一類三階m點(diǎn)邊值問(wèn)題的三個(gè)正解

穆可旺，楊赟瑞，楊 璐

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

三階常微分方程邊值問(wèn)題在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)涉及的領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，例如彎曲梁、重力驅(qū)動(dòng)流等。近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者熱衷于三階邊值問(wèn)題正解的研究[1-5]，常用方法有度理論、上下解方法和不動(dòng)點(diǎn)定理等[3-5]。例如，楊春風(fēng)[6]利用上下解方法研究了一類三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

兩個(gè)正解的存在性。2018年，高楊[7]借助錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理建立了三階m點(diǎn)邊值問(wèn)題

多個(gè)正解的存在性。此后，馬竹艷等[8]借助Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到了一類三階m點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性。2021年，張瑞燕[9]利用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理建立了三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(1)

2m-1(m=1,2,…)個(gè)正解的存在性。

受上述工作的啟發(fā)，本文借助Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理研究三階m點(diǎn)邊值問(wèn)題

(2)

三個(gè)正解的存在性，其中，α>0,m≥3,ki>0,0<ξi<1,i=1,2,…,m-2。注意到，當(dāng)m=3時(shí)，問(wèn)題(2)退化為問(wèn)題(1)，因此，本文將張瑞燕一文[9]的研究問(wèn)題拓展到了m點(diǎn)邊值問(wèn)題，改進(jìn)并完善了已有多點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性研究[4-7]。

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出全文用到的假設(shè)條件、相關(guān)定義和主要工具：

(H1)f∈C([0,1]×[0,∞);[0,∞))。

定義1[1]設(shè)K是實(shí)Banach空間X上的一個(gè)錐，若映射φ是K→[0,∞)上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)t∈[0,1]時(shí)，對(duì)任意的x,y∈K,有φ(tx1+(1-t)x2)≥(≤)tφ(x1)+(1-t)φ(x2),則稱φ是連續(xù)非負(fù)的凹(凸)函數(shù)。令φ,γ是K中連續(xù)非負(fù)的凸函數(shù)，θ是K中連續(xù)非負(fù)的凹函數(shù)，β是K中連續(xù)非負(fù)的函數(shù)。令a,b,c,d是正常數(shù)，定義集合

K(φ,d)={x∈K|φ(x)

K(φ,γ,θ,b,c,d)={x∈K|b≤θ(x),γ(x)≤c,φ(x)≤d};L(φ,β,a,d)={x∈K|a≤β(x),φ(x)≤d}。

假設(shè)σ1(t)和σ2(t)分別是邊值問(wèn)題

的唯一解。不難得出

顯然，σ1(t)在[0,1]上非負(fù)且嚴(yán)格遞增，σ2(t)在[0,1]上非負(fù)且嚴(yán)格遞減。

引理1若g(t)∈C[0,1],則邊值問(wèn)題

由文獻(xiàn)[9]中的引理2不難驗(yàn)證該結(jié)論成立，故省略。

引理2G1(t,s),G(t,s)和σi(t)(i=1,2)具有如下性質(zhì)：

(ⅰ) 對(duì)任意的t,s∈[0,1],G1(t,s)≥0；

(ⅱ) 對(duì)任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≥0；

(ⅲ) 對(duì)任意的t∈[0,1],σ′1(t)>0,σ′2(t)<0,σ″i(t)≥0,σ?1(t)>0,σ?2(t)<0,i=1,2；

證明由條件(H2)與G1(t)和G(t)的表達(dá)式不難得到(ⅰ)和(ⅱ)成立。而

因此，(ⅲ)成立。由于

則

故(ⅳ)成立。進(jìn)一步，

因此，(ⅴ)成立。至此，引理2證畢。

由文獻(xiàn)[9]中的引理5不難驗(yàn)證該結(jié)論成立，故此省略。

因?yàn)椋瑢?duì)任意的t,s∈[0,1]有G1(t,s)≥0,再結(jié)合條件(H1)和(H2)可知，

u′(t)≥0,

(3)

綜上所述，引理4得證。

引理5T:K→K是全連續(xù)算子。

證明根據(jù)T和K的定義易知T:K→K是連續(xù)算子，故僅需證T:K→K是相對(duì)緊的。因?yàn)閷?duì)任意的t∈[0,1],u∈K?X=C2[0,1],由條件(H1)可知，存在正數(shù)M1>0使對(duì)任意的t∈[0,1]有f(t,u(t))≤M1。令

結(jié)合引理2和引理4可知，

故T在C2[0,1]上一致有界。下證T在C2[0,1]上等度連續(xù)。對(duì)任意的t1,t2∈[0,1],不妨假設(shè)t1

其中，ζ∈(t1,t2),即T在C2[0,1]中是等度連續(xù)的，從而T:K→K是相對(duì)緊的。因此T:K→K是全連續(xù)算子，證畢。

2 主要結(jié)論

定理2邊值問(wèn)題 (2) 至少有三個(gè)正解u1,u2，u3滿足

φ(ui)≤d(i=1,2,3),θ(u1)>b,β(u2)>a,θ(u2)

(4)

下面依次驗(yàn)證定理1中的條件①～③成立。

結(jié)合條件(H4)可得

最后驗(yàn)證定理1中的條件③成立。顯然β(0)=0

若u∈L(φ,β,a,d)且β(u)=a,則由引理4和條件(H5)可知，

即條件③成立。則邊值問(wèn)題(2)至少有三個(gè)正解u1，u2,u3且滿足式(4)。

3 應(yīng)用舉例

例1考慮三階邊值問(wèn)題

(5)

假設(shè)a=1,b=2,d=600,通過(guò)計(jì)算可得

不難驗(yàn)證條件(H1)～(H5)都成立，由定理2可知，邊值問(wèn)題(5)至少有三個(gè)正解u1,u2,u3且滿足式(4)。