角度及頻率變化率量測下目標運動分析的可觀測性條件*

余 銀，周 彬，李銀波，劉永旭，吳啟星

(1.電子信息控制重點實驗室，成都 610036；2.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094)

0 引 言

目標運動分析(Target Motion Analysis，TMA)主要指利用無源探測方式，由一段時間的量測信息對目標的運動狀態(tài)進行估計，包含對目標位置、速度、加速度及高階運動信息的估計[1-3]。目標運動分析可觀測性是指目標運動狀態(tài)估計的唯一性[4]?？捎^測性是對目標運動分析的前提，但目標運動分析多為非線性系統(tǒng)問題。非線性系統(tǒng)可觀測性分析涉及求解高階非線性微分方程，較難直接應用于目標運動分析的可觀測性判別。因此，確定可觀測性及獲取可觀測條件是目標運動分析的難點之一。

目標運動分析的可觀測性與量測信息息息相關(guān)。單站由于其具有系統(tǒng)簡單、適應性強等優(yōu)點受到了青睞[5-6]，但與多站相比可測性較差，所以對單站目標運動分析的可觀測性研究顯得尤為重要。僅測角單站目標運動分析是最簡單、最經(jīng)典的方法，至今已有大量文獻對該方法進行了研究，并采用不同方法對其可觀測性進行了深入分析[1,3,7-12]。僅測角的可觀測性要求觀測站運動階數(shù)高于目標運動階數(shù)。隨后，研究者們致力于引入其他量測信息來改善可觀測性。例如，較早期的引入頻率[4,13]，以及后來的引入徑向加速度[14]、角度變化率[15]、相位差變化率[16]、到達時間[5,13]、頻率變化率[1,16]等。

文獻[9,17]對現(xiàn)有單站可觀測性分析方法進行了總結(jié)，后者將單站可觀測性分析方法歸納為幾何方法、代數(shù)方程方法和線性系統(tǒng)方法三類。文獻[2-3]將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性時變連續(xù)系統(tǒng)，利用可觀測矩陣進行分析。但該方法涉及求解高階微分方程，難以用于高階運動。文獻[5,7,15]對非線性系統(tǒng)泰勒近似和離散化，通過離散系統(tǒng)的可觀測矩陣進行分析。文獻[8,10-12]將非線性量測方程轉(zhuǎn)換為偽線性量測方程，并基于可觀測條件的泛函等式進行了分析，避免了求解高階微分方程。該方法在文獻[17]中歸為線性系統(tǒng)法。文獻[4,18]提出了一種相容軌跡的方法分析目標運動分析可觀測性條件。該方法在文獻[17]中歸為代數(shù)方程法。后兩種方法適用性廣，且無近似處理，可獲得可觀測性充要條件。

“角度+頻率變化率”的單站體制基于運動學原理，理論完備，不需要已知頻率，動態(tài)性能好，近年來受到了廣泛關(guān)注[1,19]。頻率變化率為高階微分量，與基于角度、頻率、到達時間等信息的可觀測性分析相比難度更大，同時相關(guān)研究還非常少。本文采用相容軌跡和系統(tǒng)可觀測性理論兩種方法分別從定性和定量的角度對“角度+頻率變化率”的可觀測性進行分析，給出可觀測性的充要條件，為目標運動分析提供理論支撐。

1 問題描述

如圖1所示，目標沿著軌跡rT(t)=[xT(t),yT(t),zT(t)]T運動，觀測站沿著rO(t)=[xO(t),yO(t),zO(t)]T(通常已知)運動，r(t)=rT(t)-rO(t)=[x(t),y(t),z(t)]T是目標T相對于觀測站O的軌跡，t表示時間。

圖1 觀測站、目標相對關(guān)系示意圖

觀測站接收目標輻射的信號，并從信號中提取量測信息，對目標運動狀態(tài)r(t)進行估計。如果通過[t0,tf]內(nèi)的量測信息能唯一確定[t0,tf]內(nèi)的r(t)，則是可觀測的。本文考慮的量測信息包括方位角α(t)、俯仰角β(t)、頻率變化率ν(t)下的可觀測性分析。根據(jù)多普勒效應，ν(t)滿足

(1)

2 基于相容軌跡法的可觀測性定性分析

2.1 任意目標運動下的可觀測性

定義1 給定一組量測量{z(t)|t∈[t0,tf]}，若存在多個不同的目標運動軌跡均滿足這組量測量，則稱這些軌跡在該組觀測量下是相容的。

目標運動分析可觀測，當且僅當目標真實軌跡的相容軌跡是自身。

定理1 任意目標運動下，給定一組“角度+頻率變化率”量測信息，目標運動軌跡的相容軌跡不唯一。

r′(t)=γ(t)r(t) 。

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：M(t)為正交矩陣，?t∈[t0,tf]。

在{α(t),β(t),ν(t)}量測量下，相容軌跡是式(2)和式(5)的交集，即

(6)

且

(7)

因此，任意目標運動下，總是存在不唯一的相容軌跡，目標運動分析不可觀測。

2.2 有限階目標運動下的可觀測性

本節(jié)討論有限階目標運動下的可觀測性問題。有限階目標運動是指目標運動軌跡可表示為有限階多項式。具體地，若目標為N階運動，則滿足dNrT(t)/dtN=0，積分可得

rT(t)=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+…+aN(t-t0)N?At。

(8)

定理2 有限階目標運動下，給定“角度+頻率變化率”量測信息，目標運動軌跡不存在相容軌跡當且僅當目標與觀測站間存在非徑向相對運動。

證明:式(6)可重新整理為

(9)

其次，考慮目標與觀測站間存在非徑向相對運動的情況。由式(9)可得

(10)

因此，有限階目標運動下，目標運動分析是可觀測的充要條件是目標與觀測站間存在非徑向相對運動。

3 基于系統(tǒng)可觀測性理論的可觀測性定量分析

本節(jié)采用系統(tǒng)可觀測性理論對“角度+頻率變化率”的可觀測性進行定量分析。首先分析一階運動下的可觀測性，然后推廣到任意有限階的情況。

3.1 系統(tǒng)可觀測性理論

考慮一般的線性時變系統(tǒng)：

(11)

式中：x是狀態(tài)向量，u是輸入向量，z是量測向量，A是狀態(tài)矩陣，B是輸入矩陣，C是量測矩陣。

系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上是完全狀態(tài)可觀測的是指?x(t0)在u(t)和z(t)已知的情況下，x(t0)可唯一確定。

根據(jù)線性系統(tǒng)理論，系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上可觀測當且僅當可觀測性矩陣O(t,t0)是正定的，其中

式中：Φ(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，滿足?Φ(t,t0)/?t=A(t)Φ(t,t0)且Φ(t0,t0)=I。

上述可觀測性條件可進一步轉(zhuǎn)換為引理1[12]。

引理1 系統(tǒng)(11)在[t0,tf]上可觀測當且僅當{?t∈[t0,tf],C(t)Φ(t,t0)y=0}?{y=0}成立。

3.2 目標常速運動下的可觀測性

(12)

經(jīng)過計算可得系統(tǒng)(12)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(13)

角度量測量α(t)、β(t)可表示為

(14)

(15)

定理3 考慮目標常速運動方程(12)和量測方程(14)和(15)，其可觀測當且僅當目標與觀測站在[t0,tf]存在非徑向運動時。

證明：式(14)經(jīng)整理可轉(zhuǎn)換為偽線性形式：

(16)

此外，考慮到r=xcosβcosα+ycosβsinα+zsinβ，對式(15)進行整理可得

(17)

zcv(t)=Ccv(t)x(t) 。

(18)

(19)

Ccv(t)Φ(t,t0)a=T1Q[a0+(t-t0)a1]。

(20)

針對C(t)Φ(t,t0)a=0，?t∈[t0,tf]分兩種情況進行討論。

(1)目標相對觀測站徑向運動

(2)目標相對觀測站存在非徑向運動

3.3 有限階目標運動下的可觀測性

在常速運動可觀測性分析的基礎(chǔ)上，本節(jié)進一步拓展到有限階目標運動下的可觀測性分析。

N階運動目標滿足dNrT(t)/dtN=0。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(21)

定理4 考慮N階運動目標(21)和量測方程和(15)，其可觀測當且僅當目標與觀測站在[t0,tf]存在非徑向運動時。

zN(t)=CN(t)x(t)。

(22)

(23)

類似目標常速運動，針對C(t)Φ(t,t0)a=0，?t∈[t0,tf]分兩種情況討論。

(1)目標相對觀測站徑向運動

(2)目標相對觀測站存在非徑向運動

因此，基于系統(tǒng)可觀測性理論，可得出角度和頻率變化率量測下目標運動分析的可觀測性充要條件是目標與觀測站間存在非徑向相對運動，與前一種方法結(jié)論一致。

4 仿真分析

本節(jié)分別從相容軌跡和目標跟蹤進行仿真分析，驗證前面的結(jié)論。前者對目標運動階數(shù)無限制；后者考慮有限階目標運動，建立有限階目標運動模型，利用擴展卡爾曼濾波[20]進行目標運動分析，獲取目標航跡。

4.1 相容軌跡仿真

如圖2中實線所示，觀測站處于(0,0)km位置，目標從距離觀測站80 km、方位角165°出發(fā)，沿x方向作勻速直線運動。

圖2 相容軌跡計算結(jié)果

圖2中虛線分別是由距離觀測站65 km、70 km、90 km、100 km、110 km不同的起始位置，按照與目標實際運動軌跡在任意時刻具有相同的方位角和相等的距離二階變化率計算獲得的，也即這些虛線都是目標實際運動軌跡的相容軌跡。

由此可知，相容軌跡不是目標實際運動軌跡本身，且存在多條不同的相同軌跡。實際上，任意不同距離的起始位置均可產(chǎn)生一條相容軌跡，即存在無窮多相容軌跡，也即目標運動分析不可觀測。

4.2 目標運動分析仿真

本節(jié)利用有限階目標運動模型進行目標運動分析，獲取目標的航跡。考慮目標與觀測站徑向運動和目標與觀測站非徑向運動兩種情況。

徑向相對運動：觀測站位于(0,0,3)km位置，目標從坐標為(-4,0,3)km的位置沿x方向以200 km/h的速度勻速運動。目標發(fā)射的信號載頻為8 GHz。

非徑向相對運動：觀測站位于(0,0,0)km位置，目標從坐標為(-4,1,3)km的位置沿x方向以200 km/h的速度勻速運動。目標發(fā)射的信號載頻為8 GHz。

建立常速模型，利用擴展卡爾曼濾波分別對兩種情況下的目標運動分析進行仿真。方位角和俯仰角測量誤差均為0.5°，頻率變換率測量精度5 Hz/s。觀測時長為144 s，進行100次蒙特卡洛仿真。

圖3和圖4分別給出了兩種情況下的位置估計誤差曲線。由圖3可知，徑向相對運動下位置估計誤差曲線發(fā)散，而圖4中非徑向相對運動下的位置估計誤差可收斂到較小值，由此驗證了前面的理論分析結(jié)論。

圖3 徑向相對運動下的位置估計誤差曲線

圖4 非徑向相對運動下的位置估計誤差曲線

5 結(jié) 論

可觀測性是進行目標運動分析的前提。本文采用相容軌跡法和系統(tǒng)可觀測性理論分別從定性和定量角度討論了角度和頻率變化率量測下目標運動分析可觀測性問題。對于有限階目標運動，可觀測性的充要條件是目標與觀測站存在非徑向相對運動。仿真分析驗證了本文的理論結(jié)果。