基于擴展的F展開法求孤子方程的廣義解

孟 勇

(寧波大學 物理科學與技術學院，浙江 寧波 315211)

世界之所以色彩斑斕、變幻萬千，是因為事物之間存在非線性聯(lián)系。在非線性科學中，研究者從實際的非線性現(xiàn)象問題出發(fā)，按照物理規(guī)律，在合理的近似下建立相應的數(shù)學模型，然后通過研究這些數(shù)學模型來獲得其相應的規(guī)律，從而用確定性的數(shù)學語言描述以及預測現(xiàn)象。在這些數(shù)學模型中，非線性偏微分方程占了很大一部分，求解這些偏微分方程并非易事，多年以來研究人員為此做了大量的工作，并取得了一系列重要成果，如反散射法[1]、達布變換法[2]、經(jīng)典與非經(jīng)典李群法[3]等。其中函數(shù)展開法[4-6]因其簡單、直接、操作方便等優(yōu)點，在解非線性偏微分方程中有著大量的運用。

文獻[5-6]分別利用擴展的F展開法求解了Klein-Gordon方程和耦合Schr?dinger-Boussinesq方程組的行波解。本文在文獻[4]的基礎上對該方法再次進行改造，將解的展開式對稱延拓到負冪次，并對解的形式不加以行波解的限制，得到了更多類型的解。然后利用該方法求解了MKdV方程孤立波與Jacobi橢圓周期波之間的相互作用解，并通過設置相關參數(shù)繪制出其圖形。最后求得了(2+1)-維BKK方程組的完全分離變量解，并通過給定解的形式得到了該方程組的特殊孤子解的結構激發(fā)。

1 擴展的F展開法

步驟1 對一個(1+1)-維非線性偏微分方程P(u,ux,ut,uxx,uux,…)=0使用行波變換ξ=kx-ωt(其中k與ω都是待定的常數(shù))，把偏微分方程轉換為常微分方程P(u,uξ,uuξ,…)=0。

步驟2 將u(ξ)展開為冪多項式

(1)

由文獻[5-6]可知F′=C+λF+μF2,存在滿足下列條件下的特殊解:

步驟3 將式(1)帶入P(u,uξ,uuξ,…)=0，如果其中出現(xiàn)了F的導數(shù)項，就用F′=C+λF+μF2轉化為F的冪多項式。再令該多項式中F各冪次的系數(shù)為零，導出關于ai(i=0,1,2,…,n),λ,μ,k,ω的一組代數(shù)方程。

步驟4 求解步驟3中的代數(shù)方程組，得到ai(i=0,1,2,3,…,n),k,ω的若干解。再將(Ⅰ)～(Ⅸ)代入式(1)就得到P(u,ux,ut,uxx,uux,…)=0的精確行波解。

在上述的一般F求解過程中，若放棄使用行波變換(1),而設P(u,uξ,uuξ,…)=0的解為

(2)

同樣按照步驟3，將式(2)代入P(u,ux,ut,uxx,uux,…)=0,再運用F′=C+λF+μF2,可得到關于ai(i=-n,-n+1,…,n),φ(x,t)的一組偏微分方程。然后通過求解此方程組，得到P(u,ux,ut,uxx,uux,…)=0的解。

2 MKdV方程的相互作用解

MKdV方程

ut-6u2ux+u3=0

(3)

(4)

其中ai,φ都是x,t的函數(shù)。再將式(4)代入式(3),并運用式(2)進行化簡合并為F(φ)的各次冪項之和，并且讓各次冪系數(shù)為0，得到關于ai,φ的偏微分方程組。解此偏微分方程組得到了3組解與φ滿足的偏微分方程條件。

(5)

(6)

(7)

最后將式(5)～(7)φt表達式代入式(4)就得到了MKdV方程3組解：

(8)

其中F=F(φ(x,t))為(Ⅰ)～(Ⅸ)中對應的表達式，此外在式(8)中φ(x,t)必分別滿足式(5)～(7)φt表達式。然后通過對比式(8)u3與u1,u2可知，將解的展開式對稱延拓到負冪次，可以得到更多形式的解。而且由于不設定φ(x,t)的具體表達式，因而可以極大程度上擴展該方程解的類型。

為求出該方程的孤立波與Jacobi周期波的相互作用解，所以構造φ(x,t)的表達式為

φ(x,t)=k1x+ω1t+W(ξ),ξ=k2x+ω2t。

(9)

其中W1(ξ)=Wξ,并滿足橢圓方程

(10)

這里B0,B1,B2,B3,B4為待定系數(shù)。然后將式(9)代入式(5)φt表達式，并利用式(10)化簡為W1的各次冪項之和，并且令各次冪系數(shù)為0，得到關于k1,k2,ω1,ω2,B0,B1,B2,B3,B4的代數(shù)方程組。求解方程組得

(11)

則可得到MKdV方程的孤立波與橢圓周期波的相互作用解。 最后再設置相關參數(shù)得到解的3D結構圖與密度圖，如圖1所示。

(a)3D結構圖(1)

(b)3D結構圖(2)

(c)密度圖(1)

(d)密度圖(2)

圖1(a)(c)的參數(shù)為C=0,λ=1,μ=-1,k1=k2=1,ω1=0.5,B2=B3=1,n=0.1；圖1(b)(d)的參數(shù)為C=0,λ=1,μ=-1,k1=2,k2=1,ω1=1,B2=B3=1,n=0.8。

3 (2+1)-維BKK方程組的分離變量解

對于用來描述帶耗散的淺水波傳播現(xiàn)象的(2+1)-維BKK方程組[11]

uty-uxxy+2(uux)y+2vxx=0,vt+vxx+2(uv)x=0,

(12)

為了求解方便，首先做變換v=uy,然后將v=uy代入式(12)第2式，得

uty+uxxy+2uxuy+2uuxy=0,

(13)

再利用齊次平衡原理確定展開的項數(shù)n=1。于是設u的展開式為

(14)

其中a-1,a0,a1,φ都是x,y,t的函數(shù)。設φ的完全的分離變量結構為

φ(x,y,t)=f(x)+g(y)+h(t)。

將上式與式(14)代入式(13),運用

F′=C+λF+μF2,

進行化簡合并為F(φ)的各冪次，并且讓各次冪系數(shù)為0，得到關于a-1,a0,a1,f,g,h的偏微分方程組。解此方程組，得到3組解：

將式上述3組解代入式(14)和v=uy就得到了(2+1)-維BKK方程組的對稱延拓形式的完全分離變量解

(15)

其中F=F(φ(f+g+h))為(Ⅰ)～(Ⅸ)中對應的表達式。將式(15)v1表達式的參數(shù)設置為C=0,λ=1,μ=-1,再將

代入該式，選擇f(x)=x2,g(y)=y2,h(t)=t,就得到了環(huán)形Lump孤子解，其圖形如圖2所示。改變f(x)，g(y),h(t),選擇

則可得Lump孤子的分形結構解，如圖3所示。由圖3可以看出，在不同尺度下解的結構與形狀完全相同或者基本不變，符合分形結構的定義，因此是分形結構解。

(a)3D結構圖

(b)等高線圖

(a)3D結構圖(1)

(b)3D結構圖(2)

(c)等高線圖(1)

(d)等高線圖(2)

4 結論

為得到更豐富的非線性偏微分方程解的形式，對擴展的展開法進行改造。將原先的只向正冪次項展開對稱延拓到負冪次項，并且將只能解出行波解改造為能夠非限定形式的廣義解。然后利用該方法求解MKdV方程與(2+1)-維BKK方程組，分別得到了孤立波與Jacobi橢圓周期波之間的相互作用解，以及完全分離變量解。該方法也可以很容易地運用到其他非線性偏微分方程中，給出更多形式的解。展開法的本質就是用已知解的微分方程中的高階導數(shù)與低階導數(shù)的關系，將已知方程的低階項不斷地去替換待求的微分方程的高階導數(shù)項，以達到降階的目的。因此，如果找到更多形式的已知解的微分方程，再配合對稱延拓以及變量分離，就會有新形式的展開法及其可能的大量廣義解。