非正交非對稱面齒輪嚙合原理與齒面設(shè)計(jì)

莫帥，羅炳睿，王賽賽，張應(yīng)新，岑國建，高瀚君

(1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，300387；2.天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津，300387；3.寧波中大力德智能傳動股份有限公司，浙江寧波，315301；4.北京航空航天大學(xué)虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100191)

作為機(jī)械傳動領(lǐng)域最主要的傳動方式，齒輪被廣泛應(yīng)用于航空航天、裝備制造和汽車電子等領(lǐng)域[1-3]。與傳統(tǒng)的錐齒輪傳動相比，面齒輪傳動具有良好的分流、匯流性能，且體積小、質(zhì)量小，承載能力強(qiáng)[4-9]。根據(jù)2 個傳動軸之間的夾角，面齒輪可分為正交與非正交2種情況。非正交面齒輪因其軸交角的靈活性，應(yīng)用范圍更加廣泛。

趙新輝等[10]研究了刀具齒頂圓角對面齒輪彎曲強(qiáng)度的影響，發(fā)現(xiàn)帶有圓角的插齒刀具加工出的過渡曲面能有效提高面齒輪齒根強(qiáng)度；盛兆華等[11]分析了幾何參數(shù)對面齒輪嚙合效率的影響，為傳動比的選取提供了依據(jù)；蘇進(jìn)展等[12]對斜線齒面齒輪的內(nèi)徑根切和外徑變尖條件進(jìn)行了理論分析，研究了斜齒面齒輪的有效齒寬；盛偉等[13]提出一種新型的弧線齒面齒輪，分析了圓弧半徑對面齒輪齒寬的影響；陳勇等[14]提出了非正交弧線齒面齒輪，通過理論推導(dǎo)及仿真模型分析了弧齒面齒輪的根切現(xiàn)象；FENG等[15]對面齒輪的齒頂進(jìn)行修形，提高了齒厚，避免齒頂變尖；李曉貞等[16]對面齒輪傳動副中的圓柱齒輪修形，減小了齒輪副傳動過程中的振動和噪聲；ZHOU等[17]基于封閉包絡(luò)法完成了面齒輪的精確建模；SEKAR等[18]采用自適應(yīng)等值法確定了非對稱圓柱齒輪的齒形系數(shù)；MARIMUTHU 等[19-20]對比了對稱和非對稱高重合比直齒輪，發(fā)現(xiàn)齒頂壓力角增大可以顯著改善齒輪傳動性能，并基于非對稱系數(shù)，對非對稱齒輪傳動提出了合理建議。

本文融合非對稱圓柱齒輪和面齒輪傳動技術(shù)，提出了非正交非對稱面齒輪副，面齒輪的驅(qū)動側(cè)采用大壓力角，從動側(cè)采用小壓力角，其相較于傳統(tǒng)的非正交面齒輪，能同時擁有較大壓力角和較長齒寬，從而可在保證傳動可靠的前提下，有效減小傳動空間，減輕齒輪傳動裝置的質(zhì)量。基于嚙合原理推導(dǎo)出插齒刀和面齒輪的雙側(cè)齒面方程，并自主編制算法對齒面進(jìn)行數(shù)字化描述，獲取具有復(fù)雜共軛曲面的非正交非對稱面齒輪副實(shí)體模型。

1 非對稱插齒刀齒面模型

1.1 非對稱齒條形刀具齒面方程

非對稱插齒刀齒面是非對稱齒條齒面在相對運(yùn)動中的包絡(luò)，要推導(dǎo)非對稱插齒刀的齒面方程，必須建立非對稱齒條形刀具的齒面方程。圖1所示為齒條形刀具的端面齒廓示意圖，齒廓線AB和CD為直線，坐標(biāo)系SF(XF,YF,ZF)與齒條形刀具剛性固結(jié)。

圖1 具有非對稱齒廓的齒條形刀具Fig.1 Rack cutter with asymmetric tooth profile

非對稱齒條形刀具AB段齒廓的位置矢量rF1和CD段齒廓的位置矢量rF2在坐標(biāo)系SF中表示為：

式中：u1和u2是齒條的齒廓基本參數(shù)，表示齒廓上的流動點(diǎn)；uz表示非對稱齒條形刀具的軸向參數(shù)；l1和l2分別為垂線段ME和NF的長度；α1為驅(qū)動側(cè)的壓力角；α2為從動側(cè)的壓力角，且α1＞α2。

齒廓線AB段的單位法向量nF1和CD段的單位法向量nF2表示為：

1.2 非對稱插齒刀齒面方程

圖2所示為范成法加工插齒刀的示意圖，坐標(biāo)系SS(XS,YS,ZS)與插齒刀剛性固結(jié)，坐標(biāo)系SM(XM,YM,ZM)是固定在機(jī)架上的輔助坐標(biāo)系。則坐標(biāo)系SF變換到坐標(biāo)系SS的矩陣表示為

圖2 非對稱插齒刀的加工坐標(biāo)系Fig.2 Machining coordinate system of asymmetric shaper

式中：rS為分度圓半徑；φ為插齒刀轉(zhuǎn)過的角度；s為齒條形刀具的位移，其與轉(zhuǎn)角φ的關(guān)系為s=rSφ。

基于嚙合原理和空間坐標(biāo)變換矩陣[1]，插齒刀具的齒面方程表示為

式中：i=1對應(yīng)插齒刀的驅(qū)動側(cè)齒面，i=2對應(yīng)插齒刀的從動側(cè)齒面；fFi為齒條形刀具與插齒刀的嚙合方程；vFi(FS)為齒條形刀具與插齒刀的相對速度，在坐標(biāo)系SF中表示為

式中：ωS為非對稱插齒刀的角速度。

圖3所示為齒條形刀具和插齒刀的在相對運(yùn)動過程中的包絡(luò)軌跡。用齒條形刀具加工插齒刀的過程，相當(dāng)于齒條與齒輪嚙合的過程，齒條兩側(cè)壓力角決定了加工出的插齒刀的兩側(cè)壓力角。

圖3 非對稱齒條刀具在加工過程中的相對運(yùn)動軌跡Fig.3 Relative motion trajectory of asymmetrical rack cutter in machining process

為方便推導(dǎo)面齒輪的齒面方程，將插齒刀的漸開線齒廓表示在圖4所示的坐標(biāo)系SS中。此時，非對稱插齒刀的驅(qū)動側(cè)位置矢量rS1和從動側(cè)位置矢量rS2用式(8)[1]表示。

圖4 非對稱插齒刀的端面參數(shù)和軸向參數(shù)Fig.4 End face parameters and axial parameters of asymmetric shaper

式中：“±”分別代表齒廓1 和齒廓2 的漸開線方程；θSi為漸開線上的角度參數(shù)；μS為刀具的軸向參數(shù)；rbSi為基圓半徑；θS0i為刀具在基圓上的齒槽寬參數(shù)。

非對稱插齒刀的驅(qū)動側(cè)單位法矢量nS1和從動側(cè)單位法矢量nS2表示為

通常圓柱齒輪要比插齒刀具少2～3個齒，都由非對稱齒條形刀具加工，除齒數(shù)外，模數(shù)和壓力角等參數(shù)均與插齒刀的相同，因此，其齒面方程與式(8)相同。在可視化軟件中進(jìn)行齒面仿真，得到非對稱圓柱齒輪的齒面如圖5所示。

圖5 在坐標(biāo)系SS中非對稱圓柱齒輪的數(shù)學(xué)模型Fig.5 Mathematical model of asymmetric cylindrical gear in coordinate system SS

2 非正交非對稱面齒輪齒面模型

2.1 非正交非對稱面齒輪齒面方程

根據(jù)面齒輪的插齒加工原理，建立如圖6所示的加工坐標(biāo)系。坐標(biāo)系SS0(XS0，YS0，ZS0)和S20(X20，Y20，Z20)為輔助坐標(biāo)系，代表插齒刀和面齒輪的初始位置；SS(XS，YS，ZS)是與插齒刀固聯(lián)的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系；S2(X2，Y2，Z2)是與面齒輪固聯(lián)的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系；γ為軸線ZS與軸線Z2的夾角，稱為軸交角；φS為插齒刀的轉(zhuǎn)角；φ2為面齒輪的轉(zhuǎn)角；ω2為面齒輪的角速度。

圖6 非正交非對稱面齒輪的加工坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系Fig.6 Positional relationship between machining coordinate systems of non-orthogonal asymmetric face gear

由非對稱插齒刀坐標(biāo)系SS到非正交非對稱面齒輪坐標(biāo)系S2的轉(zhuǎn)換矩陣M2S表示為

式中：M20,S0為移動矩陣；MS0,S描述坐標(biāo)系SS繞軸線ZS的轉(zhuǎn)動；M2,20描述坐標(biāo)系S2繞軸線Z2的轉(zhuǎn)動。

驅(qū)動側(cè)齒面的嚙合方程f1和從動側(cè)齒面的嚙合方程f2表示為

式中：i=1，2。

聯(lián)立式(8)與式(11)，非正交非對稱面齒輪的齒面可表示為

2.2 工作曲面與過渡曲面

由于嚙合方程的在齒面上任一點(diǎn)都成立，參數(shù)μS可用參數(shù)θS和φS表示，因此，面齒輪的工作曲面方程式(13)實(shí)際上包含2 個變量，齒面的生成步驟如下。

1)參數(shù)計(jì)算。根據(jù)插齒刀的齒高推導(dǎo)出面齒輪在坐標(biāo)系S2中的齒高參數(shù)z2。

2)計(jì)算齒寬。求出齒輪根切的最小內(nèi)徑R1和不發(fā)生齒頂變尖的最大外徑R2，并在R1和R2范圍內(nèi)選取適當(dāng)齒寬作為已知量y2。

3)離散y2和z2。通過離散得到i個y2i(y21，y22，的離散值，j個z2j(z21，z22，z23，…，z2j)的離散值，以y2和z2作為輸入值，代入齒面方程，則可以得到i×j個的值和i×j個φSij的值(φSi1，φSi2，φSi3，…，φSij)。

4)工作齒面可視化。將i×j組(θSij，φSij)反代到非正交非對稱面齒輪齒面方程，得到相應(yīng)齒面上i×j個離散的坐標(biāo)點(diǎn)(xij，yij，zij)，應(yīng)用Matlab 指令生成非正交非對稱面齒輪的工作曲面如圖7(a)所示。

圖7 在坐標(biāo)系S2中非正交非對稱面齒輪的數(shù)學(xué)模型Fig.7 Mathematical model of non-orthogonal asymmetric face gear in coordinate system S2

非正交非對稱面齒輪的過渡曲面由插齒刀的齒頂線加工形成，此時，面齒輪齒廓方程中的變量θS可表示為常數(shù)θS*，過渡曲面的方程[1]表示為

式中：i′=1對應(yīng)面齒輪驅(qū)動側(cè)的過渡曲面，i′=2對應(yīng)面齒輪從動側(cè)的過渡曲面；raS為刀具齒頂圓半徑。

過渡曲面方程僅含φS一個變量，參數(shù)μS可用φS表示，曲面的可視化步驟如下。

1)離散參數(shù)φS。在R1和R2范圍內(nèi)選取適當(dāng)齒寬作為已知量y2。對i個y2i處的φS進(jìn)行離散，得到i×j個

2)過渡曲面可視化。將i×j組代入過渡曲面方程，得到i×j個離散的坐標(biāo)點(diǎn)(xij*，yij*，zij*)，應(yīng)用Matlab指令生成過渡曲面如圖7(b)所示。

將工作曲面與過渡曲面結(jié)合，得到非正交非對稱面齒輪的完整齒面如圖7(c)所示。

3 非正交非對稱面齒輪齒面設(shè)計(jì)

3.1 非正交非對稱面齒輪齒寬條件限制

圖8所示為非正交非對稱面齒輪齒根根切和齒頂變尖示意圖。從圖8可見：非正交非對稱面齒輪齒寬從內(nèi)徑到外徑逐漸減小，在面齒輪最小內(nèi)徑齒根處容易產(chǎn)生根切，即紅色區(qū)域；由于壓力角不同，兩側(cè)齒面的根切界限不同；在最大外徑處兩側(cè)齒面相交，出現(xiàn)齒厚為零的現(xiàn)象，即齒頂變尖。齒根根切和齒頂變尖會降低齒根強(qiáng)度，影響齒輪的承載能力，不利于齒輪副傳動，因此，在設(shè)計(jì)時必須對面齒輪的齒寬進(jìn)行限制。

圖8 齒寬的限制條件(齒根根切和齒頂變尖)Fig.8 Limit conditions of tooth width:undercutting and pointing

以不產(chǎn)生根切為條件，定義非正交非對稱面齒輪的最小內(nèi)徑R1。由于輪齒兩側(cè)壓力角不同，取兩側(cè)齒面計(jì)算結(jié)果的最大值作為面齒輪的最小內(nèi)徑，界限線L由式(15)[12]確定。

式中：vxi和vyi為接觸點(diǎn)處速度矢量vSi(S,2)分別在x和y方向的分量。

根切的界限點(diǎn)為插齒刀具齒頂線與界限線的交點(diǎn)，θS取刀具在齒頂時的參數(shù)，rfS為齒根圓半徑，結(jié)合式(14)和式(15)求得y2*和z2*。最小內(nèi)徑R1表示為

假定兩側(cè)齒面在齒頂相交，此時，z21=z22；x21=x22，聯(lián)立式(17)，求解得到θS和φS，代入齒面方程(式(13))得到y(tǒng)2，再由式(18)求得最大外徑R2。

表1所示為不同軸交角和壓力角下非正交非對稱面齒輪的內(nèi)徑R1和外徑R2的計(jì)算結(jié)果，可為建模時數(shù)據(jù)的選取提供依據(jù)。由表1可見，最小內(nèi)徑R1只取決于從動側(cè)齒面的壓力角，而最大外徑R2由兩側(cè)齒面的壓力角共同控制。

表1 基于不同軸交角和壓力角的面齒輪的內(nèi)徑R1和外徑R2的計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of inner diameters R1 and outer diameters R2 of face gears based on different shaft angles and pressure angles

3.2 齒寬影響因素分析

圖9所示為不同軸交角下的非正交非對稱齒面模型。由圖9可見：γ=90°的正交面齒輪在外徑處出現(xiàn)齒頂變尖現(xiàn)象，隨著軸交角增大，面齒輪兩側(cè)齒面齒頂間距離增大，齒根彎曲明顯。因此，在齒根不發(fā)生根切條件下，適當(dāng)增大軸交角可以增加齒頂間距，避免齒頂變尖。

圖9 不同軸交角時非對稱面齒輪的齒面對比Fig.9 Comparison of asymmetric face gears with different shaft angles

圖10所示為相同齒寬下的非對稱齒面與對稱齒面比較。由圖10可見：非對稱齒面齒頂處齒厚方向相距較大，為更直觀反映出從動側(cè)壓力角對齒頂變尖的影響，比較不同壓力角的非正交非對稱齒面模型，結(jié)果見圖11。用α=α1/α2表示兩側(cè)壓力角α1和α2的組合。由圖11可見：隨著左側(cè)從動側(cè)壓力角減小，兩側(cè)齒頂間距增大，齒根彎曲逐漸明顯。

圖10 相同齒寬時非對稱面齒輪與對稱面齒輪對比Fig.10 Comparison of asymmetric face gears and symmetric face gears with same tooth width

圖11 不同壓力角組合的非正交非對稱面齒輪的齒面對比Fig.11 Comparison of non-orthogonal asymmetric face gears with different pressure angle combinations

非正交非對稱面齒輪的有效齒寬L=R2-R1。在滿足從動側(cè)齒面不根切的條件下，減小從動側(cè)壓力角能增大齒頂間距，增加出現(xiàn)齒頂變尖現(xiàn)象時的最大外徑R2，進(jìn)而可以增加面齒輪的有效齒寬L。齒寬隨兩側(cè)壓力角的變化如圖12所示。由圖12可見：相比α=30°/30°條件下的對稱面齒輪，α=20°/30°條件下的非對稱面齒輪的有效齒寬增加了6.5 mm左右。

圖12 不同壓力角α1和壓力角α2下齒寬L的變化Fig.12 Variation of tooth width L at different driving side pressure angles α1 and driven side pressure angles α2

3.3 齒面接觸分析

根據(jù)齒面接觸分析(TCA)方程[1]得到非正交非對稱面齒輪的接觸路徑如圖13所示。在模數(shù)和齒數(shù)等參數(shù)相同的條件下，非正交非對稱面齒輪接觸路徑長度為10.53 mm，非正交對稱面齒輪接觸路徑長度為7.22 mm。由此得出：非正交非對稱面齒輪擁有較長接觸路徑和較大接觸區(qū)域，這使其擁有更好的傳動性能；但接觸路徑距離齒頂較近，可能會出現(xiàn)邊緣接觸，后續(xù)需要進(jìn)行齒面修形，提高接觸性能。

4 創(chuàng)建實(shí)體模型

表2所示為非正交非對稱面齒輪的基本參數(shù)。根據(jù)第2節(jié)所描述的理論方法，將Matlab生成的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散，通過均勻采樣的方法，得到非正交非對稱面齒輪的齒面點(diǎn)的坐標(biāo)值，生成點(diǎn)云文件點(diǎn)云并另存為“txt”文檔導(dǎo)入SolidWorks 中，得到非正交非對稱面齒輪的實(shí)體模型。具體操作流程如圖14所示。首先，將點(diǎn)云文件導(dǎo)入三維軟件中，使用“放樣”命令進(jìn)行曲面擬合，其次應(yīng)用布爾切除模擬插齒刀的加工過程，生成單個齒槽，最后使用“圓周陣列”命令生成完整的實(shí)體模型。圖15所示為非正交非對稱面齒輪和非對稱小輪的裝配模型，選用3組常見的非對稱壓力角組合，分別為α=20°/25°，α=20°/30°和α=20°/35°，得到對應(yīng)的非正交非對稱面齒輪和非對稱小輪的單齒模型。

圖14 非正交非對稱面齒輪和非對稱小輪的構(gòu)建流程Fig.14 Construction process of non-orthogonal asymmetric face gear and asymmetric pinion

圖15 3種壓力角組合的非正交非對稱面齒輪副裝配模型Fig.15 Assembly model of non-orthogonal asymmetric face gear pair with 3 pressure angle combinations

表2 非正交非對稱面齒輪副模型的基本參數(shù)Table 2 Basic parameters of non-orthogonal asymmetric face gear pair model

5 結(jié)論

1)非正交非對稱面齒輪的兩側(cè)齒面壓力角不等，其兩側(cè)齒面產(chǎn)生根切的內(nèi)徑R1不同，為保證兩側(cè)齒面的完整性，應(yīng)取從動側(cè)的根切界限作為最小內(nèi)徑以避免齒根根切。

2)增大軸交角或減小從動側(cè)齒面的壓力角α2能有效避免面齒輪的齒頂變尖，增大外徑R2的同時會增加有效齒寬L。相比α=30°/30°的對稱面齒輪，α=20°/30°的非對稱面齒輪的有效齒寬增加了6.5 mm 左右，因此，在設(shè)計(jì)面齒輪參數(shù)時應(yīng)選取較小的驅(qū)動側(cè)壓力角α2和較大的軸交角γ。

3)相比非正交對稱面齒輪，非正交非對稱面齒輪的接觸路徑明顯變長，這使其擁有更好的傳動性能，但更容易發(fā)生邊緣接觸。因此，應(yīng)根據(jù)傳動要求選取合適的驅(qū)動側(cè)壓力角α1。