致密油多尺度滲流數(shù)學(xué)模型及影響因素分析

朱維耀，劉昀楓,2，李忠興，岳明，孔德彬

(1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京，100083；2.中國(guó)石化石油勘探開發(fā)研究院，北京，100083；3.中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田分公司勘探開發(fā)研究院，陜西西安，710018)

致密油是繼頁(yè)巖氣之后全球非常規(guī)油氣勘探開發(fā)的又一熱點(diǎn)，我國(guó)致密油藏儲(chǔ)量巨大，占新增探明儲(chǔ)量的75%以上，開發(fā)意義重大[1]，但產(chǎn)量遞減迅速，首年遞減率可達(dá)到40%～90%。亟待明確產(chǎn)量快速遞減的主要原因，以指導(dǎo)致密油藏高效開發(fā)。

常規(guī)壓裂改造措施難以滿足致密油藏工業(yè)開發(fā)需求，而“長(zhǎng)水平井+體積壓裂”可在井筒附近形成一定范圍的改造縫網(wǎng)，從而降低滲流阻力，提高單井產(chǎn)能，逐漸成為開發(fā)致密油藏的主要模式。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者多采用數(shù)值方法進(jìn)行致密油藏體積壓裂井產(chǎn)能預(yù)測(cè)[2-4]。其方法普遍采用統(tǒng)一的離散與低階多項(xiàng)式插值技術(shù)，而沒有針對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)個(gè)別加以解決，因此，造成不必要的大規(guī)模數(shù)值計(jì)算。OZKAN等[5-7]基于線性流動(dòng)的理念，將流場(chǎng)劃分為基質(zhì)區(qū)、裂縫區(qū)和受人造裂縫影響的多個(gè)矩形區(qū)域，建立了多線性流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，并分析了壓力不穩(wěn)定特征。多線性流動(dòng)模型具有一定的優(yōu)點(diǎn)，但模型過(guò)于理想，無(wú)法模擬早期徑向流、后期擬徑向流及裂縫流動(dòng)之間的干擾現(xiàn)象。

鄧英爾等[8-9]認(rèn)為水力壓裂在油井周圍形成一個(gè)對(duì)稱的垂直裂縫面，投產(chǎn)后形成以裂縫端點(diǎn)為焦點(diǎn)的共軛等壓橢圓和雙曲線流線簇。將SRV 用橢圓形區(qū)域表征，獲得了壓力不穩(wěn)定響應(yīng)結(jié)果和產(chǎn)量遞減曲線，豐富了SRV 刻畫的模型。王樹平等[10-12]結(jié)合橢圓滲流理論，分析了壓裂水平井橢圓流中裂縫擴(kuò)展動(dòng)態(tài)，引入裂縫干擾現(xiàn)象，建立了壓裂水平井多條裂縫相互干擾情形下非穩(wěn)態(tài)滲流數(shù)學(xué)模型，并給出了求解方法和產(chǎn)量預(yù)測(cè)方程。高英等[13]對(duì)于體積壓裂開發(fā)過(guò)程，將流體流動(dòng)分為橢圓縫網(wǎng)內(nèi)滲流區(qū)和主干縫內(nèi)線性滲流區(qū)，推導(dǎo)了體積壓裂改造儲(chǔ)層直井產(chǎn)能方程，并模擬計(jì)算了壓裂井產(chǎn)能及分析壓裂裂縫參數(shù)對(duì)產(chǎn)能的影響。郝明強(qiáng)等[14-17]考慮了致密儲(chǔ)層的啟動(dòng)壓力梯度和強(qiáng)應(yīng)力敏感特征，建立了水平井多級(jí)壓裂開發(fā)滲流數(shù)學(xué)模型。HU 等[18-19]基于多區(qū)線性滲流理論，推導(dǎo)了考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感性的產(chǎn)量預(yù)測(cè)公式。但目前的應(yīng)力敏感性研究大多集中在基質(zhì)巖心，對(duì)于致密油藏壓裂改造后形成裂縫網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)力敏感性研究較少。

致密砂巖儲(chǔ)層水平井多級(jí)壓裂開發(fā)過(guò)程具有儲(chǔ)層基質(zhì)(納米級(jí))—微裂縫(微米級(jí))—壓裂裂縫(毫米級(jí))—水平井筒(厘米級(jí))的多尺度滲流特征。僅針對(duì)基質(zhì)的應(yīng)力敏感性研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，為此，本文作者將通過(guò)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，揭示致密油藏基質(zhì)、基質(zhì)-裂縫多尺度非線性滲流特征，建立致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)多區(qū)耦合非線性滲流數(shù)學(xué)模型，形成產(chǎn)量預(yù)測(cè)方法，從而明確啟動(dòng)壓力梯度、應(yīng)力敏感性特征等參數(shù)對(duì)產(chǎn)量的影響規(guī)律，進(jìn)而為致密油藏高效開發(fā)提供理論依據(jù)。

1 致密油滲流規(guī)律實(shí)驗(yàn)

在致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)過(guò)程中，致密油流經(jīng)儲(chǔ)層基質(zhì)—微裂縫—人工裂縫，最終流入井筒并舉升至地面，其流動(dòng)介質(zhì)的差異形成了多尺度流動(dòng)特征。其中，致密砂巖儲(chǔ)層納米孔隙分布廣泛，孔隙度一般為4%～10%，滲透率一般小于0.3×10-3μm2，且天然微裂縫發(fā)育，水力壓裂后形成大規(guī)模復(fù)雜裂縫，具有多尺度滲流特征。儲(chǔ)層基質(zhì)孔隙直徑在50 nm 至1 μm 之間；微裂縫包括儲(chǔ)層天然微裂縫及水力壓裂衍生次級(jí)裂縫，介于幾十微米到幾百微米；人工裂縫開度通?？梢赃_(dá)到毫米級(jí)。而實(shí)驗(yàn)室對(duì)含微裂縫巖心的制備和模擬極為困難，難以開展基質(zhì)-微裂縫多尺度流動(dòng)規(guī)律實(shí)驗(yàn)。針對(duì)該技術(shù)瓶頸，本文通過(guò)改變巴西劈裂的施力方式，將原有的平面壓頭改裝為弧形壓頭，使得線載荷變?yōu)槊孑d荷施加在致密巖心上，壓力得以均勻分布，聯(lián)用聲發(fā)射實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)技術(shù)[20]，確保了人工制作微裂縫的巖心形態(tài)完整，尤其適用于巖心脆性高易碎的致密巖心，實(shí)現(xiàn)了基質(zhì)巖心和人造含裂縫巖心滲流規(guī)律的準(zhǔn)確模擬。

含微裂縫巖心制備的具體步驟如下：首先，將致密巖心放置于弧形壓頭處，聲波探頭分別粘貼在巖心2 個(gè)圓形底面上；其次，打開聲波檢測(cè)儀，對(duì)致密巖心進(jìn)行斷鉛測(cè)試，判斷聲波探頭是否與致密巖心緊密貼合，能否正常傳導(dǎo)聲波能量；再次，設(shè)定材料試驗(yàn)機(jī)加載速度(小于0.05 mm/min)對(duì)致密巖心施加壓力，并根據(jù)材料試驗(yàn)機(jī)繪制的壓力-位移曲線，判斷巖心內(nèi)部是否有大裂縫出現(xiàn)；最后，當(dāng)聲波檢測(cè)儀出現(xiàn)信號(hào)聲波信號(hào)持續(xù)10～20 min，且壓力-位移曲線并未出現(xiàn)斷崖式下跌時(shí)，關(guān)閉材料試驗(yàn)機(jī)，得到含裂縫巖心樣本。

1.1 非線性滲流規(guī)律實(shí)驗(yàn)

對(duì)致密儲(chǔ)層基質(zhì)巖心、含微裂縫巖心進(jìn)行滲流規(guī)律實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)所用樣品取自鄂爾多斯盆地馬嶺西233區(qū)長(zhǎng)72儲(chǔ)層，巖心長(zhǎng)度為5 cm、直徑為2.5 cm。其中，基質(zhì)巖心的孔隙度為8.34%，滲透率為0.22×10-3μm2；改進(jìn)巴西劈裂實(shí)驗(yàn)得到帶裂縫巖心的孔隙度為10.4%，滲透率為3.3×10-3μm2。通過(guò)恒壓注入地層流體(黏度為1.27 mPa·s)，待流量穩(wěn)定后，記錄該驅(qū)替壓力下的流量，并通過(guò)調(diào)整回壓更換下一驅(qū)替壓力梯度，直至測(cè)定所有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)壓力點(diǎn)，結(jié)束測(cè)試。測(cè)試得到基質(zhì)巖心和含裂縫巖心的滲流規(guī)律曲線，如圖1所示。從圖1可以看出：含裂縫巖心和基質(zhì)巖心均表現(xiàn)為非線性滲流特征。本文作者在前人研究成果[21-23]的基礎(chǔ)上，給出致密砂巖基質(zhì)巖心、含裂縫巖心的啟動(dòng)壓力梯度。類似地，對(duì)滲透率分別為0.11×10-3，0.13×10-3，0.19×10-3和0.36×10-3μm2的基質(zhì)巖心和滲透率分別為1.6×10-3，5.0×10-3，6.7×10-3和9.0×10-3μm2的含裂縫巖心滲流規(guī)律進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，并給出其啟動(dòng)壓力梯度，得出啟動(dòng)壓力梯度隨不同巖心介質(zhì)、不同滲流能力的變化規(guī)律，如圖2所示。從圖2可知：基質(zhì)的啟動(dòng)壓力梯度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于含裂縫巖心的啟動(dòng)壓力梯度，且均與滲透率呈冪函數(shù)關(guān)系，可得到啟動(dòng)壓力梯度隨滲透率變化的表達(dá)式。其中，基質(zhì)巖心啟動(dòng)壓力梯度的擬合公式為

式中：Gm為基質(zhì)巖心的啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；km為基質(zhì)巖心的滲透率，10-3μm2。

含裂縫巖心啟動(dòng)壓力梯度的擬合公式為

式中：Gmf為弱改造區(qū)的啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；kmf為含裂縫巖心的滲透率，10-3μm2。

1.2 應(yīng)力敏感性實(shí)驗(yàn)

致密砂巖儲(chǔ)層具有物性差、孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜、微裂縫發(fā)育的特征，較常規(guī)儲(chǔ)層具有強(qiáng)應(yīng)力敏感性。致密油藏未開發(fā)階段，儲(chǔ)層巖石受上覆巖層壓力和孔隙流體壓力的作用使得應(yīng)力系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。隨著開發(fā)過(guò)程中地層流體不斷地被采出，地應(yīng)力得到釋放，巖石骨架的有效應(yīng)力增加促使巖石發(fā)生彈性或塑性形變，伴隨著基質(zhì)孔隙體積的縮小和裂縫的閉合，導(dǎo)致致密油藏滲流特性發(fā)生變化。PEDROSA等[24-26]采用指數(shù)式表征滲透率與有效應(yīng)力的關(guān)系：

式中：k為滲透率，10-3μm2；ki為初始滲透率，10-3μm2；α為應(yīng)力敏感系數(shù)，MPa-1；σeff為巖石孔隙的有效應(yīng)力，MPa。

針對(duì)致密油藏多尺度流動(dòng)強(qiáng)應(yīng)力敏感性，本文依據(jù)致密油藏天然能量開發(fā)模式，通過(guò)定圍壓的方式模擬上覆巖層壓力，調(diào)整回壓模擬儲(chǔ)層的孔隙壓力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)巖心有效應(yīng)力的變化[27]；依次調(diào)整有效應(yīng)力，記錄穩(wěn)壓1.5～2.5 h 時(shí)的滲透率測(cè)試結(jié)果，并對(duì)測(cè)得的基質(zhì)巖心、含裂縫巖心滲透率進(jìn)行無(wú)因次處理；根據(jù)式(1)，通過(guò)擬合得到應(yīng)力敏感系數(shù)α(圖3)和滲透率隨有效應(yīng)力變化的表達(dá)式。其中，基質(zhì)巖心滲透率損傷擬合方程為

含裂縫巖心滲透率損傷擬合方程為

式中：km0和kmf0分別為基質(zhì)巖心和含裂縫巖心的初始滲透率，10-3μm2。

從圖3可知：隨著有效應(yīng)力升高，巖心滲透率下降顯著，且下降幅度趨于平緩；含裂縫巖心的應(yīng)力敏感性特征較致密儲(chǔ)層基質(zhì)更強(qiáng)，當(dāng)有效應(yīng)力上升至15 MPa 時(shí)，基質(zhì)巖心和含裂縫巖心的滲透率損傷幅度分別高達(dá)25.9%和65.7%；其應(yīng)力敏感系數(shù)[27]分別為0.018 38 MPa-1(弱敏感性)和0.070 9 MPa-1(強(qiáng)敏感性)。在致密油藏開發(fā)過(guò)程中，裂縫作為產(chǎn)能的主要貢獻(xiàn)者，應(yīng)力敏感性的影響較常規(guī)油藏、低滲透油藏更為明顯。

2 多尺度滲流數(shù)學(xué)模型

“長(zhǎng)水平井+體積壓裂”是致密油藏高效開發(fā)的有效手段。該技術(shù)在水力壓裂過(guò)程中，促使天然微裂縫不斷擴(kuò)張，脆性巖石產(chǎn)生剪切滑移，形成天然裂縫與人工裂縫相互交錯(cuò)的裂縫網(wǎng)絡(luò)，極大地增加儲(chǔ)層改造體積，達(dá)到了增產(chǎn)的效果。針對(duì)水平井多級(jí)壓裂所形成的水平井筒—壓裂裂縫—壓裂衍生微裂縫—基質(zhì)納微米孔隙的多尺度復(fù)雜流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，亟需表征多尺度滲流特征的數(shù)學(xué)模型。

2.1 物理模型

朱維耀等[28-33]基于致密油儲(chǔ)層基質(zhì)—裂縫作用規(guī)律和強(qiáng)非線性滲流特征的認(rèn)識(shí)，建立了致密儲(chǔ)層主裂縫—縫網(wǎng)—基質(zhì)三區(qū)耦合滲流模型。但針對(duì)目前的長(zhǎng)水平井開發(fā)模式，井筒內(nèi)的流動(dòng)不可忽略，原有的模型也亟需完善。

致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)過(guò)程中，致密油流經(jīng)儲(chǔ)層基質(zhì)(納米級(jí))—微裂縫(微米級(jí))—壓裂裂縫(毫米級(jí))，最終流入水平井筒(厘米級(jí))并舉升至地面。在整個(gè)流動(dòng)過(guò)程中，其流動(dòng)介質(zhì)的差異導(dǎo)致流動(dòng)狀態(tài)也不盡相同。因此，將致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)形成的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)劃分為三大區(qū)五小區(qū)：I水平井筒區(qū)、II改造區(qū)(強(qiáng)、弱改造區(qū))、III未改造區(qū)(基質(zhì)動(dòng)用、未動(dòng)用區(qū))，如圖4所示。

2.2 數(shù)學(xué)模型

考慮各區(qū)域的不同滲流特征，依據(jù)三大區(qū)五小區(qū)劃分的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，建立致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)多區(qū)耦合滲流數(shù)學(xué)模型。

首先，進(jìn)行如下假設(shè)：1)儲(chǔ)層為上下封閉的無(wú)限大地層；2)單相流體滲流，且?guī)r石、流體微可壓縮，忽略重力；3)沿水平井筒方向壓裂n段，假設(shè)壓裂主裂縫有限導(dǎo)流，且沿水平井筒均勻排布，壓裂裂縫縱向貫穿整個(gè)油層；4)弱改造區(qū)及基質(zhì)動(dòng)用區(qū)分別考慮不同啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感特征的影響；5)忽略溫度因素對(duì)滲流的影響。

2.2.1 水平井筒區(qū)

水平井筒內(nèi)的流動(dòng)特征表征為多支流匯入的管流，針對(duì)致密油藏水平井開發(fā)的“長(zhǎng)水平段”特征，水平井筒內(nèi)部的摩擦損失不可忽略，表現(xiàn)為各段壓裂縫與水平井筒的交界處壓力不同[34-37]。取水平井筒中長(zhǎng)度為Δx的微元體進(jìn)行分析，如圖5所示。圖5中：v1和v2分別為井筒微元下游和上游截面的平均流速，m/s；vpi為匯入處的流速；p為井筒微元下游截面壓力；pwi為匯入處的壓力；Δp為井筒微元上游和下游截面處的壓力差，Pa；

建立水平井筒內(nèi)部地層流體流動(dòng)的動(dòng)量平衡方程，有

式中：A為水平井筒橫截面積，m2；d為水平井筒直徑，m；ρ為流體密度，kg/m3；τ為管道摩擦阻力，

當(dāng)水平井筒內(nèi)部的流動(dòng)為層流時(shí)(即Re≤2 000)，λ=64/Re；當(dāng)水平井筒內(nèi)部的流動(dòng)為紊流時(shí)(即Re＞2 000)，λ=0.316 4/Re0.25。其中：Re=ρvd/μ；v為流體在水平井筒中的流動(dòng)速度，m/s；μ為流體黏度，mPa·s。

依據(jù)質(zhì)量守恒方程，將流速轉(zhuǎn)化為流量，可得

式中：qi為第i段徑向匯入流量，m3/s；Qi為第i段井筒微元段上游端流量，m3/s。

方程右端第一項(xiàng)為水平井筒內(nèi)的管道摩阻產(chǎn)生的壓降，方程右端第二項(xiàng)為壓裂段徑向匯流產(chǎn)生的壓降。當(dāng)壓裂段徑向匯入流量為0 m/s時(shí)，可退化為水平管內(nèi)單相不可壓縮流體壓降計(jì)算方程(式(9))，驗(yàn)證了本模型的可靠性。

2.2.2 強(qiáng)改造區(qū)

強(qiáng)改造區(qū)為水力壓裂形成的主裂縫，裂縫開度通常為毫米級(jí)，其流動(dòng)特征表征為裂縫內(nèi)部的線性流動(dòng)。參考平行平板模型，第i段水力壓裂主裂縫的運(yùn)動(dòng)方程[28]為

式中：ωf為裂縫開度，m；h為油層厚度，m；kf為強(qiáng)改造區(qū)的滲透率，10-3μm2；為強(qiáng)改造區(qū)的平均地層壓力，MPa；?p為壓力梯度，MPa/m。

邊界條件包括：1)內(nèi)邊界，在強(qiáng)改造區(qū)與水平井筒交界處的壓力為pwi，即當(dāng)x=rw時(shí)，p=pwi；2)外邊界，在主裂縫尖端處的壓力為pnfi，即當(dāng)x=xf時(shí)，p=pnfi。

將邊界條件代入式(10)，可得第i段裂縫內(nèi)強(qiáng)改造區(qū)的流量為

式中：xf為裂縫半長(zhǎng)，m；rw為井筒半徑，m。即可得第i壓裂段強(qiáng)改造區(qū)的滲流阻力Rfi為

2.2.3 弱改造區(qū)

弱改造區(qū)為水力壓裂形成的衍生裂縫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，尺度介于幾十微米到幾百微米，其流動(dòng)特征表征為衍生微裂縫內(nèi)的地層流體向主裂縫的橢圓徑向流動(dòng)[8-9](如圖4所示)。建立徑向穩(wěn)態(tài)滲流模型，其質(zhì)量守恒方程為

第i壓裂段弱改造區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程為考慮啟動(dòng)壓力梯度Gni的低速非達(dá)西流動(dòng)[23]，有

式中：kn為弱改造區(qū)的滲透率，10-3μm2；為弱改造區(qū)的平均地層壓力，MPa；Gn為弱改造區(qū)的啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m。

弱改造區(qū)啟動(dòng)壓力梯度在橢圓形流場(chǎng)內(nèi)部的作用距離為橢圓形的平均短半軸[8]，有

式中：bn為弱改造區(qū)的橢圓流場(chǎng)的短軸長(zhǎng)度，m。

引入弱改造區(qū)等效的啟動(dòng)壓力梯度G′ni：

式中：rn和rf分別為弱改造區(qū)和強(qiáng)改造區(qū)的等效泄油半徑，m，基于動(dòng)用體積等效原則計(jì)算。

邊界條件包括：1)內(nèi)邊界，在強(qiáng)改造區(qū)與弱改造區(qū)交界處的壓力為pnfi，即r=rf時(shí)，p=pnfi；2)外邊界，在弱改造區(qū)與基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的交界處的壓力為pmni，即當(dāng)r=rn時(shí)，p=pmni。

將邊界條件代入基本微分方程后，可得第i段壓裂衍生縫網(wǎng)區(qū)(弱改造區(qū))的流量為

可得第i壓裂段弱改造區(qū)的滲流阻力Rni為

2.2.4 基質(zhì)動(dòng)用區(qū)

該區(qū)域?yàn)橹旅苌皫r儲(chǔ)層基質(zhì)動(dòng)用部分，納米孔隙分布廣泛，孔隙直徑在50 nm 至1 μm 之間，滲透率一般小于0.3×10-3μm2，其流動(dòng)特征表征為基質(zhì)區(qū)向弱改造區(qū)的徑向滲流。其運(yùn)動(dòng)方程與弱改造區(qū)的類似，表征為考慮致密儲(chǔ)層基質(zhì)啟動(dòng)壓力梯度Gmi的低速非達(dá)西流動(dòng)[23]，有

類似地，引入基質(zhì)動(dòng)用區(qū)等效的啟動(dòng)壓力梯度G′mi：

式中：bm為基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的橢圓流場(chǎng)的短軸長(zhǎng)度，m；rm為基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的等效泄油半徑，m。

邊界條件包括：1)內(nèi)邊界，在基質(zhì)區(qū)與弱改造區(qū)交界處的壓力為pmni，即r=rn時(shí)，p=pmni；2)外邊界，在基質(zhì)未動(dòng)用區(qū)與基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的交界處(供給半徑)的壓力為供給壓力pe，即當(dāng)r=re時(shí)，p=pe。

可得第i壓裂段基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的產(chǎn)量為

可得第i壓裂段基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的滲流阻力為

2.2.5 基質(zhì)未動(dòng)用區(qū)

基質(zhì)未動(dòng)用區(qū)不提供產(chǎn)量，但隨著壓力波及區(qū)域的擴(kuò)大，基質(zhì)未動(dòng)用區(qū)逐漸并入基質(zhì)動(dòng)用區(qū)，實(shí)現(xiàn)能量補(bǔ)給。

2.3 求解方法

致密油藏多區(qū)耦合各區(qū)域交界面處壓力、流量相等[14-15]。

1)區(qū)域交界面處壓力相等，即

2)區(qū)域交界面處流量相等，即強(qiáng)改造區(qū)流入井筒流量=弱改造區(qū)流入強(qiáng)改造區(qū)的流量=基質(zhì)區(qū)流入弱改造區(qū)的流量，有

根據(jù)等值滲流阻力法，多區(qū)流場(chǎng)串聯(lián)供油，將式(11)、式(17)和式(21)聯(lián)立求解，并考慮多級(jí)壓裂縫間干擾情況[11-12]，可得致密油藏水平井第i壓裂段產(chǎn)量qi的計(jì)算公式：

式中：a和b分別為橢圓形流場(chǎng)的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度，m；Si為相鄰裂縫段疊合區(qū)的面積，Si=ab·{2 ·arccos(d/(2b)) - sin[2 · arccos(d/(2b))]}；d為裂縫段間距，m。

將n條裂縫的產(chǎn)量疊加求和，即可得致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)的產(chǎn)量[28-29]。

2.4 致密油藏多級(jí)壓裂開發(fā)產(chǎn)量預(yù)測(cè)方法

致密儲(chǔ)層經(jīng)多級(jí)壓裂后投入生產(chǎn)開發(fā)，所形成的壓降將逐漸向外傳播，先后通過(guò)強(qiáng)改造區(qū)、弱改造區(qū)，最后到達(dá)基質(zhì)動(dòng)用區(qū)。本文將不穩(wěn)定滲流轉(zhuǎn)換為穩(wěn)態(tài)的依序替換，基于物質(zhì)平衡方法，即致密油藏累計(jì)產(chǎn)出量與儲(chǔ)層有效動(dòng)用范圍內(nèi)的孔隙體積變化量相等，確定致密油藏多級(jí)壓裂水平井動(dòng)態(tài)波及邊界[38-42]，有

式中：t為時(shí)間；φ為孔隙度；(ρφ)e-(ρφ)為單位體積內(nèi)孔隙內(nèi)流體質(zhì)量較初始條件下的變化量；為t+1時(shí)刻的動(dòng)態(tài)供給半徑，m。

考慮巖石流體弱可壓縮時(shí)，狀態(tài)方程為

式中：ρ0和φ0分別為初始地層壓力條件下的地層流體密度及孔隙度；CL和Cf分別為地層流體和巖石孔隙的壓縮系數(shù)。

將狀態(tài)方程舍去無(wú)窮小量CL·Cf，并代入式(27)，可整理為

通過(guò)計(jì)算平均地層壓力[42]，即可得到供給半徑動(dòng)用范圍內(nèi)的孔隙體積變化情況。基于穩(wěn)態(tài)依序替換方法迭代求解，不穩(wěn)定滲流過(guò)程的產(chǎn)量計(jì)算方法步驟(如圖6所示)如下。

首先，計(jì)算t時(shí)刻的各壓裂段的產(chǎn)量qti并記錄，由于強(qiáng)改造區(qū)的線性流動(dòng)的滲流阻力遠(yuǎn)遠(yuǎn)比弱改造區(qū)和基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的小，可以忽略不計(jì)，即Rt(t=1)=rf；其次，依據(jù)各壓裂段處的流量Qti，計(jì)算水平井筒內(nèi)管道摩阻及匯流產(chǎn)生的壓差變化，得到各壓裂段處的井底壓力；同時(shí)，根據(jù)t+1時(shí)刻的累計(jì)產(chǎn)量及孔隙體積變化情況，計(jì)算動(dòng)態(tài)波及邊界；再次，計(jì)算各區(qū)平均地層壓力?[42]，根據(jù)應(yīng)力敏感性公式對(duì)應(yīng)修正各區(qū)滲透率kt+1，進(jìn)而修正啟動(dòng)壓力梯度Gt+1；最后，依據(jù)動(dòng)態(tài)波及邊界修正模型各區(qū)的邊界條件，進(jìn)而計(jì)算t+ 1時(shí)刻的產(chǎn)量。

依據(jù)壓力是否波及至基質(zhì)動(dòng)用區(qū)，將致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)過(guò)程劃分為2 個(gè)生產(chǎn)階段。當(dāng)壓力尚未波及至基質(zhì)區(qū)時(shí)，即rf＜Rt≤rn，表現(xiàn)為水平井筒-強(qiáng)改造區(qū)-弱改造區(qū)多區(qū)耦合滲流過(guò)程，式(26)可化為

當(dāng)壓力波及至基質(zhì)區(qū)后，Rt＞rn，產(chǎn)量計(jì)算公式如式(26)所示。

若忽略啟動(dòng)壓力梯度、多級(jí)壓裂及多尺度滲流特征，任意時(shí)刻的產(chǎn)能計(jì)算公式(式(26)和式(31))均可退化為經(jīng)典的平面徑向流產(chǎn)能計(jì)算公式：

以鄂爾多斯盆地致密油多級(jí)壓裂水平井A 井為例，對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，其基礎(chǔ)參數(shù)如表1所示。

表1 致密油藏多級(jí)壓裂水平井產(chǎn)量預(yù)測(cè)基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 Parameters for production prediction of multistage fracturing horizontal wells in tight oil reservoirs

利用本模型模擬計(jì)算2 000 d，計(jì)算動(dòng)態(tài)供給邊界及不同時(shí)刻的地層壓力分布情況(圖7)。模擬結(jié)果表明：開發(fā)初期，壓降主要集中在主裂縫附近；開發(fā)200 d時(shí)，壓力尚未波及至基質(zhì)區(qū)；當(dāng)開發(fā)至2 000 d時(shí)，壓力波及范圍逐漸擴(kuò)大至基質(zhì)區(qū)，受基質(zhì)區(qū)與改造區(qū)物性差異的影響，地層壓力顯著下降且壓降漏斗不再平滑，表現(xiàn)為基質(zhì)區(qū)和縫網(wǎng)區(qū)交界處的“拐點(diǎn)”，壓降漏斗呈兩段特征。

對(duì)比A井生產(chǎn)實(shí)際曲線如圖8所示。從圖8可知：預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際生產(chǎn)曲線基本吻合，整體符合率為90.09%，表明該模型的準(zhǔn)確性較高。

3 產(chǎn)能影響因素分析

基于A井基本參數(shù)，對(duì)比分析啟動(dòng)壓力梯度、應(yīng)力敏感性等因素對(duì)致密油藏水平井多級(jí)壓裂開發(fā)累計(jì)產(chǎn)量的影響規(guī)律。

3.1 啟動(dòng)壓力梯度

啟動(dòng)壓力梯度是致密油藏的滲流阻力，是影響致密油藏產(chǎn)量的主要因素，且隨著動(dòng)用范圍的增加影響更加顯著。模擬結(jié)果表明：當(dāng)生產(chǎn)開發(fā)2 000 d 時(shí)，基質(zhì)區(qū)和改造區(qū)的啟動(dòng)壓力梯度使得致密油累計(jì)產(chǎn)量降低了26.29%(圖9)。其中，開發(fā)初期壓力尚未波及至基質(zhì)區(qū)時(shí)，累計(jì)產(chǎn)量只受弱改造區(qū)的啟動(dòng)壓力梯度Gn影響；當(dāng)壓力波及至基質(zhì)區(qū)后，受基質(zhì)動(dòng)用區(qū)的啟動(dòng)壓力梯度作用，累計(jì)產(chǎn)油量降低11.56%。

3.2 應(yīng)力敏感性特征

致密油藏微裂縫發(fā)育，其應(yīng)力敏感性顯著。隨著生產(chǎn)開發(fā)的進(jìn)行，地層壓力下降，受應(yīng)力敏感性作用滲透率損傷程度增大。模擬結(jié)果表明：當(dāng)生產(chǎn)開發(fā)至2 000 d 時(shí)，應(yīng)力敏感性特征使得累計(jì)產(chǎn)量下降23.25%(圖10)。其中，改造區(qū)應(yīng)力敏感性特征貢獻(xiàn)率為17.64%，基質(zhì)區(qū)應(yīng)力敏感性特征貢獻(xiàn)率為5.61%。改造區(qū)的應(yīng)力敏感性特征是影響致密油藏采出程度的主要因素，其影響幅度約為基質(zhì)區(qū)應(yīng)力敏感性特征影響幅度的3.14倍。

3.3 水平井筒長(zhǎng)度

在低滲透油藏水平井開發(fā)產(chǎn)能預(yù)測(cè)中，往往認(rèn)為水平井段為無(wú)限導(dǎo)流，但針對(duì)致密油藏更長(zhǎng)的水平井筒，水平井筒管壁摩阻及加速壓降不可忽略，模擬天然能量開發(fā)2 000 d，可降低累計(jì)產(chǎn)量約1.36%，但主要集中在開發(fā)初期。這是因?yàn)殡S著致密油藏生產(chǎn)開發(fā)的進(jìn)行，致密油藏產(chǎn)量遞減迅速(圖8(a))，單位水平井筒長(zhǎng)度產(chǎn)生的壓降逐漸減小(圖11)，使得內(nèi)部的壓力分布也逐漸平緩(圖12)。

水平井筒長(zhǎng)度是影響致密油藏累計(jì)產(chǎn)量的主要因素，其原因是：隨著水平井長(zhǎng)度增大，有效地增大致密油藏改造體積，水平井累計(jì)產(chǎn)量隨之增大；但受水平井筒內(nèi)部沿程管道摩阻作用，使得隨著水平井筒長(zhǎng)度增大，采出程度增幅逐漸減小(圖13)；另一方面，隨著水平井長(zhǎng)度增加，各壓裂段控制儲(chǔ)量疊合區(qū)面積減小，即井控儲(chǔ)量隨之增大，當(dāng)段間距足夠大之后，使得壓裂段之間沒有疊合，井控儲(chǔ)量不再增大。綜上所述，認(rèn)為水平井存在最優(yōu)長(zhǎng)度。以A 井壓裂20 段為例，合理的水平井長(zhǎng)度為2 000～3 000 m。

3.4 裂縫半長(zhǎng)

裂縫半長(zhǎng)代表著致密油藏的改造情況，直接影響致密油藏開發(fā)的動(dòng)用儲(chǔ)量和采出程度。隨著裂縫半長(zhǎng)增大，改造區(qū)范圍隨之增大，延長(zhǎng)水平井筒-改造區(qū)耦合滲流時(shí)間，延緩基質(zhì)區(qū)啟動(dòng)壓力梯度作用，顯著提高致密油藏的累計(jì)產(chǎn)量(圖14)。但隨著裂縫半長(zhǎng)的增加，累計(jì)產(chǎn)量增幅逐漸減小，結(jié)合A 井地質(zhì)及開發(fā)參數(shù)，認(rèn)為其合理的裂縫半長(zhǎng)為200～250 m。

3.5 生產(chǎn)壓差

根據(jù)產(chǎn)量計(jì)算公式(式(26)和式(31))，可以看出生產(chǎn)壓差與滲流速度呈正比，但針對(duì)致密油藏強(qiáng)應(yīng)力敏感性特征，生產(chǎn)壓差對(duì)產(chǎn)量的影響規(guī)律頗受關(guān)注。本文通過(guò)定地層壓力，控制水平井根部的井底壓力(即根端裂縫處的井底壓力)，得出不同生產(chǎn)壓差對(duì)累計(jì)產(chǎn)量的影響規(guī)律，如圖15所示。

從圖15可以看出：生產(chǎn)壓差越大，克服啟動(dòng)壓力梯度的能量增強(qiáng)，表現(xiàn)為累計(jì)產(chǎn)量越高；但隨著生產(chǎn)壓差增大，地層平均壓力下降，巖石承受的有效應(yīng)力增大，應(yīng)力敏感性作用更為顯著，使得壓裂裂縫及壓力波及區(qū)域滲透率損失越大，甚至造成裂縫閉合，增大了致密油藏的滲流阻力，表征為累計(jì)產(chǎn)量增幅逐漸減小。針對(duì)目標(biāo)區(qū)塊，合理的生產(chǎn)壓差為7～9 MPa。在實(shí)際開發(fā)過(guò)程中，可綜合考慮經(jīng)濟(jì)和技術(shù)界限，確定最優(yōu)生產(chǎn)壓差，對(duì)致密油藏高效開發(fā)具有重大意義。

4 結(jié)論

1)致密油無(wú)論在基質(zhì)巖心還是含裂縫巖心均表現(xiàn)為不同程度的非線性滲流特征，其中基質(zhì)巖心的啟動(dòng)壓力梯度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于含裂縫巖心的啟動(dòng)壓力梯度，且均與滲透率呈冪函數(shù)關(guān)系。

2)致密砂巖儲(chǔ)層的基質(zhì)及含裂縫巖心均具有應(yīng)力敏感性特征，含裂縫巖心的應(yīng)力敏感性特征較基質(zhì)巖心更強(qiáng)。應(yīng)力敏感作用使?jié)B流阻力增大和滲流速度降低。不考慮應(yīng)力敏感作用將偏離實(shí)際，會(huì)使實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算值都大于實(shí)際值。

3)建立了考慮致密基質(zhì)—微裂縫—人工壓裂縫網(wǎng)多尺度介質(zhì)—應(yīng)力敏感的非線性滲流和多尺度流場(chǎng)結(jié)構(gòu)三大區(qū)五小區(qū)(I水平井筒區(qū)、II改造區(qū)(強(qiáng)、弱改造區(qū))、III 未改造區(qū)(基質(zhì)動(dòng)用、未動(dòng)用區(qū)))的水平井多級(jí)壓裂滲流數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出反映上述特征的水平井多級(jí)壓裂開發(fā)產(chǎn)能計(jì)算公式，并進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用，整體符合率為90.09%，表明該模型的準(zhǔn)確性高。

4)啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感性對(duì)致密油產(chǎn)量有明顯的影響，啟動(dòng)壓力梯度使得致密油累計(jì)產(chǎn)量降低了26.29%，應(yīng)力敏感性特征使得累計(jì)產(chǎn)量下降23.25%。

5)水平井長(zhǎng)度對(duì)致密油藏開發(fā)具有一定的影響，隨著水平井長(zhǎng)度增大，有效地增大了致密油藏改造體積，水平井累計(jì)產(chǎn)量隨之增大；但受水平井筒內(nèi)部沿程管道摩阻作用，采出程度增幅逐漸減小。在本文實(shí)例模擬條件下，水平井筒合理長(zhǎng)度為2 000～3 000 m。

6)裂縫半長(zhǎng)直接影響致密油藏的采出程度，隨著裂縫半長(zhǎng)增大，改造區(qū)范圍隨之增大，延長(zhǎng)了水平井筒-改造區(qū)耦合滲流時(shí)間，延緩了基質(zhì)區(qū)啟動(dòng)壓力梯度作用，顯著提高了致密油藏的累計(jì)產(chǎn)量，但隨著裂縫半長(zhǎng)增加，累計(jì)產(chǎn)量增幅逐漸減小。在本文實(shí)例模擬條件下，最優(yōu)裂縫半長(zhǎng)為200～250 m。

7)生產(chǎn)壓差越大，克服啟動(dòng)壓力梯度的能量增強(qiáng)，表現(xiàn)為累計(jì)產(chǎn)量越高；但隨著生產(chǎn)壓差增大，應(yīng)力敏感性作用更加明顯，應(yīng)力敏感性使得壓裂裂縫及基質(zhì)區(qū)域滲透率損失增大，流動(dòng)通道變窄，甚至造成裂縫閉合，增大致密油藏的滲流阻力，表征為累計(jì)產(chǎn)量增幅逐漸減小。實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，目標(biāo)區(qū)塊井的合理的生產(chǎn)壓差應(yīng)控制在7～9 MPa。