從數(shù)學(xué)的角度，結(jié)合物理運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)，先后以單層橡膠和支座整體為研究對(duì)象，最后用關(guān)鍵性實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果，合理解釋了在水平、豎向荷載耦合作用下橡膠支座的幾何、材料雙非線性的大變形特征。主要得到以下結(jié)論：

(1) 根據(jù)單層橡膠推導(dǎo)結(jié)果的GAs與EcIs，建立了橡膠支座在兩種外部荷載同時(shí)作用下，反映水平變形與彎曲程度的偏微分平衡方程，得到了橡膠支座大剪切變形下，豎向與水平兩種荷載耦合作用下大剪切變形的幾何非線性通用解答。

(2) 因橡膠是各向同性材料，每個(gè)剪應(yīng)變狀態(tài)，宏觀上支座有相同的剪切模量，但不同剪應(yīng)變有不同的剪切模量。因此，確定各個(gè)狀態(tài)疊層橡膠支座的剪切模量非常重要。在第(1)部分理論解答基礎(chǔ)上，開(kāi)展了實(shí)際工程中橡膠支座的壓剪實(shí)驗(yàn)，依據(jù)實(shí)驗(yàn)G-γ 曲線，得到支座FH-γ的理論曲線，與FH-γ實(shí)驗(yàn)曲線幾乎完全重疊，解決了超彈性橡膠支座大剪切變形的材料非線性問(wèn)題。

(3) 根據(jù)以上理論，對(duì)隔震支座某壓剪狀態(tài)進(jìn)行受力分析，得到支座各截面運(yùn)動(dòng)量與內(nèi)力解析式，可知，橡膠支座最大水平位移出現(xiàn)在頂端，最大彎矩在支座兩端，最大剪力與轉(zhuǎn)角在支座中部。這些結(jié)論對(duì)于判斷支座產(chǎn)生破環(huán)的具體位置有很好的參考價(jià)值。

(4) 剪應(yīng)變不變，考慮軸力變化，得到以下規(guī)律，隨橡膠支座軸力增大，水平位移呈非線性增加，但增加比例不大，即P-Δ效應(yīng)不明顯；而支座端彎矩增加較大，因而橡膠內(nèi)應(yīng)力隨軸壓的變化不可忽視。

(5) 為了驗(yàn)證不同剪應(yīng)變時(shí)，軸壓相關(guān)性的強(qiáng)弱，分別在剪應(yīng)變100%、400%，施加變化的軸力，對(duì)比表明，當(dāng)剪應(yīng)變?cè)酱髸r(shí)，軸壓改變引起豎向應(yīng)力的變化越明顯，即壓力相關(guān)性強(qiáng)；而當(dāng)剪應(yīng)變小時(shí)，軸壓變化引起豎向應(yīng)力的變化不明顯，即壓力相關(guān)性弱。