利用模糊Laplace變換的方法求解模糊分數(shù)階積分微分方程

李慧敏,顧海波

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

模糊性微積分方程中模糊性的概念是模糊分析中的重要組成部分,在數(shù)學和應用科學的其他領域也起著關鍵作用。近年來分數(shù)階微積分在數(shù)學的應用方面產(chǎn)生了相當大的影響，被應用于許多物理和化學過程的建模和工程[1-2]。在過去的幾十年里,許多研究者探索了模糊分數(shù)階微積分,并在模糊分數(shù)階微分方程和模糊分數(shù)階積分方程中引入了一些新的概念,這些研究成果被用于解決應用數(shù)學中的各種問題,如物理、醫(yī)學、地理、電磁、控制理論和黏彈性等[3-6],其中的變量和參數(shù)通常是模糊而非精確的。

由于模糊數(shù)空間中的分析學和代數(shù)學理論遠沒有經(jīng)典理論那樣完善,各類導數(shù)特別是高階導數(shù)定義復雜煩瑣而且條件苛刻,從微分方程到積分方程的等價轉換也相對困難,所以研究分數(shù)階模糊微分方程需要可靠的分析方法和高效的數(shù)值技術。所以,對分數(shù)階模糊微分方程基本理論和基本性質(zhì)進行更加深入系統(tǒng)地研究,不僅可以為分數(shù)階模糊微分方程理論的進一步發(fā)展奠定堅實的基礎,還可以為其他科學領域提供強有力的理論支撐。

本文主要研究具有Caputo分數(shù)階導數(shù)的非線性模糊分數(shù)階積分微分方程

(1)

1 預備知識

給出文中所涉及的基本概念、定義、引理和性質(zhì),更多的細節(jié)可見參考文獻[7-14]。

先給出模糊數(shù)的定義[7]:用R表示所有實數(shù)的集合,R上所有模糊數(shù)的集合用E表示。一個模糊數(shù)是一個映射v:R→[0,1],具有以下性質(zhì):

(1)v是上半連續(xù)的;

(2)v是模糊凸的,即對于任意的x,y∈R,λ∈[0,1]，滿足v(λx+(1-λ)y)≥min{v(x),v(y)};

(3)v是正規(guī)的,即?x0∈R,有v(x0)=1;

(4) suppv={x∈R|v(x)>0},其閉區(qū)域cl(suppv)是緊致的。

再給出一個等效的參數(shù)定義,如下:

定義3[10]根據(jù)Zadeh的擴展原理,RE上的模糊數(shù)加法公式和模糊數(shù)標量乘法公式分別為

定義4[11]對任意μ,v∈RE,如果存在ω∈RE,使得μ=v?ω,則稱ω為u和v之間的差,記為ω=μ?v。在本文中,?表示模糊數(shù)差的運算,注意u?v≠u+(-v)。

定義5[12]函數(shù)f(y)的Riemann-Liouville型分數(shù)階積分定義為

在討論分數(shù)階模糊微積分之前,首先引入兩個符號:CE[a,b]表示區(qū)間[a,b]上所有連續(xù)模糊值函數(shù)的集合;LE[a,b]表示區(qū)間[a,b]上所有可測且可積的模糊數(shù)值函數(shù)的集合。

其中

當f是(2)型可微時有

其中[11]

2 模糊Laplace變換與Adomian分解法

2.1 模糊Laplace變換

在本節(jié)中,給出模糊值函數(shù)的模糊Laplace變換的定義。此外,將考慮模糊Laplace變換的性質(zhì),然后給出一個導數(shù)定理,以便將分數(shù)階導數(shù)的Laplace變換與相應的模糊值函數(shù)聯(lián)系起來。首先，Allahviranloo等[15-16]提出了模糊值函數(shù)的Laplace變換,并研究了其一些已知的性質(zhì)。

定義7函數(shù)f(x)(x>0)的經(jīng)典Laplace變換被定義為

[f(x)]=F(s)=f(x)e-sxdx,

其中s為實數(shù)或復數(shù)。

定義8[15]模糊函數(shù)的模糊Laplace變換為

其中

定義9Caputo型導數(shù)的Laplace變換[f(x)]為

定理2[15](模糊卷積定理) 假設函數(shù)f(t)和g(t)是定義在[0,+∞)的連續(xù)的模糊值函數(shù),則

L{f(t)*g(t)}=L{g(t)*f(t)}=L{f(t)}·L{g(t)}。

定理3(導數(shù)定理) 假設f∈CF[0,∞)∩LF[0,∞),α∈(0,1]。然后有

L[(CDαf)(t)]=sαL[f(t)]?sα-1f(0)。

(1)假設f是C[(i)-α]-可微模糊值函數(shù),則L[(CDαf)(t)]=-sα-1f(0)?[-sαL[f(t)]];(2)假設f是C[(ii)-α]-可微模糊值函數(shù),有上式Hukuhara差。

性質(zhì)1[15]設f和g是連續(xù)的模糊值函數(shù),假設c1和c2是常數(shù),則有

L[(c1⊙f(x))?(c2⊙g(x))]=(c1⊙L[f(x)])?(c2⊙L[g(x)])。

2.2 Adomian分解法

對所研究的Caputo意義下模糊分數(shù)階積分微分方程 (1)兩邊同時作用Iρ,有

(2)

將非線性項N1和N2分解為

(3)

其中Pn和Qn是Adomian分解,為

因此可以得到

2.3 改進的模糊Laplace變換分解方法

在本節(jié)中,通過模糊Laplace變換及其逆變換來推導模糊分數(shù)階微分方程的數(shù)值解。根據(jù)Caputo分數(shù)階導數(shù)算子應用模糊Laplace變換,將模糊Laplace變換應用于方程(1)兩側可以得到

(4)

由引理1和定理3得到

(5)

(6)

將式(6)代入式(4),可以得到

因此,給定的方程等價于

將式(2)(3)代入上式,得到

相似地，有

由引理1和定理3得到

(7)

(8)

將式(8)代入式(4),可以得到

類似于情形1的迭代步驟,可以得出相關結論：

相似地，有

3 例子

利用基于模糊Laplace Adomian 分解法來求解模糊分數(shù)階積分微分方程的近似解。

(9)

采用改進的模糊Laplace Adomian分解方法。將模糊Laplace變換應用于式(9)兩側:

利用模糊Laplace變換的性質(zhì)和初始條件(9),得到

然后有

將式(2)(3)代入上式,得到

通過將Laplace逆變換應用于上述方程,即可得到模糊分數(shù)階積分微分方程的近似解

根據(jù)求出的前三項和的解的形式,由計算機算法得到所得到的近似解的圖像，見圖1、圖2。由于上函數(shù)與下函數(shù)類似，同上也可以得到相似的結果如圖3所示。

圖1 不同r值對應的模糊近似解

圖2 不同r和y值對應的模糊近似上解

圖3 不同r和y值對應的模糊近似上下解

4 總結

本文研究了在Caputo導數(shù)下的模糊分數(shù)階積分微分方程,利用模糊Laplace變換和改進的Adomian分解方法確定給定問題的近似解。為了更好地理解改進的Adomian分解方法,本文利用數(shù)值例子來理解改進的Adomian分解方法及其在工作中的實現(xiàn)。為了檢驗近似解的確定性,用計算機算法在不同的不確定性點上繪制了與每個數(shù)值例子對應的二維和三維圖。